重难点二：不等式-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习（解析版）

重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）

♦［目录］

5种解题模型

一、一元二次型不等式恒成立问题

二、一元二次型不等式能成立问题

三、基本不等式中“1”的妙用

四、利用基本不等式求参数范围

五、作差法比较大小

5种数学思想

一、函数与方程思想

二、数形结合思想

三、分类与整合思想

四、转化与划归思想

五、特殊与一般思想

口3一、真题多维细目表

考题考点考向

2022新高考2,第12题基本不等式利用基本不等式求最值

2020新高考1,第11题不等式的概念和性质比较大小

但二、命题规律与备考策略

本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义

域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选

择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三

角函数、数列等知识综合掌握。

U三赢解题技巧

1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的

主要步骤为作差——变形——判断正负.

2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定

条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.

3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常

用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好

利用均值不等式的切入点.

4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，

例如：2JW――，7abW）-（。>0,〃>0）等，同时还要注意不等式成立的

条件和等号成立的条件.

5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础：一般可把aVO的情况转化为a>0时

的情形.

6.在解决不等式加+法+。>0（或\0）对于一切x£R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，

需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a=0时是否满足题意.

7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在

区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.

但四、题型方法

5种解题模型

一、一元二次型不等式恒成立问题

一、单选题

1.（2023•福建♦统考模拟预测）已知〃:Vxe[l,5],f-4x+a-2>0恒成立,则。的一个充分不必要条件是

（）

A.«>1B.a2>36C.20>64D.log2a>3

【答案】D

【分析】先通过选项求出是什么条件，选出符合题目要求的充分不必要条件即可.

【详解】VXG=1.5,x2-4x+a-2>0^>a>-x2+4x+2>得a>6,A是P的必要不充分条件，B是P的必

要不充分条件，C：2">64oa>6是P的充要条件，D：log2a>3=a>8是。的充分不必要条件.

故选：D.

二、多选题

2.（2023・广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知。：VxeR,x?一方+i>。恒成立；q：

Vx>0,工+4>2恒成立.则()

X

A."q<2”是P的充分不必要条件B."a<2"是。的必要不充分条件

C."a>2"是4的充分不必要条件D."〃>2”是［的必要不充分条件

【答案】BC

【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数。的取值范围，结合充分必要条件即可得答案.

【详解】已知P：VxeR,--奴+1>0恒成立，则方程f-奴+1=0无实根，

所以△="-4<0恒成立，即-2<a<2,故"a<2"是P的必要不充分条件，故A错误，B正确；

又q：Vx>0,x+@>2恒成立，所以a>—f+2x在x>0时恒成立，

X

又函数y=-f+2x=-(x-l)2+1的最大值为y=l,

所以。>1,故"。>2"是夕的充分不必要条件，故C正确，D错误.

故选：BC.

三、填空题

3.(2023•全国•高三专题练习)设对一切实数x,不等式dbg,曳空D+2xlog,2-+log,"£>0恒成

-aa+i"4a

立，则“的取值范围为.

【答案】(0,1)

【分析】不妨设将不等式等价转化为(3-t)x2+2tx-2t>0对一切实数X恒成立，然后利用一元

二次不等式恒成立列出不等式组，解之即可求解.

【详解】不妨设log2^;=t，贝IJ/wR,则log?''*"=log2*：+”=3+log2=3-log?=3-1,

a+la2a2aa+l

即log2=log?l黑=21og2［^-!-］=-2t,

4a2a2a

所以，原不等式可化为(3-t)x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立，

所以［…人密"”。’解得八。或。6,所以即3有<°，则0<石7<］，解得03L

故答案为：(0,1).

4.(2023・广西•统考模拟预测)若不等式以2>f_XT对x«3,0)恒成立，则。的取值范围是

【答案】

4

【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出”的取值范围.

【详解】由不等式加>X,-X-1对X€(9,0)恒成立，

可转化为a>上手口对X«F,0)恒成立，即“>卜一二二],

XVx/max

2

-^x-x-l11,1125

x2x2xx24

当X=-2时，一(，+!尸有最大值。，所以

x2444

故答案为：«>y.

