中考数学《圆的综合》训练(含有答案)

中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)

1.如图，：AB是，。的直径：BC是。弦，ODLCB于点、E,交BC于点。.

D

(1)请写出三个不同类型的正确结论

(2)连结CD,ABCD=aΛABC=β试找出α与夕之间的一种关系式并给予证明.

2.如图，，在"BC中AB=AC以AB为直径的。交Be于点O交CA的延长线于点E.

(1)求证点。为线段BC的中点.

⑵若8C=6gAE=3求。的半径及阴影部分的面积.

3.如图，AB为。的直径点C在。上延长BC至点。使OC=Cδ∙延长ZM与。的另一

个交点为E连结AGCE.

(2)若AB=4,BC-AC=2求CE的长.

4.请仅用无刻度的直尺完成下列作图不写作法保留作图痕迹

(1)如图1,ΛBC与VADE是圆内接三角形AB^ADAE=AC画出圆的一条直径.

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(2)如图2,AB是圆的两条弦AB=CO且不相互平行画出圆的一条直径.

5.如图，AB是O的直径点。在A8的延长线上点C在。上CA=CD,ZCDA=300.

(1)求证C。是O的切线

(2)若。的半径为6求点A到CO所在直线的距离.

6.如图，点C在以A5为直径的。上过C作。的切线交力B的延长线于ECE于。连

接AC.

(1)求证NAa)=ZABC

(2)若tan/。。=：A3=8求。直径AB的长.

4

7.如图，已知以RtABC的直角边AC为直径作O交斜边A5于点E连接E。并延长交BC的延

长线于点。连接Ao点尸为BC的中点连接EA

(1)求证E尸是。的切线

⑵若。的半径为6CD=S求AB的长.

8.如图，AB是半圆O的直径O为半圆O上的点(不与A8重合)连接Ao点C为BO的

中点过点C作CF,AP交AD的延长线于点尸连接BFAC交于点E.

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(1)求证FC是半圆。的切线

⑵若AF=3ΛC=2√3求半圆。的半径及AE的长.

9.如图，AB为。的直径C为BA延长线上一点CZ)是。的切线。为切点QFLAD

于点E交C。于点F.

(1)求证NAr)C=ZA

⑵若O冷C=553=24求EF的长•

OB3

10.如图，所示AB是DO的直径点£＞在A3上点C在，。上AD=ACCD的延长线交

O于点、E.

(1)在CQ的延长线上取一点/使BF=BC求证BF是O的切线

(2)若A8=2CE=叵求图中阴影部分的面积.

11.如图，MC内接于。A8为CO的直径。为84延长线上一点连接CO过。作

OF〃BC交AC于点E交CD于点、FZACD=ZAOF.

C

⑵若SinHBCT°求防的长.

12.如图，四边形ABCO是二O的内接四边形AD=CDZBAC=IO0NACB=50°.

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A

D

B

(1)求—4h的度数

⑵求NBA。的度数.

13.如图,四边形ABCO是。的内接四边形且对角线30为。的直径过点4作AELCO

与C。的延长线交于点E且QA平分NBDE.

(1)求证AE是O的切线

⑵若。的半径为5CD=G求D4的长.

14.如图，在正方形ABCD中有一点P连接APBP旋转ZW3到CEB的位置.

(1)若正方形的边长是8BP=A.求阴影部分面积

(2)若BP=4AP=7ZAPB=I35。求PC的长.

15.如图，AB是JO的直径垂直于弦AC于点E且交O于点。尸是54延长线上一

点若NCDB=ZBFD.

(1)求证ÆO是o的一条切线

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⑵若ΛB=15BC=9求。尸的长.

16.如图，。是AABC的外接圆AE切。于点AAE与直径Bn的延长线相交于点E.

图①图②

(1)如图，①若NC=70。求/E的大小

(2)如图，②若AE=AB求-E的大小.

17.已知如图，直线MN交。。于AB两点AC是直径40平分ZCAM交二。于。

过。作£>E_LMN于E.

(1)求证OE是。的切线

(2)若DE=8cmAE=4cm求：)O的半径.

