2022-2023学年河南省洛阳市高二（下）质检数学试卷（文科）（附答案）

2022-2023学年河南省洛阳市高二(下)质检数学试卷(文科)

1.Eln/("+『-'-1，则/'(右)等于()

Ar4>ʌʃS')

A.2B.ɪC.1D.0

2

2.已知随机变量X~N(3,o2),若p(χ>5)=0.3,则P(1<X<5)=()

A.0.2B,0.4C.0.6D.0.7

2：-

3.已知直线k：X+ay+6=0,Z2(ɑ2)x+3ay+2a=0,若ZJ∕%则实数a的值为()

A.一1或3B.0或3C.-1或0D.-1或3或0

4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,

共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中

的下一层灯数是上一层灯数的2倍,问塔的顶层灯的盏数为()

A.1B.2C.3D.4

5.已知随机变量X的分布列为:

X1234

P-0.10.20.30.4

则D(2X+7)=()

A.1B.3C.4D.9

6.已知直线y=X-2与抛物线y?=4x交于4,8两点，若。为线段AB的中点，O为坐标

原点，则直线。。的斜率为()

A.ɪB.ɪC.；D.

7.已知函数/(x)=χ2-2尤一alnx在(0,+8)上单调递增，则实数a的取值范围是()

A.(-∞,-ɪ]B.(-∞,-1)C.(-i,+∞)D.[-∣,+∞)

8.某学校有A,3两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A

餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率

为0.9.请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是()

A.0.8B.0.7C.0.6D,0.45

9.已知点P为直线y=x+1上的一点，M,N分别为圆G：(%-4)2+(y-I)2=1与圆C2：

(x-3)2+(y-l)2=1上的点，则IPMl+IPNl的最小值为()

A.5B.3C.2D.I

10.平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线

可以构成平行四边形的个数为()

A.14B.48C.91D.420

11.设/'Q)是定义在R上的函数"x)的导函数，且f(x)>f'(x).若e2ατ∕(α+1)>/(3α)(e

为自然对数的底数)，则实数”的取值范围为()

1Il1

A.(-,+∞)B.(―∞,-)C.(―2^÷∞)D.(―∞l--)

12.己知双曲蟾J=l(α>0/>0)的离心率e=2,A,B是双曲线上关于原点对称的

两点，点P是双曲线上异于A，8的动点，直线PA,PB的斜率分别为自，k2,若l≤kι≤2,

则心的取值范围是()

OQ

A.[-3,-∣JB.[p]C.[-4,-2]D.[2,4]

13.将5名学生分配到4个社区参加志愿服务，每个社区至少1名学生，则不同的分配方法

有种(用数字作答).

14.投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次

数为X,则E(X)=.

15.已知数列｛arι｝的首项为=|,且满足att+ι=蠢,若\+,+,+…+今<81，则〃

的最大值为.

16.己知正方体48CD的棱长为2,AH=tɪʤ(t∈[0,1]),现有如下四个命题：

①vt∈[0,1],都有宙•丽=0；

②Vt∈[0,1],都存在S∈[0,1]使得丽=SCA+(1-s)ɛzɪ;

③九∈[0,1],使得而1QB；

@HB+HCl的最小值为√飞+3.

其中所有真命题的序号是.

17.在(2%+白产5€/7*)的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列.

(1)求〃的值；

(2)求展开式中第7项.

112

18.已知｛αn｝是等比数列,前篦项和为Sn(n∈N*),且,一丁=,，56=63.

(1)求｛azι｝的通项公式；

(2)若对任意的nGN*,勾是log?®和log2%l+1的等差中项，求数列｛(—1产山的前2〃项和.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAABCD,AB1AD,AD//BC,AP=AB=AD=1,

且直线PB与CD所成角的大小为]

(1)求BC的长；

(2)求二面角D-PB-C的余弦值.

20.已知圆S：x2+y2+4x-20=0,点P是圆S上的动点，T是抛物线y2=8%的焦点为

PT的中点，过Q作QGJLPT'交尸S于G,设点G的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过S(-2,0)的直线/交曲线C于点M,N,若AM。N的面积为号(0为坐标原点)，求直线

/的方程.

21.第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、

沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使

洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一.其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，

倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动.为了解汉服体验店

广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出

与销售额数据如下：

体验店ABCDEFG

广告支出/万元3468111516

销售额/万元6101517233845

对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服

的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人.

