最值问题-2023年中考数学知识点练习（江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

重难点04最值问题

【命题趋势】

最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力

区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

【满分技巧】

1）.在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范

围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。

近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。

2）.在几何最值问题，几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：（1）几何图形中在

特殊位置下的最值；（2）比较难的线段的最值问题，其依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉

及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差

小于第三边”等；③借助于圆的知识；④二次函数的最值法解决。

3）几何最值问题中的基本模型举例

s

图形XZ.

、/11

P1.MN

轴对称最值原理两点之间线段最短两点之间线段最短E三角形三E边关系

（将军饮马）

A,B为定点，/为定直线，A,8为定点,/为定直线，

A,8为定点，/为定直线，MN为直线I

特征P为直线/上的一个动P为直线/上的一个动

上的一条动线段，求AM+8N的最小值

点，求AP+BP的最小值点，求∣AP-8P∣的最大值

作其中一个定点关于定先平移AM或BN使M,N重合,然后作其•中一个定点关厂定

转化

直线/的对称点作其中一个定点关于定直线/的对称点直线/的对称点

A

图形

折叠最值

BNC

原理两点之间线段最短

在AABC中，M,N两点分别是边ABBC上的动点，将ABMN沿MN翻折，B点的对应点

为B',连接A9，求A9的最小值.

转化转化成求4B%B7V+NC的最小值

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

一、单选题

1.如图，E为正方形ABC。边4。上一点，AE=1,DE=3,P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小

值为（）

A.5B.4√2C.2√10D.IO

【答案】A

【分析】连接EC交Bn于P点，根据“两点之间线段最短”，可知PA+PE的最小值即为线段EC的长，求出EC

的长即可.

【详解】连接EC,交BD于P点

•••四边形48CD为正方形

.∙.A点和C点关于BD对称

.∙.PA=PC

.∙.PA+PE=PC+PE=EC

根据“两点之间线段最短“，可知IPA+PE的最小值即为线段EC的长.

"JAE=1,DE=3

.∙.AD=4

ʌDC=4

：.CE=√DF2+CD2=J32+42=5

.∙.P4+PE的最小值为5

故选：A

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性

质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.

2.如图，Rt△4BC中，NC=90。，AC=4,BC=3,点P为AC边上的动点，过点P作PO_LAB于点£）,

则PB+PD的最小值为（）

A.-B.-C.5D.-

453

【答案】B

【分析】作点B关于ZC的对称点B',过点B'作夕。，ZB于点£>,交4C于点P,点尸即为所求作的点，此时

PB+PC有最小值，连接AB',根据对称性的性质，可知：BP=B'P,ΔABC≈ΔAB'C,根据S0BB，=5ΔΛBC+

SAM，C=2SMBC,即可求出PB+PD的最小值.

【详解】解：如下图，作点8关于47的对称点8',过点B'作B'CJ.AB于点。，交AC于点P,连接NB',点

P即为所求作的点，此时∙PB+PD有最小值，

根据对称性的性质，可知：BP=BR

在Rt△4BC中，∆ACB=90,AC=A1BC=3,

.∙.AB=√∕JC2+FC2=5,

根据对称性的性质，可知:KABC三AAB'C,

∙'∙S4ABB'=SAABC÷SAAB，C=2SΔΛBC,

即:XAB∙B'D=2X3BC∙∕1C,

.∙.5B'D=24,

-∙-B1D=T

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质.

3.如图，正方形ABC。的边长为4,点M在。C上，且QM=1,N是Ae上一动点，则。N+MN的最小值为

()

C.2√5D.5

【分析】由正方形的对称性可知点8与。关于直线AC对称，连接BM交4C于N',M即为所求在Rt∆BCM

中利用勾股定理即可求出的长即可.

【详解】：四边形ABs是正方形,

二点B与。关于直线AC对称,

：.DN=BN,

连接8D,BM交.AC于N，,连接£)V,

D

，当8、N、M共线时，DN+MN有最小值，则8W的长即为。N+MN的最小值,

.∙.AC是线段BD的垂直平分线，

又YCQ=4,DM=∖

，CM=CQ-CM=4-1=3,

在Rt∆BCM中，BM=y∣CM2+BC2=√32+42=5

故IW+MN的最小值是5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出力关于直线AC的对称点，由轴对称

及正方形的性质判断出。的对称点是点B是解答此题的关键.

