5.3.2函数的极值与最大（小）值7题型分类（原卷版）

5.3.2函数的极值与最大（小）值7题型分类一、函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．二、函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．三、函数最值的定义1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．四、求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（一）求导求函数的极值函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2.运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.题型1：由图象确定函数的极值11．（2023下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）

设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值12．（2023下·河南南阳·高二统考期末）函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（

）A．是的零点B．是的极大值点C．在区间上单调递增D．在区间上不存在极小值13．（2023下·浙江·高二校联考期末）如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（

）A．，是的极大值点B．，是的极小值点C．，不是的极大值点D．，是的极值点14．（2023下·新疆昌吉·高二校考期末）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①x=2是函数的极值点；②x=1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增．则正确命题的序号是（

）A．①② B．②④ C．②③ D．①④15．（2023下·福建莆田·高二统考期末）定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（

）A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值题型2：求导求函数的极值21．（2023·高二课时练习）求下列函数的极值：(1)；(2)．22．（2023下·广东佛山·高二校考阶段练习）函数的极小值为.23．（2023下·河南新乡·高二统考期末）已知函数，则的极大值点为（

）A．1 B． C．－1 D．224．（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)＝xex＋1，则（

）A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点25．（2023下·四川成都·高二校联考期中）已知函数．(1)求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；(2)求函数f（x）的单调区间与极值；26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求的极值.(2)讨论的单调性；27．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知函数，求函数的极值.（二）由极值点或极值求参数已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.题型3：由极值点或极值求参数31．（2023下·辽宁·高二校联考期中）函数在处有极值，则的值等于（

）A．0 B．6 C．3 D．232．（2023下·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知函数，当时函数的极值为，则等于（

）A． B． C． D．33．（2023下·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．34．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数有极值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．35．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）若函数在上无极值，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．36．（2023下·广西桂林·高二校考期中）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．37．（2023·四川绵阳·统考一模）若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．（三）由极值解决函数的零点问题1．函数零点的概念：对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点．2．函数零点的判定：如果函数y=fx在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb<0，那么，函数y=fx在区间a,b3．利用导数研究函数零点或方程根的方法（1）通过极值判断零点个数的方法：借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.（2）数形结合法求解零点：对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图，数形结合确定其中参数的范围.（3）构造函数法研究函数零点：①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.题型4：由极值解决函数零点问题.41．（2023上·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考开学考试）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．42．（2023下·北京丰台·高二统考期中）若函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C．或 D．43．（2023下·广西桂林·高二校考期中）已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．44．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）若函数在处取得极值，则称是函数的一个极值点.已知函数的最小正周期为，且在上有且仅有两个零点和两个极值点，则的值可能是（

）A． B． C． D．（四）函数最值与极值的关系求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．题型5：函数极值与最值的判断51．（2023·高二课时练习）下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是（

）．A．函数的最大值一定不是这个函数的极大值B．函数的极大值可以小于这个函数的极小值C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D．函数在开区间上不存在极大值和最大值52．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（

）．A．函数在内一定不存在最小值B．函数在内只有一个极小值点C．函数在内有两个极大值点D．函数在内可能没有零点（五）不含参函数的最值问题1、求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2、求函数最值的着眼点1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.题型6：不含参函数的最值问题61．（2023下·宁夏中卫·高二海原县第一中学校考期中）函数在上的最小值为（

）A． B． C． D．62．（2023下·四川绵阳·高二校考期中）函数在区间上取得最大值时的值为（）A． B． C． D．63．（2023下·广东揭阳·高二统考期末）函数的最大值为．（六）含参函数的最值问题1、含参数的函数最值问题的两类情况：(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．2、解析式中含参数的最值问题应分析参数对函数单调性的影响，然后分类讨论确定函数的最值．3、由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是：1求导数f′x，并求极值；2利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；3利用最值列关于参数的方程组，解方程组即可.题型7：含参函数的最值问题71．（2023下·山东烟台·高二统考期末）若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（