(1)请将下列2X2列联表补充完整，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为体验汉

服与性别有关联；

是否体验汉服

性别合计

体验汉服没有体验汉服

180280

W80

合计400

(2)设广告支出为变量x(万元)，销售额为变量y(万元)，根据统计数据计算相关系数，•，并据

此说明可用线性回归模型拟合y与X的关系(若∣r∣>0∙75,则线性相关程度很强，可用线性回

归模型拟合)；

(3)建立y关于X的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额(精确到0.1).

附：参考数据及公式：

∑l=1xf=727,EL%?=4648,£7=1看%=1827,≈3.74,√^0≈3.17,√7≈2.64,相

∑C=ιXi%-nx∙y一与在线性回归方程中V=bχ+含中。="zi~~~~学，a=

关系数「2

J∑^xj-nχ^∑fL1y?y

~ny£%x1-nχ

2

n(ad-bc),,,,,

2n

y-bx.χ=二/wh,3∖

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)'=α+b+c+d.

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

22.已知函数/(x)=∣x2—2ax+InX(α为常数).

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(IJ(I))处的切线方程：

(2)设函数f(x)的两个极值点分别为x2(x1<x2),求fθ⅛)的范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了导数的概念，同时考查了导数的意义,属于基础题.根据Iimʃ4'"'"ɪ'—’

ʌt-s2∆x

,

=∕(x0)>将已知条件代入即可求出所求.

【解答】

解：.•.加，〃"八1+2予一"刊)_ɪ,

/(%+2第-/5J=(8)，

ʌʃ∙<>2∆r2

故选C.

2.【答案】B

【解析】解：•••随机变量X~N(3,02),且P(X>5)=0.3,

ΛP(l<X<5)=1—2P(X>5)=1-2×0.3=0.4.

故选：B.

利用正态分布曲线的对称性求解.

本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

3.【答案】C

2

【解析】解：⅛i41=1,B1=α,C1=6,

A2=a-2,B2=3a,C2=2a.

-=。

l,llM1B2,ZQ

UiC2-Zl2C1≠0

3a—a2(a-2)=O①

2a-6(a-2)≠0@)

解①得a1=O,a2=-1,a=3.

代入②验证得，a1=O,a2=-1.

・•・若及〃%则实数a的值为一1或。

故选：C.

直接由两直线的系数之间的关系列式求解。的值.

本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，直线k：&X++G=0,l2:A2x+B2y+C2=

O,

ZJ/Z20牖二髓U，是基础题∙

4.【答案】C

【解析】解：设顶层的灯数是由,则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{arι},

7

由题可得S7=40-21=381，解得％=3,

1—2

所以塔的顶层的灯数是3.

故选：C.

可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{αrι},根据S7=381即可求出.

本题主要考查等比数列的前〃项和公式，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：E(X)=IXO.1+2X0.2+3X0.3+4x0,4=3,

O(X)=(1-3)2X0.1+(2-3)2X0.2+(3-3)2X0.3+(4-3)2X0.4

=4X0.1+1×0.2+0×0.3+1×0.4=1,

所以。(2X+7)=22D(X)=4.

故选：C.

由均值和方差的公式求出E(X),D(X),再由方差的性质求解即可.

本题考查了方差的计算，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：联立得/-8x+4=0,

设直线y=%-2与抛物线f=4%交于A,8两点分别为(xl,yι),(%2,y2),

∙∙∙%I+%2=8,ʌXD==4,ʌyD=4—2=2,

・•・D(4,2),

2-01

∙"∙fe0D=4ɪ0=2'

故选：C.

联立直线和抛物线方程，化为关于X的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两个交点的横坐

标的和，进而可求。的坐标，可求直线。。的斜率.

本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题.

7.【答案】A

【解析】解：由题意得/'(X)=2x-2-T=W弃？，Xe(0,+∞),

,・,函数f(x)=%2-2%-0ln%在(0,+8)上单调递增，

・•・∕z(x)≥O在(0,+8)上恒成立，即r≤2X2-2%在(0,+8)上恒成立，

令y=2X2-2x=2(x—ɪ)2—I≥—ɪ,

α≤-∣,即实数〃的取值范围是(一8,-刍.

故选：A.