4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-X2+bx+3的图像与X轴交于A、C两点,与X轴交于点C(3,0),

若尸是X轴上一动点，点。的坐标为(0,-1),连接PD,则或PO+PC的最小值是()

A.4B.2+2√2C.2√2D.∣+∣√2

【答案】A

【分析】过点P作PjJ-Be于J,过点。作DHLBC于H,根据鱼PD+PC=√2(PD+?PC)=近(PD+PJ),

求出DP+PJ的最小值即可解决问题.

【详解】解：连接8C,过点尸作只/_L8C于J,过点。作OHJ_8C于

；二次函数y=-X2+bx+3的图像与X轴交于点C(3,0),

：.b=2,

二二次函数的解析式为y=-/+2x+3,令y=0,-/+2x+3=0,

解得X=-I或3,

ΛA(-1,0),

令X=0,v=3,

：.B(0,3),

：.OB=OC=3,

•・・ZBOC=90o,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

VD(0,-1),

ΛOD=I,BD=4,

•：DHI.BC,

：.NDHB=90。,

设DH=x,则BH=居

222

'：DH+BH=BDf

Λx2+X2=42,

Λx=2λ∕2,

ΛDH=2√2,

•：PuCB,

ΛzP∕C=90o,

：.PJ=与PC,

：.y∕2PD+PC=√2(PD+yPC)=V2(PD+PJ),

∖,DP+PJ≥DH,

：.DP+PJ>2√2,

.∙.DP+PJ的最小值为2√Σ

.∙.√∑PD+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到

/03C=NOCB=45。，P/=号PC是解题的关键.

5.如图，四边形4BCO为矩形，AB=3,BC=4.点尸是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点.乙4DM

∆BAP,则BM的最小值为（）

C.√13-∣D.√13-2

【答案】D

【分析】证明N4MD=90°,得出点M在。点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案.

【详解】设AO的中点为。，以。点为圆心，A。为半径画圆

•••四边形ABCC为矩形

.".∆BAP+∆MAD=90°

'JΛADM=/.BAP

.".∆MAD+∆ADM=90°

二乙4MD=90°

.∙.点M在O点为圆心，以4。为半径的圆上

连接08交圆O与点、N

：点8为圆。外一点

二当直线BM过圆心。时，BM最短

BO2=AB2+AO2,A0=-AD=2

`:2

：.B02=9+4=13

：.B0=√13

•；BN=BO-AO=尺一2

故选：D.

【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识.

6.如图1,正方形力BCD中，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP=x,PB+PE=y,

当点P从4向点C运动时，y与X的函数关系如图2所示，其中点”是函数图象的最低点，则点M的坐标是（）

D.(3√5,4√2)

【答案】A

【分析】根据图像，当P与C重合时,PB+PE=9B∣JCB+CE=9,从而确定正方形的边长为6,根据将军饮马

河原理，连接OE交4C于点G,当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为OE的长即点M的纵坐标，利

用相似三角形，计算AG的长即为横坐标.

【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9BPCB+CE=9,

；点E是BC的中点，

；.BC=6,

连接OE交AC于点G,当点尸与点G重合时，PE+PB最小，且为OE的长即点M的纵坐标,

：四边形A8C。是正方形，AB=6,

：.CE〃AD,AC=√62+62=6√2,DE=√62+32=3√5,

.∙.ZXCGEsZ∖AGZ),

・.C・G一=CE-=1-,

AGAD2

・AC_3

・・茄―2f

ΛAG=4√2,

故点M的坐标为(4√2,3√5),故A正确.

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，

熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键.

7.如图，点M是菱形ABC。的边BC的中点，P为对角线BO上的动点，若AB=2,ZA=120°,则PM+

PC的最小值为()

A.2B.√3C.√2D.1

【答案】B

【分析】连接AM、AC,AM交BD于P,此时月W+PC最小，连接C尸，由菱形的性质可知C和A关于BD

对称，AP=CP,由条件易证AABC是等边三角形，根据三线合一可知AMJ_BC,再根据勾股定理可求A仞

的值，即可求解.

【详解】解：连接AM、AC,AM交8。于P,

此时PM+PC最小，连接CP,

：四边形ABC。是菱形,

ΛOA^OC,AC-LBD,

，C和A关于BQ对称，

：.AP=PC,

∙/NA=I20。，

ZABC=GO0,

.∙.ZiABC是等边三角形，

.∙.4C=A8=2,

∙.∙M是BC的中点,

：.AMLBC,

：.NBAM=30°,

.∖AM=y∕AB2-BM2=√3,

/.PM+PC=AM=3

故选B.