）A．－2 B．－1 C．2 D．72．（2023下·广东潮州·高二饶平县第二中学校考开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．73．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．74．（2023·高二单元测试）设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是．一、单选题1．（2023上·安徽宿州·高三安徽省砀山第二中学校考阶段练习）已知函数的极值点为，则所在的区间为（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（陕西省西安电子科技大学附属中学20222023学年高二下学期期末理科数学试题）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（

）A．的极大值为，极小值为B．的极大值为，极小值为C．的极大值为，极小值为D．的极大值为，极小值为4．（2023下·河南南阳·高二统考期中）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值5．（2023下·广西玉林·高二校联考期中）已知函数在处有极值10，则（

）A．0或－7 B．0 C．－7 D．1或－66．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知没有极值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．（2023下·北京房山·高二北京市房山区房山中学校考期中）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2023下·四川凉山·高二统考期中）设函数f(x)＝lnx＋在内有极值，求实数a的取值范围（

）A． B． C． D．10．（2023上·陕西安康·高二统考期末）已知，函数的最小值为，则（

）A．1或2 B．2 C．1或3 D．2或311．（2023下·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．12．（2023上·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）若在区间内有定义，且x0∈，则“”是“x0是函数的极值点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件13．（2023上·湖北武汉·高三校联考阶段练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（

）个单调区间.A．3 B．4 C．5 D．614．（2023下·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（

）A． B． C． D．15．（2023上·陕西榆林·高二校考期末）若函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点C．是函数的极大值点 D．1是函数的极大值点16．（2023上·新疆·高三校考阶段练习）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值17．（2023上·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）函数的极值点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．318．（2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中统考阶段练习）函数的极小值点为，则的值为（

）A．0 B． C． D．19．（2023下·广西·高三校联考阶段练习）已知函数在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．20．（2023上·陕西咸阳·高三校考期中）已知没有极值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．21．（2023下·福建宁德·高二校联考期中）若函数在内有极大值，则a的取值范围（

）A． B．C． D．22．（2023上·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）若函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．23．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）若函数的极大值点为，则的值为（

）A． B． C．或 D．或24．（2023上·河南开封·高三校考阶段练习）对任意，函数不存在极值点的充要条件是（

）A． B． C．或 D．或25．（2023下·天津宁河·高二校考阶段练习）设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（

）A． B．C． D．26．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．27．（2023·全国·模拟预测）已知函数有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（2023上·海南·高三校联考阶段练习）已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．30．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件31．（2023下·四川乐山·高二统考期末）已知函数至少有一个极值点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题32．（2023下·辽宁锦州·高二统考期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．是的极小值点C．函数在上有极大值 D．是的极大值点33．（2023下·重庆·高二校联考阶段练习）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（

）A．使的一定是函数的极值点B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调34．（2023上·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数有极大值 B．函数有极大值C．函数有极小值 D．函数有极小值35．（2023·高二课时练习）（多选）下列结论中不正确的是（

）.A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值36．（2023下·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学期中）下列关于极值点的说法正确的是（

）A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值B．在任意给定区间上必存在最小值C．的最大值就是该函数的极大值D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点三、填空题37．（2023·高二课时练习）设函数的极大值为，极小值为，则．38．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是．39．（2023·高二课时练习）函数的极小值是．40．（2023·高二课时练习）函数f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定义域内的极值点的个数为.41．（2023下·广东湛江·高二校考阶段练习）函数，则在上的最大值为.42．（2023下·山东泰安·高二统考期末）已知函数，，则的最大值为.43．（2023下·河南洛阳·高二统考阶段练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是.44．（2023下·浙江宁波·高二统考期末）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是．45．（2023上·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是.①，；

②是的极大值点；③是的极小值点；

④是的极小值点46．（2023下·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）如图是函数的导函数的图象：①函数在区间上严格递减；

②；③函数在处取极大值；

④函数在区间内有两个极小值点．则上述说法正确的是．47．（2023下·宁夏中卫·高二海原县第一中学校考期中）若函数的极小值为5，那么的值为.48．（2023下·重庆万州·高二校考期中）已知函数在时有极值0，则=.49．（2023上·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数，若的极小值为负数，则的最小值为.四、解