18.已知四边形ABeD内接于OC是£>8A的中点尸C_LAC于C与：。及AO的延长线分别

交于点E,FJΞLDE=BC∙

⑴求证;C64~FDC

(2)如果AC=9,AB=4求tanZAC5的值.

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参考答案与解析

1.(1)见解析

⑵关系式为2α+4=90。证明见解析

【分析】(I)AB是O的直径BC是弦ODLBC于E本题满足垂径定理.

(2)连接Cr>,OB根据四边形ACZ)B为圆内接四边形可以得到2α+2=90。.

【解析】(1)解不同类型的正确结论有

@BE=CE

②BD=CD

③NBED=90。

④NBoD=ZA

⑤ACllOD

©AClBC

⑦OE2+86=08?

⑧SiBC=BCOE

⑨.BoZ)是等腰三角形

⑩ABOESABAC等等.

(2)如图，连接

D

a与夕之间的关系式为2α+6=90°

证明AB为圆O的直径

.∙.ZA+ZAfiC=90oφ

又四边形Aa)B为圆内接四边形

.∙.NA+/CDB=180。②

二②-①得NCDB-ZABC=90°

∖∙NCDB=180o-24BCD=180o-2a

即180°-2α-£=90。

.∙.20+∕=90°.

【点评】本题考查了圆的一些基本性质且有一定的开放性垂径定理圆内接四边形的性质

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掌握圆的相关知识.

2.(1)见解析

I-

(2)半径为3S阴=53兀一、9g

【分析】(1)连结AO可得NAZ)B=90°已知AB=AC根据等腰三角形三线合一的性质即可得

证点。为线段BC的中点

EDEC

(2)根据已知条件可证EC得至IJ=2BD2=ABEC且4EDC是等腰三角

ABBC

形进而得到a=Z)C=8O设AB=X则2(36)-=x(x+3)解方程即可求得O的半径

连接OE可证AAOE是等边三角形再根据SM=SWME-SMR即可求出阴影部分的面积

【解析】(1)连结AO

为。的直径

，ZADB=90°

,/AB=AC

：.BD=CD

即点。为线段BC的中点.

(2)VZB=ZENC=NC

JΛABC^∕∖DEC

.EDEC

**AB^BC

YAB=AC

：.NB=NC

・•・ZC=ZE

・•・ED=DC=BD

：•IBD2=ABEC

设AB=X则

2(3可=X(X+3)

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解得％=-9(舍去)X2=6

，。的半径为3

连接OE

，ZAOE=60°

∙*∙ZiAOE是等边三角形

・・・AE边上的高为主叵

2

∙β∙S阴=S眼形AOE一SAOE

=60X£X31_1X3X3^

36022

24

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质相似三角形的判定和性质不规则图形面积的计算熟

练掌握相关知识点是解题的关键.

3.⑴见解析

(2)CE的长为l+√7

【分析】(1)由AB为：O的直径得NAce=90°通过证明Y4CO^V4CB(SAS)得到NO=NB又

由NB=NE从而得到ND=NE

(2)设3C=x则AC=X—2在RtABC中由勾股定理可得AC?+BC^=即

(X-2)2+√=42解一元二次方程得到BC的长由(1)知No=NE从而得到8=CE又由

DC=CB得到CE=C8=1+".

【解析】(1)证明AB为O的直径

.-.ZACB=90°

ZACD+ZACB=180°

ZACD=90°

在，ACD和A4C3中

AC=AC

•ZACD=ZACB

DC=BC

.∙.VAC9VACB(SAS)

.-.ZD=ZB

ZB=NE

:.ZD=NE

(2)解设3C=x

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BC-AC=2

∙"∙AC=%—2

在RtABC中由勾股定理可得AC2+BC2=AB2

BP（X-2）2+X2=42

解得Xl=I+4X2=I-用（舍去）

.∙.BC=l+√7

由（1）W-ZD=ZE

.-.CD=CE

DC=CB

:.CE=CB=I+近

•••CE的长为1+".

【点评】本题主要考查了圆周角定理三角形全等的判定与性质等腰三角形的性质勾股定理解

直角三角形熟练掌握圆周角定理三角形全等的判定与性质等腰三角形的性质是解题的关键.