【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定

理等知识，解题的关键是准确找到尸的位置.

8.如图，O。的半径是述，P是OO上一动点，4是。。内部一点，且4。=6，则下列说法正确的是（）

①刑的最小值为迷-8;②的最大值为历+√3;③当〃MP=90。时，△PAO是等腰直角三角形;④△必。

面积最大为|.

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

【答案】C

【分析】分析知当A在线段Po上时，附取最小值，A在尸。延长线上时，以取最大值，可以判断①②是

否正确；当NoAP=90。时，根据勾股定理求出A尸的长度，可以判断③是否正确；作出A点的轨迹圆，知当

04,Po时，三角形∕¾0面积取最大值，通过计算判断④是否正确即可.

【详解】解：由题意知，当A在线段尸。上时，力取最小值，A在Po延长线上时，抬取最大值,

.∙.∕¾的最小值为n√I,Λ4的最大值为√δ+√5,

故①②正确：

当ZoAP=90。时，根据勾股定理得：4P=J(伺2-(√3)2=√3,

即AP=OA,三角形以。为等腰直角三角形，

故③正确；

作出A点轨迹圆如下：

知当。4,PO时，三角形以0面积取最大值，最大值为：∣×√3×√6=^

故④错误，

综上所述，正确的序号为：①②③，

故选：C.

【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的最值是解决本

题的关键.

二、填空题

9.如图，在Rt△力BC中，Z.ACB=90o,AC=BC,点C在直线MN上，ZBCN=30。，点P为MN上一动点,

连接AP,BP.当月P+BP的值最小时，/CBP的度数为度.

B

MN

【答案】15

【分析】如图，作B关于MN的对称点。，连接4D,BD,CD,AP+BP的值最小，则MN交AD于P,由轴对

称易证/CBP=ZCDP,结合LBCN=30。证得ABCD是等边三角形，可得AC=CD,结合已知根据等腰三角

形性质可求出ZCDP,即可解决问题.

【详解】如图，作B关于MN的对称点。，连接4D,BD,CD,

∙.∙4P+BP的值最小，

则MN交4D于P,由轴对称可知：

CB=CD,PB=PD,

：•乙

Z-CBD=Z-CDB1∆PBD=PDB,

：•乙

CBP=Z.CDPf

•••乙BCN=30°,

・•・乙BCD=ZLBCN=60°,

・•.ABCD是等边三角形，

VAC=BC,

：•AC=CD,

：.∆CAD=Z-CDA,

・・•乙ACB=90°,乙BCD=60°,

.∙.LCAD=∆CDA=I(180o-UCB-乙BCD)=15°,

ʌ乙CBP=NCDP=15°,

故答案为：15.

B

MN

【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握

相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关犍.

10.如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE=1,DF=2,若P为对角线4C上一动点，则EP+FP的最小值

为.

【答案】3

【分析】作F点关于BD的对称点9，连接EF交BD于点P,贝!∣PF=PF',由两点之间线段最短可知当E、P、

F'在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF的长度即可.

【详解】解：作F点关于BD的对称点F',则PF=PF',连接EF'交Bn于点P.

.∙.EP+FP=EP+F'P.

由两点之间线段最短可知：当E、P、F'在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F'P=EF'.

•••四边形ABCD为菱形，周长为12,

.∙.AB=BC=CD=DA=3,AB∖∖CD,

∙.∙AF=2,AE=1,

.∙.DF=AE=1,

二四边形4EF⑺是平行四边形，

.∙.EF'=AD=3.

:∙EP+F尸的最小值为3.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称-路径最短问题，明确当E、P、F'在一条直线上时EP+FP

有最小值是解题的关键.

11.如图，在AABC中，∆BAC=90o,AB=3,AC=4,EF垂直平分BC,点P为直线EF上任意一点，则

AP+BP的最小值是.

【答案】4

【分析】由线段垂直平分线的性质可得BP=PC,可得当点A,P,C在一条直线上时，PA+BP有最小值,

最小值为AC的长.

【详解】解：连接PC∙

∙.∙EF是BC的垂直平分线，

；.BP=PC,

：.PA+BP=AP+PC,

二当点A,P,C在一条直线上时，P4+8P有最小值，最小值为AC=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题

的关键.

