数学人教A版必修2课时作业4-1-1圆的标准方程

课时作业25圆的标准方程——基础巩固类——1．方程y＝eq\r(9－x2)表示的曲线是(D)A．一条射线 B．一个圆C．两条射线 D．半个圆解析：方程y＝eq\r(9－x2)可化为x2＋y2＝9(y≥0)，所以方程y＝eq\r(9－x2)表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方的部分，是半个圆．2．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是(C)A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9解析：由题意得半径r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4.3．已知圆C过点A(1,4)，B(3,2)，且圆心C在直线y＝0上，则(C)A．点M1(2,3)在圆上，点M2(2,4)在圆外B．点M1(2,3)在圆内，点M2(2,4)在圆上C．点M1(2,3)在圆内，点M2(2,4)在圆外D．点M1(2,3)在圆外，点M2(2,4)在圆内解析：因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为(2,3)，故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝0))的解，即圆心坐标为C(－1,0)，半径长r＝eq\r(－1－12＋0－42)＝eq\r(20)，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20.点M1(2,3)到圆心的距离为eq\r(2＋12＋3－02)＝eq\r(18)<r，所以点M1在圆内，点M2(2,4)到圆心的距离为eq\r(2＋12＋4－02)＝eq\r(25)>r，所以点M2在圆外．4．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则A．－eq\f(\r(5),5)<a<eq\f(\r(5),5) B．－1<a<1C．－eq\f(\r(5),5)≤a≤eq\f(\r(5),5) D．－1≤a≤1解析：由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a5．若圆心在x轴上，半径为eq\r(5)的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是(D)A．(x－eq\r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为eq\f(|a＋2×0|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，解得a＝－5，a＝5(舍去)，∴圆心是(－5，0)，即圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.6．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5解析：由题意，知2a＝－4，∴a＝－2，故BC(－2,2)．∴△ABC的外接圆的半径为eq\f(|BC|,2)＝eq\f(\r(－4＋22＋－2－22),2)＝eq\r(5)，圆心为(－3,0)．∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.7．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.解析：设圆心(0，b)，设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，把(1,2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.8．使圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上的点与点(0，－5)的距离最大的点的坐标是(3，－2)．解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)所在直线的方程为y＝x－5，代入圆的方程化简得(x－2)2＝1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－4，))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2.))∴点(3，－2)即为所求．9．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是4.解析：因为点A(－1,1)关于x轴的对称点的坐标为(－1，－1)，圆心坐标为(2,3)，所以光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程为eq\r(－1－22＋－1－32)－1＝4.10．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，求圆C的标准方程．解：方法1：由圆心在直线2x－y－7＝0上，可设圆心坐标为(a,2a－7)，由题意得a2＋(2a－3)2＝a2＋(2a－5)2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，－3)，圆的半径长r＝eq\r(2－02＋－3＋42)＝eq\r(5)，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.方法2：圆C的圆心在弦AB的垂直平分线y＝－3上，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,y＝－3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3，))故所求圆的圆心坐标为(2，－3)，半径长r＝eq\r(2－02＋－3＋42)＝eq\r(5)，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.方法3：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则由已知条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋－4－b2＝r2，,0－a2＋－2－b2＝r2，,2a－b－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－3，,r2＝5.))故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.11．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？解：能．理由如下：设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将A，B，C三点的坐标分别代入有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，,3－a2＋4－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，,r＝\r(5).))∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将D(－1,2)代入上式圆的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D点坐标适合此圆的方程．故A，B，C，D四点在同一个圆上．——能力提升类——12．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(B)A．2 B．1C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：由几何意义可知最小值为14－eq\r(52＋122)＝1.13．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(A)A．5eq\r(2)－4B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2)D.eq\r(17)解析：由题意知C1(2,3)，C2(3,4)，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2＝5eq\r(2)，所以(|PM|＋|PN|)min＝5eq\r(2)－(1＋3)＝5eq\r(2)－4.14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝4±eq\r(15).解析：依题意，圆C的半径长是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，于是有eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\r(3)，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).15．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2