4

5.(2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=2*,xwR,若不等式r(x)+/(x)-机>0在R上恒成立，则

实数m的取值范围是.

【答案】(r0,0L

【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案.

【详解】令/(%)=t(t>0),H(t)=t2+t,t>0,

因为H⑺=。+1)2一1在区间(o,+oo)上是增函数，

24

所以"⑺>"(0)=0.

因此要使/+/>〃?在区间(0,+00)上恒成立，应有m<0,即所求实数m的取值范围为(-8,0].

故答案为：(F，0L

四、双空题

6.(2023・云南•高三校联考阶段练习)螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是"旋卷"或"缠卷"，平面螺

旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示.如图乙所示阴影部分也是一个美丽的

螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形A8CD的边长为4,取正方形4BCZ)各边的四等分点E,尸、

G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q,作第3个正方形

MNPQ,依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABC。的边长为4,后续各正方

形的边长依次为见，4，，耳，;如图乙阴影部分，直角三角形AE”的面积为々，后续各直角三角形的面

积依次为打也，也，，则%也=一；记数列出｝的前〃项和为S“，若对于25：-他+120恒成立，则4

的最大值为.

图⑴图⑵

375.,119

【答案】叁/1发

【分析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，就可以求出数列也｝的通项公式，从而就

可以求出S“的表达式，再用参数分离求2的最大值即可.

【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为4,生，4，，4,则

于是数列｛〃,,｝是以4为首项，手为公比的等比数列，则《,=4・

由题意可得：S-="w-S正方形所由，即匕心生为”二生,…％

,4444

35

所以《也=4-

I256

是关于〃的增函数，所以

8

由2S；-Z5„+l>0恒成立得A<受"，

令尸变

=2sH----=2sn+—

nS“/J”，

所以当5.€4,4）时〉=25“+小单调递增，所以”号手）,

所以4的最大值为，，

37511

故答案为:

256

【点睛】关键点点睛：本题关键是求出数列佃,},{〃}的通项公式，先写出数列的前几项，通过找规律发现

递推关系从而得到通项公式.

五、解答题

7.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=f-（“+2）x+4（aeR）.若对任意的xe[0,4],

〃x）+a+120恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】[-5,4]

【分析】首先不等式变形为a（x-1）4x2-2x+5恒成立，讨论x的取值，利用参变分离，结合基本不等

式，转化为求函数最值问题.

【详解】回对任意的xe[0,4],/（x）+a+l20恒成立，-（a+2）x+5+a20恒成立，

即。（了一1）4父—2x+5恒成立.当x=l时，不等式为044恒成立；当x«l,4]时，

a<-~=^=x-l+—,l<x<4,.-.0<x-l<3,.-.x-l+——>4,当且仅当x-l=——时，即

x-1x-lx-\X-1

x—l=2,x=3时取:.a<4.

当xe[l,0）时,a>±1£15=x_1+_i_=_^1_%+_±_y

I30<X<1,.-.0<l-x<l.令f=l—x,则/«（）』，回函数y=-1+。）在（0』上单调递增，

团当f=l一x=l,即x=0时、函数y=+取至ij最大值一5,/.a>-5.

综上所述，。的取值范围是卜5,4].

二、一元二次型不等式能成立问题

一、单选题

1.(2023•全国•模拟预测)已知〃x)=singgcos]-§叱卜5.若存在/£,使不等式

/(不)4疗-3加-《有解，

则实数机的取值范围为()

A.[0,3]B.(-00,0][3,400)

']:(—00,0]U—,-HXDj

C.~—,3D.

【答案】B

【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问

题，求出最值，解不等式即可.

【详解】/(x)=sin|^cos|-sin|^+1

/T.XX.X.X1

=73sin—cos——sin—sin—+—

22222

3

(1-C0SX)1

2sinx---------+—

22

73一1

2sinx+—cosx

2

兀..兀

=cos—sinx+sm—cosx

66

=sin(x+¥],

I6j

jr1

若存在x°e-,7T,使不等式〃x°)4/-有解,

2

则问题转化为在改)£石，兀±TH-3/n-->[/(x0)]min

因为?工玉)工兀，所以，

6366

所以

所以"，-3A??-->--=>/n2-3m>0,

22

解得：机23或mKO

即实数〃2的取值范围为：(9,0][3,+8),

故选：B.