12.如图，抛物线了=%2-4尤+3与》轴分别交于48两点（点4在点B的左侧），与y轴交于点C,在其对称

轴上有一动点M,连接ΛM,MC,4C,则周长的最小值是

【答案】3√2+√10

【分析】根据''将军饮马”模型，先求出4(l,0),B(3,0),C(0,3),由二次函数对称性，AB关于对称轴对称，从

而CAM4c=CA+CM+MA=CA+CM+MB,AC=y∣OA2+OC2=√Tθ,则^M4C周长的最小值就是CM+

MB的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM+的最小值为C,M,B三点共线时线段CB长，从而得

到CB=√OC2+OF2=3√2,即可得到答案.

【详解】解：抛物线y=/-4工+3与工轴分别交于48两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,

.∙.当y=0时，O=X2-4χ+3解得X=I或X=3,即4(1,0),8(3,0)；当X=O时，y=3,即C(0,3),

由二次函数对称性，AB关于对称轴对称，S∣JΛfΛ=MB,

.∙.CΔMAC=CA+CM+MA=CA+CM+MB,

■■■AC=7OA2+OC2=√ιo,

ZiMAC周长的最小值就是CM+MB的最小值，

根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点共线时线段CB长，CB=√OC2+Ofi2=

3√2,

.∙.ΔAMC周长的最小值为CA+CB=3√2+√10,

故答案为：3√Σ+√IU.

【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一

元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键.

13.如图，在O。中，点A、点B在。。上，乙AOB=90o,OA=6,点C在CM上，且OC=2AC,点。是。B的中

点，点M是劣弧4B上的动点，则CM+2。M的最小值为.

【答案】4√i0

【分析】延长OB到7,使得BT=OB,连接MT,C7,利用相似三角形的性质证明Mr=2CM,求CM+2。M

的最小值问题转化为求CM+Mr的最小值.求出CT即可判断.

【详解】解：延长。B到7,使得BT=OB,连接MT,CT.

OM=6,OD=DB=3,OT=12,

.∙.OM2=OD-OT,

OM_OT

"OD~0M,

■■/.MOD=∆TOM,

AMODSATOM,

.DM_OM_1

"MT~OT~2

.∙.MT=2DM,

∙.∙CM+2DM=CM+MT≥CT,

又•••在RtAOCT中，“07=90。，OC=4,OT=12,

.∙.CT=y∕OC2+OT2=√42+122=4√Tθ,

.∙.CM+2DM≥4√Γθ,

.∙.CM+2DM的最小值为4国，

故答案为：4√Tθ.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造相似三角形解决问题.

14.如图，直线y=X+4与X轴，y轴分别交于4和B,点C、。分别为线段AB、OB的中点，P为。4上一动点,

当PC+PD的值最小时，点P的坐标为.

【答案】(―1>0)

【分析】根据一次函数解析式求出点4、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质

找出点D'的坐标，结合点C、。'的坐标求出直线CD'的解析式，令y=0即可求出X的值，从而得出点P的坐标.

【详解】解：作点。关于X轴的对称点C',连接CC'交X轴于点P,此时PC+PD值最小，最小值为CD',如图.

令y=X+4中X=0,则y=4,

.∙.点B的坐标为(0,4)；

令y=x+4中y=0,则x+4=0,解得：x=-4,

点A的坐标为(一4,0).

：点C、D分别为线段4B、OB的中点，

二点C(-2,2),点。(0,2).

Y点。'和点。关于X轴对称，

点。'的坐标为(0,-2).

设直线CO的解析式为y=kx+b,

；直线CD'过点C(-2,2),D,(0,-2),

2

∙∙Πi-Γ*解得仁二］

...直线CC'的解析式为y=-Zx-2.

令y=0,则0=—2%—2,解得：x=-l,

，点P的坐标为（一1,0）.

故答案为：（—1，o）∙

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，

解题的关键是求出直线CD'的解析式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用

待定系数法求出函数解析式是关键.

15.如图，点P是乙4。8内任意一点，OP=3cm,点M和点N分别是射线04和射线OB上的动点，NAOB=30°,

则^PMN周长的最小值是.

【分析】分别作点尸关于。4、OB的对称点C、D,连接CD,分别交。4、OB于点M、N,连接

OP、OC.OD.PM、PN,当点M、N在CD上时，APMN的周长最小.