4.（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）设BCOE交于点G连接AG交圆于点尸即可作答

（2）连接BCAD交于点尸延长BADC两线交于点E作直线E尸交圆于点M

N即可作答.

【解析】（1）如图，设BCDE交于点、G连接AG并延长交圆于点F

线段"即为所求

证明如图，BCAE交于点。DEAC交于点P连接交AF于点、H

VAB:=ADAE=AC

：.ZC=ZENADE=ZABC

：.NDAE=NBAC

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DAE^BAC

BC=DE

ZDAE=ΛBAC

ZBAE=ZDAC

AB=ADZADE=ZABC

DAP^BAQ

AQ=AP

AE=AC

QE=PC

NQGE=NPGCZC=ZE

QGE%PGC

QG=PG

AG=AGAQ=AP

QAG^PAG

ZQAG=NPAG

ZBAE=ZDAC

/BAG=NDAG

AH=AHAB=AD

BAH9.QAH

BH=DHZAHB=ZAHD=90o

AF垂直平分弦08

AF是圆的直径

(2)如图，连接3CAD交于点F延长班DC两线交于点E作直线M

交圆于点MN

线段MN即为所求.

证明方法同(1).

【点评】本题主要考查了垂径定理圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识掌握圆周角定

理以及垂径定理是解答本题的关键.

5.(1)见解析

(2)9

第10页共26页

【分析】(1)已知点C在。上先连接OC由已知C4=8ZCDA=30°得NCAO=30°

ZACO=30°所以得到NC00=60。根据三角形内角和定理得NDCO=90。即能判断直线CD与

O的位置关系.

(2)要求点A到C。所在直线的距离先作AE_L8垂足为E由NCDA=30。得AE=；A£>

在RtCZ)中半径0£>=6所以00=20C=I2AD=OA+OD=∖8从而求出AE.

【解析】(1)..∙ACo是等腰三角形Nr)=30°

.∙.NCAD=NCDA=3()。.

连接OC

∙∙.AOC是等腰三角形

，ZCAO=ZACO=30°

，NeOD=60。

在△(%>£>中又,/NCDo=30°

，ZDCO=90°

.∙.C。是。的切线即直线CD与一。相切.

(2)过点A作AEJL8垂足为E.

在Rt∆G>CD中,.∙NCDO=30°

.,.OD=20C=T2

AD=AO+OD=6+12=IS

在RtAADE中

,/ZEZM=30°

ΔΓ)

点A到8边的距离为AE=-=9.

【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质解题的关键是运用直角三角形的性质及30。角所对直角

边的性质.

6.(1)见解析

25

(I)AB=-.

第11页共26页

【分析】（1）连接OC由OE为O的切线得到。CLDE再由AOLCE得到A。〃0C

得到NoC4=NCAD根据OA=OC利用等边对等角得到NOCA=NC钻等量代换得到

ZCAD=ZCAB由AB为O的直径可知NAeδ=90°最后根据等角的余角相等可得结论

（2）在RtZ∖C4O中利用锐角三角函数定义求出CD的长根据勾股定理求出AD的长由（1）易

证V45C:VACB得到三=，即可求出AB的长.

ACAB

【解析】（1）解连接OC

由题意可知。石与O的相切于C

/.OCLDE

QAD±CE

:.AD^OC

:.ZOCA=ZCAL）

OA=OC

ZOCA=ZCAB

.∙.ZCAD=ZCAB

AB为O的直径

.∙.ZACe=90。

.∙.ZCAD+ZACD=ZCAB+ZABC=90°

CD3

tanZG4D=-=-AD=S

AD4

3

:.CD=-AD=G

4

・•.4C=JCD2+ΛD2=&2+82=10

由（1）可知NC4D=NC4B

No=ZAC8=90。

ADCACB

ADAC

,AC^AB

第12页共26页

.8二10

"10"ΛB

25

..AxBn=—

2

【点评】此题考查了切线的性质以及解直角三角形熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.