2.(2023・河南安阳•统考二模)已知集合A={x|-24x4。},8=jaRxeR,f+(<0),则AB=

().

A.[1,2)B.[-2,-1]C.[—2,1)D.[-2,-1)

【答案】D

【分析】由题得A>0,解出〃的范围，再根据交集含义即可得到答案.

【详解】因为3xeR,x2-^+-<0,

4

所以。2一1>0,所以或〃<一1,

所以8={司或a<-l},

所以Ac8=[—2,-1).

故选：D.

3.(2023•四川德阳•统考模拟预测)已知p:04aW2,q-任意xwR皿°_6+12()，则p是q成立的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式恒成立解得4：0<«<4,结合充分、必要条件的概念即可求解.

【详解】命题4：一元二次不等式以2-奴+120对一切实数x都成立，

当。=0时，1>0,符合题意；

当。工0时，有一八，即，“小，解为aw(0,4],

[A<0[a--4a<0

sq：04a44.又P：0<a<2,

设A=[0,2],8=[0,4J,则A是8的真子集，

所以P是4成立的充分非必要条件，

故选：A.

4.(2023春•安徽亳州•高三校考阶段练习)已知命题"超-x；+3%+〃>()”为真命题，则实数。的

取值范围是()

A.B.(YO,4)C.(-2,-H®)D.(4,+oo)

【答案】C

【分析】由题知44-川时,（片一孤）二,再根据二次函数求最值即可得答案.

【详解】解：因为命题咱r；+3x0+a>0”为真命题，

所以，命题"*e[-1,1],a>x；-3x0”为真命题，

所以，为时，4>（片-3%匕，

因为，y=x2-3x=fx--1j,

所以，当xe[Tl]时，%m=-2,当且仅当x=l时取得等号.

所以，%/1,1]时,4>（片-36=-2,即实数。的取值范围是（-2,M）

故选：C

二、双空题

5.（2023•陕西榆林•统考三模）若不等式以2_6x+3>0对xeR恒成立，则。的取值范围是

9

Q+的最小值为__________.

a-\

【答案】3+8）7

【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得〃>3,再利用基本不等式，即可求解.

【详解】当。=0时，不等式-6x+3>0对XER不恒成立，不符合题意（舍去）；

当。H0时，要使得奴?一6工+3>0对xeR恒成立，

则满足口八，解得。>3,所以实数。的取值范围为3+8）.

[△=36-12。<0

99r-

因为a>3,可得a—3>0,所以a-i---=a—1H-----F1>2V9+1=7,

a-\a-\

9

当且仅当。=4时，等号成立，所以a+3的最小值为7.

a-\

故答案为：（3,+8）；7.

三、填空题

6.（2022秋•江苏南通•高三统考阶段练习）若关于x的不等式ax2-x+4,0在区间。2]上有解，则实数。的

取值范围是.

【答案】（V,自

Y

【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，，40,求出导在给定区间的最大值，进而可求出

结果

［详解］因为xe［0,2］,所以由o?—x+a40得

因为关于x的不等式如2—x+a40在区间［0,2］上有解,

所以只需。小于等于"X的最大值,

X

当x=0时，——=0,

x+1

当XW0时，Y+11-FT2,当且仅当》=上时等号成立，即当且仅当x=l时取等号，故

，V,x*

的最大值为g，所以

即实数。的取值范围是（-8,自.

故答案为：（YOQJ.

7.（2023•全国•高三专题练习）设函数“X）的定义域为。，若*e。，使得〃不）=%，则称％是函数

〃x）的不动点.若函数/.（x）=In（e2v+ae'+2）在区间［0,1］上存在不动点，则实数”的取值范围是

【答案】l-e-jl-2呵

【分析】采用换元法令e",=f,将问题转化为关于，的方程产+（。-1»+2=0在［l,e］上有解，再分离参数即

可求出。的范围.