由题意得"Go=2x—2—t=2/了丫-%题意转化为尸(X)≥O在(0,+8)上恒成立，即α≤2∕一

2x在(0,+8)上恒成立，令y=2/一2x,X∈(O,+∞),结合二次函数的性质，即可得出答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性,考查转化思想和函数思想,考查逻辑推理能力和运算能力，

属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：根据题意，假设第1天去A餐厅为事件A,第1天去8餐厅为事件8,第2天去A

餐厅为事件C,

P(C)=P(A)P(CM)+P(B)P(ClB)=0.5X0.5+0.5×0.9=0.7.

故选：B.

根据题意，假设第1天去A餐厅为事件A,第1天去B餐厅为事件B,第2天去A餐厅为事件C,

由全概率公式P(C)=P(A)P(CM)+P(B)P(Cl8),计算可得答案.

本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：由圆G：(x-4)2+(y—I)2=1,可得圆心

C1(4,1),半径为r=l,

由圆C2：(X-3)2+(y—l)2=1,可得圆心。2(3,1),半径为

R=1,

设点G关于直线y=X+1的对称点为C3(χ0,y0),如图，

(^s-ɪ∙1=-1(χ=0

则FU，，解得?一;，即C3(O,5),

5

yfi±l=χo+4,1(y0=

V2^2

连接C2C3,

因为点G、C3关于直线y=%+1对称，

所以IIPCll=∣PC31>

则IPMl+IPNl≥(IPeII-IMCII)+(∣PC2∣-∣JVC2∣)

=(IPC3I-I)+(∣PC2∣-1)=IPC31+∖PC2∖-2≥IC2C3I-2,

当且仅当P,C2,C3在同一直线上时取等号，

又∣C2C3∣-2=J(3-0)2+(1-5)2-2=5-2=3,

故选：B.

求得点Cl关于直线y=x+1的对称点C3的坐标，连接C2C3,要求IPMl+IPNl的最小值，可以转化

为求∣PC3∣+∣PC2∣-2的最小值，从而可得答案.

本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与等价转化思想以及运算求解能力，属于中档

题.

10.【答案】D

【解析】解：根据题意，从每一组种分别选2条，即可组成一个平行四边形，

则有弓弓=420种选法，即可以组成420个平行四边形.

故选：D.

根据题意，由平行四边形的性质，从每一组种分别选2条，根据分步计数原理即可得到答案.

本题考查排列组合的性质和应用，注意平行四边形的性质，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】解：令g(x)=号，x∈R,

则g，(X)=卓誓，

V∕(x)>f(x),EPf(X)-/(X)<0-

.∙.g'(x)<0在R上恒成立，即g(x)在R上单调递减，

又e2ατ∕(α+1)>/(3α),g∣Je3α-(α+i)χ(α+1)>f(3α),

,f(α+D、f(3α)

,即g(α+1)>g(3α),

∙ea+l/e3a，

・•・a+1<3α,解得Q>ɪ,

故实数a的取值范围为6,+∞).

故选：A.

由题意构造函数g(x)=得，x€R,则g'(x)=△竽2结合题意可得g(x)在R上单调递减，

题意转化为g(α+l)>g(3α),即α+l<3α,求解即可得出答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性,考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力,

属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：双曲线今-，=l(α>0,b>0)的离心率e=2,

,2

可得e=：c=2,即有1+与=5,可得b=2α,

aαz

设做卬为)，B(,-X11-y1),P(XoJo),

可得≡j-4=1,4-4=1.

两式相减可得(XLX。)*+*。)=d-y。孕+”

Qb

即为但ι.gfl=4=4,

Xl+XoXl-Xoɑ2

可得自卜2=4,

^k1∈[1,2],则上的取值范围为[2,4]

故选：D.

运用双曲线的离心率公式和a,b,C的关系可得2α=b,设4(//1),β(-x1,-y1),M(x0,y0),

代入双曲线的方程，作差，由直线的斜率公式可得七七=4,再由不等式的性质可得所求范围.

本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的范围，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

13.【答案】240

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5名学生分为4组，有废=10种分组方法，

②将分好的4组安排到4个社区，有用=24种情况，

则有10×24=240种安排方法.

故答案为：240.

根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，②将分好的4组安排到4个社区，由分步

计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题.

14.【答案】10

【解析】解：由题意，成功概率为P=I=W,X〜8(309,所以E(X)=30X,=10.

故答案为：10.

由随机变量X服从于二项分布，利用期望公式求解.

本题考查了二项分布的期望公式，属于基础题.