【详解】解：分别作点P关于。4OB的对称点C、D,连接CD,分别交。4、OB于点例、M连接

OP.0C.0D、PM.PN.

：点P关于。4的对称点为C,关于OB的对称点为D,

.∙.PM=CM,OP=0C,∆C0A=∆P0Ai

•••点P关于。B的对称点为D,

：.PN=DN,OP=OD,4DOB=乙POB,

：.0C=OD=OP=3cm,乙COD=∆COA+∆POA+乙POB+乙DOB=2∆POA+2乙PoB=2∆AOB=60°,

∆COD是等边二角形,

.*.CD=OC=OD=3(cm).

，△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3cm.

故答案为：3cm.

【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定.作点P关于04、OB的对称点C、D是解题的

关键所在.

16.如图所示的平面直角坐标系中,4(0,4),B(4,0),P是第一象限内一动点，OP=2,连接4P、BP,贝∣JBP+14P

的最小值是.

【答案】√17

【分析】取点7(0,1),连接PT,BT.根据。P?=OT-。4,有2=络即可证明4POTSXAOp,即有芸=芸=；,

U1Urin∖JA/

进而可得Pr=则有PBPA=PB+PT,利用勾股定理可得Br=√12+42=√Γ7,则有BP+(4P>

√17,问题得解.

【详解】解：如图，取点7(0,1),连接PT,BT.

.∙.OT=1,OA=4,OB=4,

∙∙∙OP=2,

:∙OP2=OT-OA,

OPOA

—=—，

OTOP

■■■乙POT=Z.AOP,

.∙∙ΔPOTSZkAOP,

PT_OP_1

PAOA2

：.PT=-PA,

2

.∙.PB+-PA=PB+PT,

2

BT=√12+42=√17,

.∙.PB+PT≥√17,

.∙.BP+14P≥√Π,（当8、尸、T三点共线时取等号）

•••8「+：「8的最小值为717.

故答案为：√17.

【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造相似三角形解决问题.

三、解答题

17.如图，在△4BC中，AB=ACZBAC=I20。,AB边的垂直平分线DE交AB于点D,若AE=3,

⑴求BC的长；

（2）若点尸是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为

【答案】（1）9

(2)9

【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证AZBE为等腰三角形，由角度可证AACE为30。直角三角形，再由

线段之间的关系即可求出BC的长；

(2)根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度.

【详解】(1)解：'：AB=AC,ΛBAC=120°

：.乙B=NC=HI80。-4BAC)=30°

TAB边的垂直平分线交4B于点D,

：.BE=AE=3,

."BAE=48=30°

J.∆CAE=LBAC-/.BAE=120°-30°=90°

在RtΔSE中，ZC=30°

ΛCE=2AE=6

：.BC=BE+CE=3+6=9

(2)解:如图，

取点A关于直线DE的对称点，即点B；连接B,C两点，与直线。E交于点P(E),

•・,PA=PB

・・・PA-VPC=PB+PC

根据两点之间线段最短

则BC即为P4+PC的最小值，最小值为9

【点睛】本题考查J'图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分

利用是解题关键.

18.在△力BC中，4B=90。，D为BC延长线上一点，点E为线段4C,CC的垂直平分线的交点，连接E4EC,

ED.

(1)如图1,当NBAC=40。时，则乙4EO=°；

⑵当NBAC=60。时，

①如图2,连接/D,判断AAED的形状，并证明；

②如图3,直线CF与EO交于点尸，满足NCFO=NCAE.P为直线CF上一动点.当PE-PO的值最大时，用

等式表示PE,PD与ZB之间的数量关系为,并证明.

【答案】⑴100；

(2)①△4CE时等边三角形，证明见解析；

②PE-PD=24B.证明见解析.

【分析】(1)利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；

(2)①AADE时等边三角形，证明瓦4=ED,=60。即可；②结论：PE-PD=24B.如图，作点。关

于直线CF的对称点。'，连接CD',DD',ED'.当点P在Ezy的延长线上时，PE-PD的值最大，此时PE-PD=

ED',利用全等三角形的性质证明ED'=4C,可得结论.

【详解】(I)解：Y点E为线段AC,CD的垂直平分线的交点，

：.EA=EC=ED,

.∖∆EAC=∆ECA,乙ECD=4EDC,

'：/.ABC=90o,/.BAC=40°,

.,.∆ACB=90°-40°=50°,

.,.∆ACD=180°-50°=130°,

J.∆EAC+Z.ACD+乙EDC=260°,

：.Z.AED=360°-260°=100°,

故答案为：100.