【详解】设与由题可知/&）=%有解,

即In+ae*+2)=%有解，

即，'。+4泊+2=6跖有解，

即(e'")2+(a-l)e*。+2=0有解,

令e&=re[l,e],贝厅+2=0有解,

2

即l-a=f+：在，e［l,e］时有解.

易知g(r)=r+：在［1,用时单调递减，在［a,e］时单调递增，

且g(e)=e+：>g⑴=3,g(四)=2&,

故g(f)=l-ae2&,e+：］,则asl-e--|,l-2V2］.

故答案为：应］.

【点睛】关键点睛：本题关键是将对数方程化为指数方程，并采用换元法将问题转化为关于f的二次方程

在特定区间上有解的问题.

四、解答题

8.(2023・重庆酉阳•重庆市酉阳第一中学校校考一模)命题P：任意xeR,x2_2”_加>0成立；命题

q：存在xeR,炉+4的+1<0成立.

⑴若命题9为假命题，求实数〃，的取值范围；

⑵若命题P和4有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.

【答案】⑴-白旌；

(2)-g4"?<0或，”4-3或m>；

【分析】(1)由g真,由判别式求得，〃的取值范围，进而得到q假的条件；

(2)求得p真的条件，由0和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或。假q真，然后分别求的，〃的

取值范围，再取并集即得.

【详解】(1)由q真：A=16/??2—4>0,得，〃<—万或加>；,

所以q假:

(2)p真：4=4/〃2+12机<0推出-3<%<0,

由。和。有且只有一个为真命题，

真夕假，或P假夕真，

-3<m<0m<-3或机>0

11或，1,

——<m<-m

2222

4n<0或〃？W-3或>!.

22

三、基本不等式中“1”的妙用

一、单选题

1.已知点A（L4）在直线2+看=1（〃＞0力＞0）上,若关于f的不等式a+62产+5r+3恒成立，则实数f的取

值范围为（）

A.[-6,1]B.[-1,6]

C.(^o,-l]u[6,+oo)D.

【来源】宁夏中卫市2023届高三二模数学（理）试题

【答案】A

【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得。+〃的最小值，从而将问题转化92J+5/+3,解之

即可.

【详解】因为点41,4）在直线2+看=1（。＞0,/»0）上,

所以51=41,

ab

匕

故a+一b+—4a+5>2J4a+5c=9n,

abab

当且仅当2h=；4a且上1+；4=1,即a=3力=6时等号成立,

abab

因为关于r的不等式a+bwr+5f+3恒成立,

所以92产+5t+3,解得-64Y1,

所以

故选：A

2.已知正实数”,〃，点M（l,4）在直线2+5=1上，则a+b的最小值为（）

ab

A.4B.6C.9D.12

【来源】河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题

【答案】C

14

【分析】根据题意可得上+：=1,结合基本不等式运算求解.

ab

14

【详解】由题意得一+：=1,且。>03>0,

ah

故a+Z?=（a+/?）J—i—|=5H125+2J—x—=9,

\7Ub）abNab

当且仅当2=半，即a=3,6=6时，等号成立.

ab

故选：C.

92

3.已知正实数a，b,满足则a+b的最小值为（）

2ab

A.5B.-C.5正D.史।

22

【来源】河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考理科数学试题

【答案】D

【分析】先根据基本不等式求出（五9+2侪、+户万25.然后即可根据不等式的性质得出

列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.

【详解】由已知可得，a>0,b>0,a+b>0.

9c9b,2ac962a13

因为a+b）=-+2+—+—>2,[—x——+—

2lab72ab2

9PI

---

24即2a=3h时等号成".

/\

292

所乩+I>+■+>25

-一---

Ib—2

2«7

'2a=3bf3正

当且仅当｛,92,即2时，两个等号同时成立.

2ab[b=y/2

所以,〃+逑+忘=迫.

22

故选：D.

4.已知b>\,a"=100,则log“l（）+31og〃10的最小值为（）

A.4B.6C.8D.12

【来源】江西省南昌市稳派2023届高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（理）试题

【答案】B

【分析】条件等式两边取对数后，得31ga+lgb=2,再结合换底公式，以及基本不等式"1"的妙用，即可

求解.