7.（1）证明见解析

⑵AB=I2。

【分析】（1）连接F。可根据三角形中位线的性质可判断O尸〃AB然后根据直径所对的圆周角是

直角可得CE,AE进而知OElCE然后根据垂径定理可得/FEC=/FCE

NoEC=NoCE再通过RtABC可知NOEC+NFEC=90。因此可证EF为Oo的切线

（2）根据题意可先在向Z∖O8中求出OE）然后在R人EFf）中求出FC最终在RtABC中求解AB即

可.

【解析】（1）证连接FO则由题意。尸为RtABC的中位线

.∙.OF〃AB

；AC是O的直径

二CEVAE

'：OF//AB

，OFlCE

由垂径定理知。尸所在直线垂直平分CE

：.FC=FEOE=OC

：.NFEC=ZFCEZOEC=NOCE

,/ZACB=90°

即ZOCE+AFCE=90°

：.NoEC+NFEC=90。

即/尸EO=90°

EF是，。的切线

(2)解Y1O的半径为6CD=SZACB=90°

：.OC。为直角三角形OC=OE=68=8

ʌOD=∖JθC2+CD2=10ED=OD+OE=∖Q+6=∖6

由（1）知△£："）为直角三角形且FC=FE

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：.TSLFC=FE=X贝IJFc)=H7+CD=X+8

，由勾股定理EF2+ED2=FD2

即χ2+6=(x+8)2解得x=12

即尸C=FE=I2

；点F为BC的中点

，BC=2FC=24

"：AC=2OC=12

.,.在口口钻。中AB=^BC2+AC2=12√5

.,.AB=12√5.

【点评】本题考查切线的证明圆的基本性质以及勾股定理解三角形等掌握切线的证明方法

熟练运用圆中的基本性质是解题关键.

8.⑴见解析

(2)半径为2AE=Z叵

7

【分析】(1)根据点C为弧80的中点得出∕E4C=∕C48然后得出/科C=NACO根据平

行线的性质得出B_LoC进而即可求解

(2)连接BC设OC与Bp相交于点尸证明AFCSACB得出A8=4证明BoPSBAF

1ɜ

得出==彳进而证明ECPSEAF根据相似三角形的性质列出比例式进而即可求解.

【解析】(1)证明连接OC如图，

点C为弧B。的中点

CD=CB

.∖ZFAC=ZCAB

又YON=OC

.∖ZCAB=ZACO

ZFAC=ZACO

・•.OC//AF

又.CFlAD

.-.CFlOC

第14页共26页

FC是半圆。的切线.

(2)解连接BC如图,

AB是半圆O的直径

:.ZACB=90°

^AFC=ZACB=90°

又ZFAC=ZCAB

：.AFCSACB

AFAC,32√3

.・---=----即——fπ==----

ACAB2√3AB

.∙.Aβ=4

・•・半圆。的半径为2.

设OC与8尸相交于点P

OC//AF

BOPSBAF

.2L-Q^-L

,AF^AB^2

I3

/.OP=—Ab=二

22

・•.PC=OC-OP=-

2

OC//AF

:.ECPc^EAF

ɪ

.ECPC

即ACFE/

,AE-AF

AE^3^

即2痒AE=I

AE6

第15页共26页

.∙A.E=-------.

7

【点评】本题考查了切线的性质与判定相似三角形的性质与判定掌握切线的判定以及相似三角形

的性质与判定是解题的关键.

9.（1）见解析

（2）3

【分析】（1）连接。。根据CD是O的切线OFLAD证明ZADC=ZDOF利用等腰三

角形三线合一性质证明ZADC=ZAOF.

（2）利用平行线分线段成比例定理计算OE证明aCFgZ∖88计算。F两线段作差即

可求解.

【解析】（1）如图，连接。。

.CD是O的切线

.∖ZADC+ZADO=90°

OFA.ADOA=OD

:.ZDOF+ZADO=90°ZDOFZAOF

../ADC=NDOF

；./ADC=NAOF.

(2)如图，连接。。

.CD是:O的切线

:.ZCDO=90°

OC_5

^0B~3

设CO=5&伏>0)则。O=OB=AO=3k

:.CD=4k

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:.CB=Co+OB=5k+3k=8k

A3是O的直径BD=24

,∖ΛD±DB

OFlAD

.∙OF//BD

.AOAE

'~OB~~ED∆CFO^∆CDB

,OFCO

''~BD~~CB

OF5k5

.∖AE=ED^24-5fc+3⅛^8

.,∙OE=ɪBD=12OF=15

2

:.EF=OF—OE=3.