(2)解：①结论：△4DE时等边三角形.

理由：•・,点E是线段AC,CO的垂直平分线的交点，

：.EA=EC=ED,

乙乙

J.∆EAC=∆ECAfECD=EDC,

∖,∆ABC=90o,∆BAC=60°,

ΛZ.½Cβ=90°-60°=30°,

J.∆ACD=180°-30°=150°,

Λ∆EAC+Z-ACD+乙EDC=300°,

.∖∆AED=360°-300°=60。，

.♦.△4DE时等边三角形；

②结论：PE-PD=2AB.

理由：如图，作点。关于直线CF的对称点连接C。，DD',ED'.

•；PE-PD=PE-PD'VE»

则，点P在的延长线上时，PE-Po的值最大，此时PE-PD=EO,

乙乙

VzCFD+CFE=180°,CFD=∆CAEf

J.∆CAEΛ-∆CFE=180°,

J.∆ACFZ.AEF=180°,

tJz-AED=60°,

：.∆ACF=120°,

：,z.ACB=Z-FCD=30o,

ΛZDCF=乙FCD'=30°,

.∖∆DCD,=60°,

VCD=CD,,

・・・ZkCDD'时等边三角形，

：・DC=DD',∆CDD,=∆ADE=60°,

.'.∆ADC=乙EDD',

'：DA=DE,

Λ∆τ4DC≤∆EDD,（SAS）,

：.AC=ED1,

VZ.B=90o,ACB=30。，

：.AC=2AB,

：.PE-PD=2AB.

故答案为：PE-PD=2AB.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的

性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考

题型.

19.在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中4（一1,1）,B（4,3）,C（4,一1）处各有一颗棋子.

（1）如图1,依次连接A,B,C,A,得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴.

（2）如图2,现X轴上有两颗棋子P,Q,且PQ=I（P在Q的左边），依次连接A,P,Q,B,使得4P+PQ+QB

的长度最短，请在图2中标出棋子P,。的位置，并写出P,0的坐标.

【答案】（1）图形见解析；

(2)P(0,0),(2(1,0),图见解析;

【分析】（1）直接画出等腰三角形的对称轴即可；

（2）将A向右平移1个单位得4'（0,1）,再作A关于X轴的对称点A'（0,-1）,连接4''B交X轴于点Q,

再将Q向左平移1个单位得点尸，此时，4P+PQ+Q8的长度最短；

【详解】（1）解：如图所示：

(2)如图所示：将A向右平移1个单位得4(0,1),再作4关于X轴的对称点4''(0,-1),连接4'B交

X轴于点Q，再将。向左平移1个单位得点P,此时，AP+PQ+Q8的长度最短;

设4'B的解析式为y=kx+b,将4”(0,-1),B(4,3)代入得:

—,解需二

.♦.4'B的解析式为y=x-l,

当y-0,0=x-l,

解得％=1>

二。点的坐标为(1,0),

...P的坐标为(0,0).

【点睛】本题考查作图问题，等腰三角形的对称轴，线段和的最小值问题，灵活运用“将军饮马”模型是解题

的关键.

20.如图，抛物线y=产+历：+(;与工轴交于4(一1,0),8(3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)观察函数图象，直接写出当X取何值时，y>0?

(3)设(1)题中的抛物线交)，轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长最小？若

存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=X2-2X-3;

(2)当*<-1或X>3时，y>0；

(3)Q点坐标为(1,-2).

【分析1(1)已知了抛物线过A、B两点,而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐

标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式；

(2)观察图象即可解决问题；

(3)本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接BC,直线BC

与对称轴的交点即为Q点.可根据以C两点的坐标先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线对称轴的解

析式即可求出。点的坐标.

【详解】(1)解：•••抛物线y=尤2+bχ+c与X轴的两个交点分别为4(一1,O),B(3,0),

THLCU，解得『=一］

.∙.所求抛物线的解析式为y=X2-2X-3;

(2)解：观察函数图象，当*<一1或％>3时，y>0,

故答案为X<一1或X>3；

(3)解：在抛物线对称轴上存在点Q,使AQAC的周长最小.