【详解】因为/b=ioo,所以lga6=2,即31ga+励=2,

131(13、，=%+幽+海

所以log.10+31og〃10=——+二一=------+二--(31g4z+lgZ?)

IgaIgb2(igaIg^JV)21Iga3

当且仅当lg8=31ga,即”=10《，。=10时等号成立,

所以log“10+3bg60的最小值为6.

故选:B.

二、多选题

5.已知a>0,b>0,直线y=x+a与曲线y=e-i-4〃+l相切，则()

114

A.的最大值为=B.—+7的最小值为25

32ab

C.址+b2的最小值为姮D.&+2〃的最大值为2

17

【来源】安徽省省十联考2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题

【答案】BC

【分析】根据导数几何意义，得到。+4)=1,再结合基本不等式可判断ABD的正误，利用换元法可解选项

C.

【详解】设切点为(事,%)，因为y'=ei,所以e5=l,得%=1,

所以l+a=2-4b,所数a+4b=l.

对于A,\=a+4b>2A/4ab=4y[ab>所以"W77,

16

当且仅当：时，等号成立，故A不正确；

28

对于B,l+-=f-+-\(z+4fo)=17+—+—>17+2>^6=25,

ah\ab)ah

当且仅当a=b=g时，等号成立，故B正确；

对于c,yla2+b2=业+0_甸2=J7〃-86+1=

41

当且仅当。==,。==时，等号成立，故C正确;

当且仅当&=2折，即“：时，等号成立,

28

故指+2〃的最大值为正，故D错误.

故选：BC

6.直角三角形ABC中，P是斜边8c上一点，且满足BP=2PC，点”，N在过点尸的直线上，若

AM=mAB,AN=nAC,(m>0,n>0),则下列结论正确的是()

1215

A.一+—为常数B.m，〃的值可以为：m=-,n=-

mn22

C.机+2〃的最小值为3D.沁的最小值为，

3VA8c9

【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第四次高考模拟考试数学试卷

【答案】ACD

1212

【分析】作出图形，由B尸=2PC可得出AP=：AB+：AC,根据三点共线的结论得出上+*=3,由此判

33mn

断A,B,结合基本不等式可判断CD.

【详解】如下图所示：

由BP=2PC，可得AP_AB=2（AC_AP）,

:.AP=-AB+-AC,

33

AM=tnAB.AN=nAC，（机

则AC=-AN,

tnn

AP=—AM+—AN,

3m3n

"、P、N三点共线，

12

—i—=3,

3m3nmn

故A正确;

当m=',〃时,1914

-+-=V*3＞所以B错误;

22mnJ

Q〃?+2〃=(H?+2/7)

当且仅当，刀=〃=1时，等号成立，C正确；

_ABC的面积Swe=gA8,4C,-AMN的面积S“的AN，

SVAU,VAMAN

所以^L=AR=""，

SvABCAB-AC

\2n~224

因为上+』=3,所以2『.人3,当且仅当根=?时等号成立,

mnn33

824

即机〃当且仅当机=§,〃=§时等号成立，

所以当机=2=：4时，〃加取最小值，最小值为8

所以言出”的最小值为。，D正确；

^VABC9

故选：ACD.

三、填空题

7.在..A3C中，已知ABSC=9，sinB=cosAsinC,SABC=6,户为线段A8上的点，且

_CACB34x

CP"x'\^\+y'\7^'则一+1的最小值为___________.

CACBx3y

【来源】天津市2023届高三一模数学试题

【答案】3

【分析】首先由sinB=cosA-sinC及sin8=sin(A+C)得出C=5,再由AB-AC=9得出=3,由

Xy1

S,wc=6得出5c=4,设。?=ACA+(1—幻C5,^e[O,l],结合已知得出向+同印，根据基本不等式

求解即可.