【点评】本题考查了切线的性质等腰三角形的三线合一性质平行线分线段成比例定理相似三

角形的性质与判定熟练掌握切线的性质相似三角形的性质与判定是解题的关键.

10.(1)证明过程见解析

⑵汨

【分析】(1)4?是O的直径AC=ADBF=BC可求出NF6。=90。ABLBF由此

即可求证

(2)如图，所示(见解析)连接。。,£。可得OC=OE=I可证CO2+。2=。炉ZCOE=90°

根据扇形面积的计算方法即可求解.

【解析】(1)证明∙∙∙A3是。的直径

・・・ZACB=90°

：.NACr>+/38=90。

•：AC=AD

：・ZACD=ZADC

•：ZADC=ZBDF

：.ZACD=ZBDF

•：BC=BF

・・・ZBCD=ZF

：.ZBDF+/F=90。

：.ZFBD=180o-(ZFDB+ZF)=90°

ΛABLBF且。3是一。的半径

；・BF是。的切线.

第17页共26页

(2)解如图，所示连接C0,£。

,/ΛB=2

OC=OE=I

CE=-Ii

CO-+EO-=2CE2=(√2)2=2

；•CO2+O2=CE2

NCOE=90。

.。90π∙×l21,,乃1

mκ360242

•••图中阴影部分的面积为

42

【点评】本题主要考查圆的基础知识掌握圆的切线的证明方法扇形面积的计算方法是解题的关键.

11.⑴见解析

(2)3

【分析】(1)连接8根据。尸〃BC可得N8=NAO厂根据直径所对的圆周角为直角可得

ZB+ZCAB=900再根据AO=CO得出NC4B=NACO最后证明NAcD+NACO=90。即可

(2)根据中位线定理得出0E=；8C=5证明VDBCSVDQ厂根据相似三角形对应边成比例即

可求解.

【解析】(1)证明连接CO

,.∙OF〃BC

：.AB=ZAOF

丫A8为，。的直径

.,.ZACB=90°则ZB+ZCAB=90°

.*.ZAOF+ZCAB=90°

'：AO=CO

：.ZCAB=ZACO

'：ZACD=AAOF

：.ZACD+ZACO=90°即OC±CD

第18页共26页

.∙.8为圆。的切线

(2)•：AB为.O的直径

，点。为AB中点

,.∙OF//BC

，OE为.AfiC中位线

0E=-BC=5

2

,：SinD≈ɪOClCD

4

ΛOD=4OC则8D=OD+08=5OC

,/OF〃BC

：.7DBCEDOF

.OFOF40COF

••---=----n即r1-----=----

BCBDSOC10

解得OF=8

.*.EF=OF-OE=8-5=3.

【点评】本题主要考查了切线的判定和性质圆周角定理相似三角形的判定和性质以及解直角三角

形解题的关键是掌握切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质.

12.(1)30°

(2)100°

【分析】(1)根据三角形内角和定理可得NABC=60°再由AD=CO可得NABO=NCBO即可

求解

(2)根据圆周角定理可得NACD=NABD=30。从而得到NBcD=80。再由圆内接四边形的性质

即可求解.

【解析】(1)解：/BAC=70°,ZACB=50°

，ZABC=180。—ZBAC-ZACB=60°

AD=CD

：.ZABD=NCBD=-NABC=30°

2

(2)解由圆周角定理得NACD=ZA比＞=30。

第19页共26页

ZBCD=ZAC3+ZACD=80°

•；四边形A88是。的内接四边形

/.ZBAD=180°-ZBCD=100°.

【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质圆周角定理等知识熟练掌握圆内接四边形的性质

圆周角定理是解题的关键.

13.(1)见解析

(2)Az)的长是2石.