:AC长为定值，

二要使△Q4C的周长最小，只需Q4+QC最小，

∙.∙点A关于对称轴直线X=-卷=1的对称点是(3,0),

二。是直线BC与对称轴直线X=1的交点，

设过点8,C的直线的解析式y=kx-3,把(3,0)代入,

Λ3∕c-3=0,

；・k=1,

；・直线BC的解析式为y=X—3,

把X=1代入上式，

.∙.Q点坐标为(1,-2).

【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解

决最短问题，属于中考常考题型.

21.定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1,在RtZMBC中，∆A=90o,AB=4C,点。、

E分别在边AB、AC±.,AD=AE,连接。E、DC,点M、P、N分别为DE、DC、Be的中点，且连接PM、PN.

图1图2

(1)观察猜想

线段PM与PN填(“是”或“不是”)“等垂线段”.

(2)A40E绕点4按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD,CE,试判断PM与PN是否为“等垂线段”,

并说明理由.

(3)拓展延伸

把△4。E绕点4在平面内自由旋转，若DE=2,BC=4,请直接写出PM与PN的积的最大值.

【答案】⑴是

(2)是，答案见解析

【分析】(1)根据中位线的性顺以及48=AC,AD=AE,可得MP=PN,由中位线性质可得MPIlEC,PN||

BD,再由/B=ΛACB=45。结合平行线的性质，可证/MPD+乙DPN=45°-4DCB+45°+4DCB=90°,

故线段PM与PN是“等垂线段”.

(2)先证a4BD三CE(SAS),可得BD=CE,根据中位线的性质得到MP=IEC,PN=∣β∕),即MP=PN；

由中位线性质可得MPIlEC,PNHBD,再由乙4BC=∆ACB=45。结合平行线的性质，可证NMPD+乙DPN=

90°,故线段PM与PN是“等垂线段”.

(3)由(2)可知，MP=PN,MP1PN,故PMXPN=PM2=竽,当MN取最大值时，PM与PN的积有

最大值.当N、4、M三点共线，且点4在NM之间时，MN取最大值.此时MN=M4+4M.最后根据已知

条件，计算出最大值即可.

【详解】(1)解：线段PM与PN是“等垂线段”.

理由如下：

Y点M、P、N分别为Z)E、DC、BC的中点，

：.MP=AEC,PN=-BD,

22

∖'AB=ACfAD=AE,

：,AB-AD=AC-AE9

即80=CE,

：・MP=PN.

•；点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，

；・MPHEC,PNHBD,

・・•在RtZkABC中，乙4=90。，AB=ACf

：,乙B=∆ACB=45°,

.∖∆ACD=45°-乙DCB,乙BDC=180o-∆B-乙DCB=135°-乙DCB,

YMPHEC,PNHBD,

J.∆MPD=∆ACD=450-乙DCB,乙DPN=180°-4BDC=180°-(135°一上DCB)=45o+Z.DCB,

J.∆MPD+4DPN=45°-乙DCB+45°+4DCB=90°,

：.MP1PN,即线段PM与PN是“等垂线段”，

故答案为：是.

(2)解：线段PM与PN是“等垂线段”，理由如下：

•••△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，

：.AD=AE,∆DAE=90°,

∖"∆BAC=90°,

：.乙BAC-∆DAC=4DAE-∆DAC,

即/BAD=Z-CAE,

在AABD与ZMCE中，

AB=AC

V]ZB∕1D=∆CAE,

DA=EA

：.∆ABD≡∆/ICF(SAS),

.'.BD=CE,

：点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，

：.MP=-EC,PN=-BD,

22

♦；BD=CE,

：.MP=PN.

Y点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，

：.MPHEC,PNHBD,

o

T在Rt△力BC中，∆BAC=90,AB=ACf

：.Z.ABC=乙ACB=45°,

；・4ACD=45。一乙DCB,乙DBC=45。一乙ABD,

乙BDC=180°-乙DBC-乙DCB=180o-(45°-∆ABD)-Z-DCB=135o+Z-ABD-乙DCB

TMPHEC,PNHBD,

."MPD=Z.ECD=∆ECA+Z.ACD,

V△ABD≡∆TlCF(SAS),

：.∆ABD=∆ACE,

即4MP0=4ECD=Z.ABD+Z.ACD

乙DPN=180o-Z.BDC=180o-(135°+UBD-4DCB)=45°-UBD+乙DCB,

.∖∆MPD+乙DPN=/.ABD+∆ACD+45°-4ABD+乙DCB=450+45°=90°,

：.MP1PN.

•：MP=PN,MP1PN.