【详解】因为sinB=8sA・sinC,且sinB=sin(A+C),

所以sin(A+C)=cosAsinC,即sinAcosC+cosA•sinC=cosA•sinC,

所以sinA・cosC=0,

因为Aw(0,7i),

所以sinAwO,

7T

所以cosC=0,由。€(0,兀)得。=一，

2

由AC=9得A5-AC=k8HAq-cosA=9,

因为,

所以cosA=|AC『=9,即|AC|=3,

由SA8c=；xBCxAC=6及AC=3得BC=4,

设CP=kC4+(l-k)CB,Are[0,1],

iCACB

因为'曰+A阿

X=kp^j=(l-Z)

所以同烟

~,y=k+l-k=\

所以同|CB|

将同=3,冏=4代入得,j+-J=l,即4x+3y=12,

“，34x312-3y34,,34、y、，，3y4x

所以一+丁=_+——=-+——1=(-+-)(T+7)-1=1+—+—

x3yx3yxyxy344x3y

因为广3v+丁4x22,当且仅当3v/=4丁x，即x=3z，y=2时，等号成立,

4x3y4x3y2

“t34x,3y4x、)

所町+豆=1+菽+豆*3,

故答案为：3.

A

8.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,/R4c=120。且回BAC的平分线交BC于。，若

AD=1,则b+4c的最小值为.

【来源】新疆喀什地区普通高考2023届高三适应性检测数学（理）试题

【答案】9

【分析】先根据三角形面积关系列Ac等量关系，再根据基本不等式求最值.

【详解】因为A。平分I3BAC,所以NBAO=NC4D=60。，SABC=SABD+SACD,

即-bcsin120°=-MDsin60°+-MDsin60°,又40=1,

222

整理得6c、=c+6,te-+-=l

bc

所以"4c=（K4c）（\+野哼+:+522府+5=9,

4cA113

当且仅当芋=2,7+-=l,即6=3,c=：时等号成立，

bcbc2

则6+4c的最小值是9.

故答案为：9.

9.正数匕满足a+4〃—3a〃=（）,若不等式机之一4"<a+b恒成立，则实数小的取值范围

【来源】贵州省凯里市第一中学2023届高三三模数学（理）试题

【答案】（2-近,2+万）

【分析】由均值不等式"1"的代换求出。+匕23,贝1」疗_4,〃<3,解不等式即可求出答案.

41

【详解】解析：由题二厂3,

5+-+-5+2,他W

ab>_

33

0m2-4AH<3>

解得：2->/7<,〃<2+6.

故答案为：（2-步,2+夜）.

四、解答题

10.已知函数/(x)=|x+3|+|x-2|.

⑴求不等式f（x）49的解集；

⑵设/（x）的最小值为m,若正数a,匕满足,+?=，*求a+46的最小值.

ab

【来源】陕西省宝鸡中学2023届高三月考（七）文科数学试题

【答案】⑴[一5,4]

【分析】（1）分情况去掉绝对值的符号，分类讨论解不等式；

（2）先根据绝对值三角不等式算出〃?，然后根据基本不等式求解.

【详解】（1）当xN2时，原不等式等价于2x+lM9,解得2VxW4.

当-3<x<2时，原不等式等价于549,恒成立.

当时，原不等式等价于一2尢-1«9,解得一-3.

综上所述，不等式〃力工9的解集为[-5,4].

（2）因为卜+3|+卜-23（》+3）_（*_2）|=5,

当且仅当（x+3）（x-2）?。即-3W2时，等号成立，

所以“2=5,SP-+7=5.

ab

If11VIf,4ba]^1(4ba9

a+4b=~\—+-(a+4/?)=-5+—+—>—o5+2]----

5\«bj5kab)5Nab5,

当且仅当。=2匕=，3时，等号成立，故的最小值为9:

四、利用基本不等式求参数范围

一、单选题

1.（2023•广东湛江•统考二模）当x,ye（O,田）时，与孕恒成立，则机的取值范围是

x4+2x2y+y24

（）

A.（25,-H»）B.（26,+oo）C.jD.（27,+oo）

【答案】A

【分析】将左侧分式的分子因式分解成（4/+丫）卜2+4），）的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可

以得到结果.