【分析】(1)连接。4根据已知条件证明。4,AE即可解决问题

作，。则四边形尸是矩形∣

(2)OFQ4E⅛DF=CD=3由此可求得OE的长在

Rtz∖OFf＞中勾股定理求出QF即AE的长在RtZVlM中利用勾股定理求D4.

【解析】(1)证明如图，连接OA

,.∙AE1CD

：.ZDAE+ZADE=90°.

,∙,DA平分ABDE

.∙.ZADE=ZADO

又∙.∙OA=OD

：.ZOAD=ZADO

:.ΛDAE+ZOAD=90°

：.OArAE

是Q的切线

(2)解过点。作OF，Co于F.

,.∙NOAE=ZAEF=NOFE=90°

，四边形OAEF是矩形

.,.EF=OA=5,AE=OF.

'：OF±CD

：.DF=FC=LCD=3

2

，DE=EF-DF=5-3=2

第20页共26页

在RtΔOFO中OF=y∣OD2-DF2=√52-32=4

/.AE=OF=A

在RtZXAEOBAD≈√AE2+DE2=√42+22=2√5

.,∙A。的长是2√L

【点评】本题考查了切线的判定与性质垂径定理圆周角定理勾股定理解决本题的关键是

掌握切线的判定与性质.

14.(1)12Λ∙

(2)9

【分析】⑴根据题意根据公式计算即可.

⅞8J=SMABC+SCEB-SMPBE-Sapb

⑵连接PE根据题意ZPEB=45°,ZCEP=I35°,ZPEC=900根据勾股定理计算即可.

【解析】(1)如图，：正方形ABa)旋转ZW归到CEB的位置

C二Q

,APB^,CEBZABC=ZPBE=90°UCEB-uAPB

S扇形ABC+S.CEB-S扇胫PBE〜SAPH

S用舷ABC-S扇形PBE

VBP=4,AB=S

.90o×^×6490°x%χl6

•∙ʒ|；|I==12Tr.

阴鼠360°360°

(2)连接PE

根据题意/PEB=45o,ZAPB=ZCEP=135oAP=CE

：.ZPEC=90°

第21页共26页

VBP=AAP=7

：.CE=7,PE2=42+42=32

PC2=CE2+PE2=72+32=81

解得PC=9.

【点评】本题考查了正方形的性质旋转的性质阴影面积的计算扇形面积公式勾股定理

熟练掌握旋转的性质阴影面积的计算扇形面积公式勾股定理是解题的关键.

15.(1)证明见解析

(2)DF=10

【分析】(1)因为NCQB=NCABNCDB=NBFD所以NeAB=NBAD即可得出尸£>〃AC可得得

出8LED进而得出结论

(2)利用勾股定理先求解AC再利用垂径定理得出AE的长可得。E的长证明..AEOsFDO

再利用相似三角形的判定与性质得出OF的长.

【解析】(1),/NCDB=ZC4BNCDB=ZBFD

：.NCAB=/BFD

：.FD//AC

∙.∙OO垂直于弦AC于点E

.∙.ODLFD

：.FD是，。的一条切线

(2)∙.∙AB为；O的直径

，ZACB=90°

VAB=15BC=9

；•AC=JI5?—9?=12Ao=OB=OD=75

"：DOA-AC

：.AE=CE=6

OE=J7§-6?=4.5

,.∙AC//FD

：..AEO^FDO

.AEEO

,,FD^^OO

.4.56

,,Z5^FD

解得。尸=10.经检验符合题意.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质垂径定理圆周角定理切线的判定以及

平行线的判定掌握相似三角形的判定与性质垂径定理圆周角定理以及平行线的判定是解题的

关键.

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16.(l)50o

(2)30o

【分析】（1）连接。4先由切线的性质得/Q4E的度数求出NAO3=2NC=I42。进而得/AOE

则可求出答案

（2）连接OA根据等腰三角形的性质及切线的性质列方程求解即可.

【解析】（1）连接04.如图，①

图①

AE切。于点A

.∖OALAE

:.ZOAE=90°

NC=70。

・・.ZAOB=2ZC=2×70o=140o

又.ZAOB+ZAOE=180°

.∙.ZAOE=AOo

ZAOE+ZE=90°

:.ZE=90o-40o=50o.

(2)连接如图