新版高中数学人教A版选修2-2习题第二章推理与证明2.2.1.2

第2课时分析法课时过关·能力提升基础巩固1分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件答案A2欲证25<6-7成立,只需证A.(25)2<(6-7B.(26)2<(5-7C.(2+7)2<(5+6D.(25-6)2<(7解析由分析法知,欲证25<6-7,只需证2+7<6+5,即证(2+7)2<答案C3要证明3+7<25,可选择的方法有下面几种,其中最合理的是(A.综合法 B.分析法 C.特殊值法 D.其他方法答案B4分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且a+b+c=0,求证:b2-ac<3aA.ab>0 B.ac>0C.(ab)(ac)>0 D.(ab)(ac)<0答案C5将下面用分析法证明a2+b22≥ab的步骤补充完整:要证a2+b22≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证,即证答案a2+b22ab≥0(ab)2≥0(ab)2≥06用A,B,C和a,b,c分别表示△ABC的三个内角和三条边.求证:当tanA·tanB>1时,△ABC为锐角三角形.证明要证三角形为锐角三角形,只需证A,B,C均为锐角,只需证tanA,tanB,tanC均为正.因为tanAtanB>1,且A+B<π,所以tanA>0,且tanB>0.又因为tanC=tan[180°(A+B)]=tan(A+B)=tanA+tan所以A,B,C均为锐角,即△ABC为锐角三角形.7已知a,b,m是正实数,且a<b,求证:ab<证明由a,b,m是正实数,故要证ab只需证a(b+m)<b(a+m),只需证ab+am<ab+bm,只需证am<bm.而m>0,所以只需证a<b.由条件知a<b成立,故原不等式成立.8设|a|<1,|b|<1,求证:a+b1+ab证明要证a+b只需证|a+b|<|1+ab|,只需证(a+b)2<(1+ab)2,只需证a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2,只需证a2a2b2+b21<0,只需证(a21)(b21)>0.当a2<1,b2<1,即|a|<1,|b|<1时,上式成立.所以原不等式成立.9设a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.(提示:a3+b3=(a+b)(a2ab+b2))证明方法一(分析法):要证a3+b3>a2b+ab2成立,即证(a+b)(a2ab+b2)>ab(a+b)成立.又因为a+b>0,所以只需证a2ab+b2>ab成立,即证a22ab+b2>0成立,即证(ab)2>0成立.而依题设a≠b,则(ab)2>0显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):a≠b⇔ab≠0⇔(ab)2>0⇔a22ab+b2>0⇔a2ab+b2>ab.注意到a,b∈(0,+∞),a+b>0,由上式即得(a+b)(a2ab+b2)>ab(a+b).所以a3+b3>a2b+ab2.能力提升1若a≥0,P=a+a+7,Q=a+3+a+4,则PA.P>Q B.P=Q C.P<Q D.由a的取值确定解析要比较P,Q,只需比较P2=2a+7+2a2+7a与Q2=2a+7+2a2+7a+12,只需比较a2+7a与a2+答案C2要证a2+b21a2b2≤0,只需证明()A.2ab1a2b2≤0B.a2+b21a4+C.(a+b)221D.(a21)(b21)≥0解析因为a2+b21a2b2≤0⇔(a21)(b21)≥0,故选D.答案D★3已知a,b,μ∈(0,+∞),且1a+9b=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是解析∵a,b∈(0,+∞),且1a+∴a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba≥10+2∴a+b的最小值为16.∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ成立,故0<μ≤16.答案(0,16]4若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a解析当x>0时,xx2+3x+1=1x+1x+3≤1只需15≤a即可.故a≥1答案15已知a>0,1b-1a>1.求证证明要证1+a只需证1+a>11只需证(1+a)(1b)>1(1b>0),即1b+aab>1,所以ab>ab.只需证a-b即1b-1由已知a>0,1b-1a所以1+a>6已知a>0,用分析法求证:a2+1a2-证明要证a2+1a只需证a2+1a2+又a>0,故只需证a2+1a2+22≥a+1a+22,即要证a2+1a2+4a2只需证4a2+1a即a2+1a2≥2.故原不等式成立.★7已知2tanA=3tanB.求证:tan(AB)=sin2B分析观察条件与结论,结论中出现二倍角,可把二倍角公式化为单角,再将分式化为整式,同时等式的左边可用差角正切公式,再结合已知等式消去角A,此时将等式中的常数2化为2(sin2B+cos2B),可以发现等式中两边是关于sinB与cosB的二次式,再逆用公式tanB=sinBcos证明因为2tanA=3tanB,所以tanA=32tanB要证tan(AB)=sin2B只需证tanA只需证12即证tanB只需证tanB(2+sin2B)=(2+3tan2B)sinBcosB,只需证tanB(2cos2B+3sin2B)=(2+3tan2B)sinBcosB,