/*22A、2

4x+y+x~+4y

【详解】当x,y«0,田）时，4d+17fy+4y2=（犷+桅+甸«[2J=25,

X4+2x2y+/一（x2+y）2-（x2+一4

当且仅当4f+y=%2+4y,即y=f时,等号成立，

“I」4x4+17x2y+4y2,,曰〜/士=25

所以一,c,~J的最大值为—.

x+2x~y+y^4

所以‘>"，即加>25.

44

故选：A.

二、多选题

2.（2023•全国•模拟预测）己知a>0,b>0,2a+b=2,则下列结论正确的是（）

1112

A.--2b>0B.ab<—C.4«2+b2>4D.—I—N8

a2ab

【答案】AB

【分析】根据基本不等式判断A,B选项，特殊值法判断C,D选项即可.

【详解】选项A：因为2a+b=2,所以6=2-勿，所以

--2b=--2(2-2a)=-+4a-4>2.-x4a-4^0,

aaaVa

当且仅当工=4。=2,即a=1时等号成立，故A正确;

a2

选项B：ab=--2ab<-（^^]=-,当且仅当次=〃=1时等号成立，故B正确;

22[2}2

选项C：因为2。+6=2,。=,b=\,4a2+b2=4x—+1=2<4,故C错误;

24

11?

选项D：因为2〃+〃=2,〃=二8=1,一+/=2+2=4<8,故口错误.

2ab

故选:AB.

三、填空题

3.(2023•全国•模拟预测)已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，/(x)+g(x)=2e\若不等式

[/(x)]2+3N〃?[g(x)+2eT-l]恒成立，则实数加的最大值为.

【答案】6

【分析】根据奇偶性得到〃x)-g(x)=2eT,再联立求解得/(x)=e，+eT,g(x)=e'-e7,从而原不等

式等价于(e'+e-，)2+3*“(e'+eT)-l],设f=e，+ef,分离参数结合基本不等式即可求解.

【详解】因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数，〃x)+g(x)=2e'①，

所以〃f)+g(f)=2eT,即〃x)-g(x)=2er②，

由①②得/(x)=e*+e-r,g(x)=e'-e-'.

则不等式+32心(x)+2e-J-l]

等价于(e*+e-r)2+3>胆[(e*-e=,)+2e-v-l],

整理得(ev+e-v)2+3>w[(ev+e^')-l].

令r=e*+er,则r=e*+eT22,当且仅当e'e,即x=0时取等号，

[2+3

于是原不等式等价于m<—,

Z-1

而=f-1+-^-+222-1)-+2=6,

t-\t-\Vt-\

4

当且仅当"1=上，即r=3时取等号，

t-1

所以m46,所以实数用的最大值为6.

故答案为：6

【点睛】方法点睛：

求有关不等式恒成立问题，一般有三种方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端

是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数

取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数的图象求解.

4.(2023・天津和平•统考二模)设x,yeR,a>\,b>\,若°*=夕=3,3。+〃=18,则工+1的最大值为

xy

【答案】3

【分析】由已知可解得、=喝3’广皿3.根据换底公式可得［噫（W根据基本不等式得

出她M27,然后根据对数运算性质即可得出答案.

【详解】因为/=/rv=3,所以x=log“3,y=log,,3.

又=卢鲁lg3lg/>

log”3.logsa=1log3-log/?=1

IgaIg3h3Igblg3

所以，=log3a,-=log3b.

xy

2

3a+b

因为a>l,b>\,根据基本不等式有3ab4I=81,

2

当且仅当3〃=b,即a=3,〃=9时等号成立,

所以abS27.

则L+•1=log3a+log3b=log3ab<log327=3,

所以'的最大值为3.

4y

故答案为：3.

5.（2023春•福建•高三校联考阶段练习）己知xe（og）,若不等式sinZx-Zsi/xVf恒成立，则实数f的最

小值为______

【答案】①

2

【分析】原不等式可转化为VX€（0，［］,壮2t：nx恒成立,利用基本不等式可求得2厚”的最大

I2；2tan~x+l2tan「+l

值，从而可得答案.

【详解】因为VX《0T}

0sinx>O,cosx>0,

sin2x"

团不等式sin2x-fsiMx"f恒成立=后」--1•恒成立，

1+sinx

sin2x