高考数学一轮复习训练第8章第1讲空间几何体的表面积与体积

第八章第1讲[A级基础达标]1．(2020年新余模拟)如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为()A．eq\f(\r(15),3) B．eq\f(8\r(3),3)C．eq\f(\r(15),3)π D．eq\f(8\r(3),3)π【答案】C2．棱长为4的正方体的内切球的体积为()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．24π【答案】B3．(2019年娄底期末)已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)【答案】C4．正三角形的边长为2，将它沿BC边上的高AD翻折，使点B与点C间的距离为eq\r(3)，此时四面体A－BCD的外接球的表面积为()A．eq\f(10π,3) B．4πC．eq\f(13π,3) D．7π【答案】D5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体(如图)，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB．若此几何体中，AB＝6，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为4的等边三角形，则此几何体的体积为()A．eq\f(32\r(2),3) B．eq\f(44\r(3),3)C．eq\f(56\r(2),3) D．eq\f(64\r(3),3)【答案】C【解析】过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，连接OQ，延长QO交CD于点G，连接FG.因为△ADE和△BCF都是边长为4的等边三角形，所以OP＝eq\f(1,2)(AB－EF)＝2，PF＝2eq\r(3)，OQ＝eq\f(1,2)BC＝2.因为FO⊥平面ABCD，所以FO⊥OP.所以OF＝eq\r(PF2－OP2)＝2eq\r(2).如图，把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱．因为FQ⊥AB，FO⊥AB，所以AB⊥平面FGQ.所以AB⊥GQ，所以四边形BCGQ是矩形．V＝2×eq\f(1,3)×4×2×2eq\r(2)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)×2＝eq\f(56\r(2),3).6．(2019年泉州期末)两直角边分别为1，eq\r(3)的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是()A．eq\f(3＋\r(3),2)π B．3πC．eq\f(9＋2\r(3),4)π D．(3＋2eq\r(3))π【答案】A【解析】由题知该几何体为两个圆锥底对底组合在一起，其中若L1＝1，R1＝eq\f(\r(3),2)与L2＝eq\r(3)，R2＝eq\f(\r(3),2)，所以S＝eq\f(1,2)×eq\r(3)π×1＋eq\f(1,2)×eq\r(3)π×eq\r(3)＝eq\f(3＋\r(3),2)π.7．(2019年上海期末)圆锥的母线长是eq\r(3)，高是eq\r(2)，则其侧面积是________．【答案】eq\r(3)π8．(2020年湖北一模)已知圆锥的顶点为S，母线SA与圆锥底面所成的角为30°，若圆锥的体积为8π，则此圆锥的侧面积为________．【答案】8eq\r(3)π【解析】如图所示，由题意设圆锥的高为h，则底面半径为eq\r(3)h，母线长为l＝2h，所以圆锥的体积为V圆锥＝eq\f(1,3)π·3h2·h＝8π，解得h＝2，r＝2eq\r(3)，l＝4.所以此圆锥的侧面积为S侧面积＝πrl＝π×2eq\r(3)×4＝8eq\r(3)π.9．如图，一个圆锥的底面半径为2，高为4，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)如图，设内接圆柱底面半径为r.S圆柱侧＝2πr·x①，因为eq\f(r,2)＝eq\f(4－x,4)，所以r＝eq\f(1,2)(4－x)②，将②代入①，S圆柱侧＝2πx·eq\f(1,2)(4－x)＝π(－x2＋4x)(0＜x＜4)．(2)因为S圆柱侧＝π(－x2＋4x)＝π[－(x－2)2＋4]，所以x＝2时，S圆柱侧最大＝4π.10．如图所示，正四棱台的高是17cm，两底面边长分别为4cm和解：设棱台两底面的中心分别为O′和O，B′C′，BC的中点分别为E′，E，连接O′B′，O′E′，O′O，OE，OB，EE′，则四边形O′E′EO，OBB′O′均为直角梯形．在正方形ABCD中，BC＝16则OB＝8eq\r(2)在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4则O′B′＝2eq\r(2)cm，O在直角梯形O′OBB′中，BB′＝eq\r(OO′2＋OB－O′B′2)＝19cm.在直角梯形O′OEE′中，EE′＝eq\r(OO′2＋OE－O′E′2)＝5eq\r(13)cm.所以这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为[B级能力提升]11．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为()A．eq\f(81π,4) B．eq\f(243π,16)C．9π D．16π【答案】B【解析】如图所示，R2＝(4－R)2＋2，所以R2＝16－8R＋R2＋2，所以R＝eq\f(9,4)，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(243π,16).12．(多选)(2020年潍坊模拟)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A．eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))π【答案】AB【解析】若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l＝eq\r(2)，这时表面积为π·1·l＋π·12＝(1＋eq\r(2))π；若绕斜边旋转一周时，旋转体由两个圆锥对底组合在一起，且由题意知其底面半径为eq\f(\r(2),2)，圆锥的母线长为1，所以表面积S＝2·π·eq\f(\r(2),2)·1＝eq\r(2)π.13．(2020年武汉调研)祖暅(公元前5～6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，短轴长为4cm，长轴为6【答案】16π【解析】因为总有S圆＝S环，所以椭半球体的体积等于V柱－V锥＝πb2a－eq\f(1,3)πb2a＝eq\f(2,3)πb2a，椭球体的体积为V＝eq\f(4,3)πb2a.因为2b＝4,2a＝6，所以b＝2，a＝3，所以该椭球体的体积是eq\f(4,3)×22×3π＝16πcm3.14．(一题两空)(2020年滨州模拟)在四面体S－ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，则该四面体体积的最大值为________，此时四面体外接球的表面积为________．【答案】eq\f(\r(30),6)8π【解析】四面体的体积最大时即平面SAB⊥平面ABC，SA＝SB＝2.又SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，所以∠ACB＝90°.取AB的中点H，连接CH，SH，SH⊥AB，平面SAB∩平面ABC＝AB，SH在平面SAB内，而SH＝eq\f(1,2)·eq\r(2)SA＝eq\r(2)，所以SH⊥平面ABC．所以VS－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·SH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(30),6).所以外接球的球心在SH上，设球心为O，连接OC，CH＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)·eq\r(2)SA＝eq\r(2).由SH＝eq\f(1,2)·eq\r(2)SA＝eq\r(2)，知O与H重合．所以R＝CH＝SH＝eq\r(2).所以四面体的外接球的表面积S＝4πR2＝8π.15．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m．因为A1B1＝AB＝6m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24m3正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312故仓库的容积是312[C级创新突破]16．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，SA＝eq\r(3)，SB＝2eq\r(3)，二面角S－AB－C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】21π【解析】根据题意得SA2＋AB2＝SB2，即SA⊥AB．取AB的中点为D，SB的中点为M，连接CD，MD，得∠CDM为二面角S－AB－C的平面角，所以∠MDC＝120°.如图，设三角形ABC的外心为O1，则O1在CD上，连接BO1，则CO1＝eq\r(3)＝BO1，DO1＝eq\f(\r(3),2).设外接球半径为R，易知球心为过M垂直面ABS的垂线与过O1垂直面ABC的垂线的交点O.在四边形MDO1O中，因为二面角S－AB－C的平面角∠MDC＝120°，且MO⊥MD，O1O⊥DO1，MD＝O1D＝eq\f(\r(3),2)，所以∠ODO1＝60°，OO1＝O1D·tan60°＝eq\f(3,2)，连接OB，则R2＝OB2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1B2＝eq\f(9,4)＋3＝eq\f(21,4)，所以球的表面积S＝4πR2＝21π.17．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成两部分的体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足