6.2.3平面向量的数乘运算（原卷版）

6.2.3平面向量的数乘运算知识点一向量的数乘运算定义一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作长度方向的方向与的方向相同的方向与的方向相反规定当＝0或时，；微点拨：①数乘向量仍是向量，实数与向量不能相加.②中的实数叫作向量的系数.③向量数乘运算的几何意义是把沿着的方向或的反方向长度扩大或缩小几倍．④当＝0或时，，注意是，而不是0.若，则＝0或.⑤当时，向量是与向量同向的单位向量.知识点二向量数乘的运算律设为实数，那么(1)；(2)；(3).特别地，.知识点三向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量，以及任意实数，恒有.微点拨：实数与向量可以求积，但不能求和或求差知识点四向量共线定理向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.微点拨：①向量共线定理中规定，因为如果，当时，，可以是任意实数；当时，，值不存在．②的值是唯一存在的．③当向量同向时，；当向量反向时，.考点一向量的线性运算提分笔记向量线性运算的基本方法1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．题型一向量的数乘运算1．（2023·全国·高三专题练习）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（

）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．2．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题：①

②③若，则

④若，则其中正确命题的个数是：（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).题型二向量的混合运算1．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（

）A． B．C． D．2．（2022·高一课时练习）若向量，，则.考点二用已知向量表示相关向量提分笔记1．直接法2．方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．3．中点向量公式若M为AB的中点，O为平面内任一点，则OM＝OA+题型一不含参数1．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，点为边的中点．记，，则（

）A． B． C． D．2．（2023下·广西钦州·高一浦北中学校考期中，多选）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）已知中，，则（

）A． B． C． D．4．（2023下·山东潍坊·高二校联考期末）已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（

）．A． B． C． D．5．（2021·高一课时练习）在中，若，．(1)若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；(2)若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；(3)如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）题型二含参数1．（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（

）A． B． C． D．2．（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则．3．（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）在中，D为AC上一点且满足若P为BD的中点，且满足则的值是（

）A． B． C． D．题型三已知关系式的变形1．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．32．（2022下·河北石家庄·高一统考阶段练习）已知平面上不共线的四点，若，则等于（

）A． B． C． D．3．（2023下·福建福州·高一校联考期中）在中，，，是所在平面内一点，，则等于（

）A． B． C． D．4．（2019·广东·校联考一模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足则（

）A． B．C． D．考点三向量共线的判定及应用应用共线向量定理时的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量共线是指存在不全为零的实数，使成立；若，当且仅当时成立，则向量不共线．题型一向量共线问题1．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：(1)，；(2)，（其中两个非零向量和不共线）；(3)，.2．（2023·全国·高一课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．题型二证明或判断三点共线提分笔记一般来说，要判定三点是否共线，只需看是否存在实数，使得即可．1．（2020·高一课时练习）已知，，求证，，三点共线.2．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，，求证：A，B，C三点共线．3．（2022上·广西玉林·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D4．（2023·全国·高三专题练习）设两向量与不共线，若，，，则为何值时，三点共线？题型三利用向量共线求参数提分笔记已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．1．（2023下·重庆·高一校联考期末）已知点在线段上，且，若向量，则（

）A．2 B． C． D．2．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）在中，若点满足，，则.3．（2023·高一单元测试）在中，，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则.4．（2018·高一课时练习）已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（）A． B．C． D．考点四三角形四心问题题型一三角形四心的判断1．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心2．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（

）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心3．（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心4．（2022上·山西太原·高三统考期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（

）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心题型二已知三角形四心的向量表示1．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设为的重心，则（

）A．0 B． C． D．2．（2023下·广东广州·高一统考期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（

）A． B．1 C． D．2题型三向量与基本不等式交汇问题1．（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点