15.【答案】15

【解析】解：由限L哉可得，含=警*+|，

112τ712

an+lan3'ɑɪ3,

故数列｛；｝是以弓为首项，I为公差的等差数列，

α∏Jɔ

,∙,^-=∣+∣(n-l)=⅞,

1112

故由工+瓦+…+工=式1+2+…+A

=IX当Q=驾义≥81可知，n≥16,

故符合题意的〃的最大值为15.

故答案为：15.

将递推式两边同时取倒数，可得数列｛；｝是等差数列，求和以后，解出符合条件的正整数解即可.

an

本题考查了可化为等差数列的递推式的处理及等差数列求和公式，属简单题.

16.【答案】①②③

【解析】解：以点4为坐标原点，AB,AD,A4所在直线分别为x、y、Z轴建立如下图所示的空

间直角坐标系，

因为正方体4BC0-4ιBιG5的棱长为2,而=tAA1(t∈[0,1])>

则A(0,0,0)、F(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)、Al(0,0,2)、B1(2,0,2),

Ci(2,2,2)ʌD1(0,2,2)>H(0,0,2t).

对于①，CH=(-2,-2,2t),BD=(-2,2,0)，

∀t∈[0,1],CH-BD=4-4+0=0,①对；

对于②,CA=(-2,-2,0),C∖¾,=(-2,-2,2).

∀t∈[0,1],都存在s∈[0,1],使得函=s+(I-S)鬲

则SCA+(1—S)CAl-s(—2,-2,0)+(1—s)(—2,—2,2)——(—2,—2,2—2s)，

由丽=S石？+(1-S)鬲*可得2-2s=23可得s=1-t6[0,1],合乎题意，②对;

对于③，DH=(0,-2,2t),CTB=(0,-2,-2).

若tC[0,1],使得说_L布，则而•酢=4-4t=0,解得t=l,合乎题意，③对;

j

对于④，在正方体ABCD-AlBlGDl中，AA1lF≡ABCD,

因为4CU平面ABCD,则44ι1AC,

又因为A4〃CCi且441=CC1，故四边形/MiCIC为矩形，且AC=CAB=2√^五,

易知四边形为正方形，

将侧面ABB14与面4CG4延展至同一平面，如下图所示：

当点8,H、Cl共线时，HB+HQ取最小值，

222

且HB+HC1≥BCl=√(AB+AC)+CC1=(2+2√-2)+2=2√4+2√^2>

当且仅当点8、H、Cl共线时，等号成立，故HB+HQ的最小值为2λ∕4+24，④错.

故答案为：①②③.

以点A为坐标原点，AB.AD,Λ4ι所在直线分别为x、y、Z轴建立空间直角坐标系，利用空间向

量数量积的坐标运算可判断①③；利用空间向量的坐标运算可判断②；将侧面4B8ι4与面4CG4

延展至同一平面，分析可知当点8、”、Cl共线时，HB+HQ取最小值，求出“B+HG的最小值，

可判断④.

本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由于(2x+/)n(τιeN*)的二项展开式满足耳+1=Cz.(2x)nτ∙x+*

第2项的二项式系数为CJb第3项的二项式系数髭，第4项的二项式系数%，

由于第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，

故2服=盘+鬃，整理得n=2或7(2舍去)；

故n—7.

(2)二项式(2x+上)τι展开式的第7项为t6+i=c$∙(2x)i∙x-5=14√^^x.

【解析】(1)直接利用展开式的第二项展开式的二项式系数，第三项的二项式系数及第四项的二项

式系数程等差数列建立方程，进一步求出"的值；

(2)利用(1)的结论，进一步利用二项展开式求出结果.

本题考查的知识要点：二项展开式，展开式的二项式系数，组合数的求法，主要考查学生的理解

能力和计算能力，属于中档题.

18.【答案】解:(1)设｛an｝的公比为g,

Ii917

则-------=2,工0，即1-----=~2'

ɑi出炉1qqz

解得q=2或q=-1,

若q=-1,则$6=0,与$6=63矛盾，不符合题意.

・•・q=2,

-

cɑl(l2^)UQ∙an—1

ʌS6=­匚^—=63，∙∙ι-ɪ-

,n1

..an=2~,

(2)・・•brι是l0g2an和log2%ι+ι的等差中项，

1

••・bn=2(log2Q〃+log2a〃+i)

11

n1n

=2(∙og22-÷log22)=n-2∙

λ

^n+l-brι=1，

∙∙∙｛%｝是以2为首项，以1为公差的等差数列，

设数列高的前2n项和为72n，

则%»=(一必+班)+(-⅛3+必)+…+(-%T+%)

=b1+b2+b3+b4+―+b2n-1+b2n

—也学Ii-2n=2∙2n=2n2.

