专题01集合及其运算（原卷版）

专题01集合及其运算知识聚焦考点聚焦知识点1集合的概念与元素特性1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．3、元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．知识点2元素与集合的关系1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．2、常见数集的记法与关系图集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR知识点3集合的表示方法1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法.2、描述法：设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.知识点4集合间的基本关系1、子集、真子集、相等、空集表示关系文字语言符号语言图形语言基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素（则）或真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A或相等集合A，B的元素完全相同空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．知识点5集合的基本运算1、并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合与的并集.记作：，即.2、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合与的交集.记作：，即.3、补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即.考点剖析考点1判断元素与集合的关系【例1】（2023秋·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式11】（2023秋·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知集合，则必有（）A．B．C．D．【变式12】（2023秋·高一课时练习）已知，那么（）A．B．C．D．【变式13】（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合且，则下列判断不正确的是（）A．B．C．D．【变式14】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列结论中，不正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则考点2根据元素与集合的关系求参数【例2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式21】（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）集合，若且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式22】（2023秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知集合中的最大元素为，则实数.【变式23】（2023秋·甘肃·高一校考阶段练习）（多选）已知集合，若，则实数a的可能取值为（）A．－2B．0C．2D．4【变式24】（2023·江苏·高一专题练习）（多选）已知集合A中有个元素，，，且当时，，则可能为（）A．B．C．D．或或考点3根据集合中元素个数求参数【例3】（2022·全国·高一专题练习）若集合，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．,【变式31】（2022秋·河北衡水·高一校考阶段练习）（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（）A．6B．C．8D．9【变式32】（2023秋·甘肃武威·高一校考阶段练习）（多选）已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（）A．0B．1C．2D．4【变式33】（2023秋·河南商丘·高一校考阶段练习）若集合中有2个元素，求k的取值范围．【变式34】（2022秋·湖南长沙·高一校考阶段练习）已知全集，.（1）若中有个元素，求实数的值；（2）若中有四个元素，求实数的值.考点4集合相等及其应用【例4】（2023秋·贵州遵义·高一校考阶段练习）（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（）A．，B．，C．，D．，【变式41】（2022秋·全国·高一阶段练习）（多选）下列集合中，与相等的是（）A．B．C．D．【变式42】（2023秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知集合，，，则的值为（）A．3B．C．1D．【变式43】（2023·全国·高一专题练习）已知实数集合若，则（）A．B．0C．1D．2【变式44】（2023秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知，，若集合，则的值为（）A．B．C．1D．2考点5判断集合与集合之间的关系【例5】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知集合，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．A【变式51】（2023秋·江西·高三统考开学考试）已知全集，若集合满足，则（）A．B．C．D．【变式52】（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）设集合，，则（）A．B．C．D．【变式53】（2021秋·高一课时练习）已知集合，，则M，P之间的关系为（）A．M=PB．C．D．【变式54】（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合，，，则，，的关系为（）A．B．C．D．考点6根据集合之间的关系求参数【例6】（2023秋·江苏连云港·高一校考开学考试）（多选）已知集合，，若，则实数a的值可以是（）A．0B．C．2D．【变式61】（2023秋·甘肃武威·高一校考阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【变式62】（2023秋·江苏连云港·高一校考开学考试）已知集合，，且，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【变式63】（2023·上海·高一专题练习）已知，.（1）若是的子集，求实数的值；（2）若是的子集，求实数的取值范围.【变式64】（2022秋·河南商丘·高一校考阶段练习）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．考点7求集合的子集与真子集【例7】（2024秋·江西·高三校联考阶段练习）已知集合，，则的真子集的个数为（）A．6B．7C．8D．15【变式71】（2023秋·辽宁大连·高一校考阶段练习）设集合，，记，则集合的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．8【变式72】（2023秋·四川南充·高一校考阶段练习）已知集合，，则集合的真子集的个数为（）A．3B．6C．7D．8【变式73】（2023秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）满足的集合的个数有（）个A．8B．7C．6D．5【变式74】（2023秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）（多选）若{1,2}⊆B{1,2,3,4}，则B=（）A．{1,2}B．{1,2,3}C．{1,2,4}D．{1,2,3,4}考点8空集的运算及其性质【例8】（2022秋·河北承德·高一校考期末）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正确的是（）A．①③④B．②④⑤C．②⑤⑥D．③④【变式81】（2022秋·吉林·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．B．C．D．【变式82】（2023·全国·高一专题练习）给出下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则．其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式83】（2023秋·江西新余·高一校考开学考试）（多选）以下四个选项表述正确的有（）A．B．⫋C．D．【变式84】（2022秋·甘肃酒泉·高一校考期中）已知集合，则实数k的取值范围是.考点9集合的交并补综合运算【例9】（2023秋·四川成都·高三校考开学考试）设集合，，，则（）A．B．C．D．【变式91】（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）已知集合，，则（）A．B．C．D．【变式92】（2023春·甘肃平凉·高二校考阶段练习）设已知集合，，则（）A．B．C．D．【变式93】（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（）A．B．C．或D．【变式94】（2023秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知集合，，实数集为全集.（1）求，；（2）求.考点10根据集合的运算结果求参数【例10】（2023秋·全国·高一专题练习）设集合或，若，则的取值范围是（）A．或B．或C．D．【变式101】（2022春·四川南充·高一校考开学考试）已知集合，，且，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式102】（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知集合，，若，则实数k的取值范围为.【变式103】（2023秋·浙江台州·高一统考期末）已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【变式104】（2023秋·吉林长春·高一校考期末）已知集合，集合.（1）求；（2）设，若，求实数的取值范围.考点11Venn图的应用【例11】（2023秋·宁夏石嘴山·高三校考阶段练习）已知全集，如图所示，阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【变式111】（2022秋·河北保定·高一校考阶段练习）已知全集，集合，，则如图阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【变式112】（2023秋·全国·高一专题练习）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【变式113】（2023秋·四川眉山·高一校考开学考试）（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（）A．B．C．D．【变式114】（2023秋·江苏扬州·高三统考开学考试）（多选）已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．考点12集合的新定义问题【例12】（2023秋·高一课时练习）已知集合，定义集合运算，则.【变式121】（2023秋·宁夏·高一校考阶段练习）已知集合，，定义集合，则中元素个数为（）A．6B．7C．8D．9【变式122】（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）设集合M是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，则称t为集合M的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（）A．B．C．D．【变式123】（2023秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（）A．10B．11C．12D．13【变式124】（2023秋·全国·高一专题练习）若X是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集.当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”.例如：{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“M——集合类”的个数为（）A．9B．10C．11D．12过关检测1．（2023秋·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（2023秋·江苏连云港·高一校考开学考试）若集合，则集合中的元素个数为（）A．3B．4C．5D．63．（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2022秋·河南三门峡·高一校考阶段练习）对任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（2022秋·重庆万州·高一校考阶段练习）若则满足条件的集合A的个数是（）A．9B．8