故线段PM与PN是“等垂线段”.

(3)解：由(2)可知，MP=PN,MP1PN,

故PM×PN=PM2=竽，

当MN取最大值时，PM与PN的积有最大值.

♦.•把^ADE绕点4在平面内自由旋转，

.∙.当N、4、M三点共线，且点A在NM之间时，

MN取最大值.

,此时MN=NA+AM.

Y在RtBC中，Z.BAC=90o,AB=AC,BC=4,N为BC的中点，

：.NA=-BC=2,

2

同理可得，M4=(CE=1,

,MN的最大值为3,PM与PN的积有最大值会

【点睛】本题考查了中位线的性质及运用，全等三角形的判定与性质以及图形动态问题，综合运用以上知

识是解题的关键.

22.己知△CDE与△4BC有公共顶点C,△CDE为等边三角形，在AABC中，∆BAC=120°.

(1)如图1,当点E与点B重合时，连接A。，已知四边形ABoC的面积为26，求48+4C的值；

(2)如图2,AB=AC,A、E、。三点共线，连接4E、BE,取BE中点〃，连接4M,求证：AD=2AM-,

(3)如图3,AB=AC=4,CE=2,将△CDE以C为旋转中心旋转，取CE中点凡当BF+苧AF的值最小时,

求tan乙4BF的值.

【答案】(l)2√∑

(2)见解析

【分析】(1)延长AC到T,使得C7=B4连接DT,过点。做DNIar于N,证明AABD三△TCD(SAS),得

出ZM=DT,/.ADB=乙TDC,证明△DAT为等边三角形,设AN=TN=x,得出雇°川=^AT-DN=√3x2=

2√3,求出X的值即可得出答案；

(2)延长BA至UH使得4H=AB,连接£77、CH,证明△ACD≡△HCE(SAS),得出4。=HE,证明力”为^BHE

的中位线，得出HE=24M=4D,即可证明结论；

(3)连接CF,过点A作4GJ.BC于点G,以点C为圆心，CF为半径作圆，在AC上截取CM=更CF,连接MF,

4

证明△CFMCAF,MfH-=—=即FM=—AF,得出B尸+-AF=BF+FM,连接BM与G)C交

AFCF444

于一点，当点尸在此点时，BF+尸M最小，即BF+更4F最小，过点M作MN1BC于点,M过点A作AQ1BM

4

于点。，求出4Q,BQ即可得出答案.

【详解】(1)解：延长4C到T,使得CT=BA连接CT,过点。做CNJ.AT于N,如图所示：

；△CDE为等边三角形,乙BAC=120°,

：.DB=DC,∆BDC=60°,

四边形4BCC中，4BDC+4DCA+"AB+/.ABD=360°,

.∖∆ABD+Z.ACD=乙DCT+∆ACD=180°,

：.∆ABD=∆TCD,

在AABC和ATCD中,

AB=TC

乙ABD=∆TCD，

.DB=DC

Λ∆∕4βD≤∆TCD(SAS),

：.DA=DTt乙ADB=4ΓDC,

：・乙ADB+∆ADC=∆TDC+∆ADC=∆ADT=60°,

・・・ZiZMT为等边三角形，

丁四边形ABDC的面积为2次，

ʌΛDAT=2√3>

9

:DNLAT9

：・乙ADN=30°,

设AN=TN=χ9

：.DN=y∕3AN=√3x,

,S皿T=^AT∙DN=√3X2=2√3,

Λx=√2,

：.AB-^-AC=CT-I-AC=AT=2x=2√2,

(2)证明：延长84至U”使得AH=48,连接£7/、CH,如图所示:

:,(HAC=60°,

*：AC=AHf

•••△4HC为等边三角形，

o

"ACH=60,AC=AH=CH=ABf

・・・ZkCDE为等边三角形，

,∖∆ECD=60o,DC=DE=CE,

：.Z.ECD+∆ECA=∆ACH+∆ECAf

C.∆ACD=乙HCE,

在A4CD和a"CE中，

AC=HC

∆ACD=乙HCE,

CD=CE

Λ∆ΛCD≡ΔHCF(SAS),

：,AD=HE,

・；A为AH中点,M为BE中点，

,AM为z∖BHE的中位线，

：.HE=2AM=AD,

：.AD=2AM↑

(3)解：如图，连接CF,过点A作AG1BC于点G,以点C为圆心，CF为半径作圆，在AC上截取CM=fC