【解析】本题考查了等比数列的通项公式，数列的求和，属于较难题.

(1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比4,利用求和公式解出的,得出通项公式;

(2)求出勾，利用分组转化及等差数列求和公式即可求解.

19.【答案】解：(1)分别以AB、AD.AP所在直线为

X、y、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-Xyz.

•••AP=AB=AD=1,

ʌ/1(0,0,0),8(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,l)∙

设C(I,犯0),

则丽=(LO,-1)，CD=(-1,1-m,0).

•••直线P8与CO所成角大小为全

.∙.∣cos<PF,CD>∣=∣^gf∣=^

1_1

即L72=2，

∖C2×J1+(1—m)

解得TH=2或TH=0(舍),

.∙.C(l,2,0),即BC的长为2；

(2)设平面尸8。的一个法向量为沅=(x,y,z).

•••丽=(1,0,-1),PD=(0,1,-1),

可取沆=(1,1,1).

设PBC的一个法向量为记=(α,b,c),PC=(1,2,-1),

pɪij(n-PB=a—c=0

，可取五(i,o,i).

m-PC=a+2b—c=0

则c°s<而，元>=就=Hn=f'

即二面角。-PB-C的余弦值为容.

【解析】(1)分别以A8、A。、AP所在直线为x、y、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系4一XyZ.由

已知求得A,B,D,尸的坐标，设C(I,m,0),可得两=(1,0,-1),而=(一1,1一τn,O).再由直线

PB与C。所成角大小为系列式求得〃?的值，则C的坐标可求，即可求得BC的长；

(2)分别求出平面PBD与平面PBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角。-

PB-C的余弦值.

本题考查异面直线及其所成角，考查了二面角的平面角的求法，训练了空间向量在求解空间角中

的应用，是中档题.

20.【答案】解：(1)由题意可得7(2,0),且GQ是PT的中垂线，

所以IPGl=∖GT∖,

又IGSl+∖GT∖=IGSl+∖GP∖=∖PS∖=2y∏>>4=∖ST∖,

所以点G的轨迹是以S,T为焦点的椭圆，

设椭圆方程为各*l(α>b>0),

所以Q=√-6,c=2,

所以b=ʌ/α2-c2=Λ∕-^2,

所以椭圆C的方程为F+4=L

6L

(2)易知直线/与y轴不垂直，所以设直线/的方程为X=ty-2,

(x=ty-2

联立∣χ2y2,得«2+3)丫2一钝)/-2=0,

LE=I

设M(XI,yι),/V(x2,y2),

所以为+%=彘，%y2=∕⅛,

所以1月一旷21=J(⅛)2-4⅛=篝

2

所以S-IlaSIRvI_1xɔy2√-6∫tZl_2√6,

XMoN-2∣σ5∣∣>zl372∣-2×Z×----------------一

所以JN1—1,解得t2=3或［2=0,

1ς7Γ-3

所以t=±yj3或t=0,

所以直线/的方程为X±√3y+2=0或X=-2.

【解析】(I)由题意可得7(2,0),且GQ是PT的中垂线，则∣GS∣+∖GT∖=IGSl+∖GP∖=∖PS∖=

2<6>4=∣ST∣,由椭圆的定义可得点G的轨迹是以S,T为焦点的椭圆，设椭圆方程为1+m=

l(α>6>0),解得α,c,再由b=>。解得从即可得出答案.

(2)直线/与坐标轴不垂直，设M(Λ⅛,%),N(X2/2)，直线/的方程为％="-2,联立椭圆的方程,

结合韦达定理可得力+丫2，〃丁2，进而可得Iyl-'2∣,则SAMON=TI。SlIyl-'2∣=2X2X

2√6λf⅛_2<6,解得3即可得出答案.

-⅛~

本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)根据题意，列联表完成如下:

是否体验汉服

性别合计

体验汉服没有体验汉服

ɪ180100280

ɪ4080120

220180400

2_400×(180×80-100×40)2_

K-280×120×220×180~32-516>10'828

根据小概率值α=0.001的独立性检验，认为体验汉服与性别之间有关联.

(2)由数据可知，

--1

因为X='x(3+4+6+8+11+15+16)=9,

一1

y=ɪ×(6+10+15+17÷23+