2022-2023学年河南省南阳市六校高一（下）联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市六校高一(下)联考数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.下列角中，与角1560。终边相同的角是()

A.7B.≡C.=D.学

2.在函数①y=sin∣2x∣,②y=∣cosx∣,③y=cos(2x+，)，④y=tan(2x中，最小

正周期为兀的所有函数为()

A.②③B.①③④C.②④D.①③

3.要得到y=sin]的图象，只需将函数y=cos(∣一：)的图象()

A.向左平移[个单位长度B.向右平移3个单位长度

C.向左平移方个单位长度D.向右平移]个单位长度

4.函数/(X)=在唱的值域为()

ɔɑlɪ(-ʌI4

A.(-∞,-2)U(0,÷∞)B.(-∞,-2]U[0,÷∞)

C.(-∞,-2)U[0,+∞)D.(-8,-2]U(O,+∞)

5.在直径为4cτn的圆中，72。的圆心角所对的弧长是()

A.γcmB.ycmC.^cmD.^cm

6.AABC中角C为钝角，若角。终边上一点P的坐标为(S讥A—cosB,COSA-SinB),则y=

sin9ICOSel湍的值为()

ISinelcosθ

A.1B.-1C.2D.-2

7.若函数/(x)=sin0>x(3>0)在区间有学]上单调递减，且f(x)=1在区间[0,2ττ]上有唯一

的实数解，则3的取值范围是()

A.⅛,3]B.[∣j]C.[1,∣)D.[|,3]

8.将函数/0)=5也(3》+》的图象向右平移山(?71>0)个单位长度，再将图象上各点的横坐

标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则根的最小值为

()

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列结论中正确的是()

A.终边经过点(τn,7n)(τn>0)的角的集合是{α∣α=*+2kπ,k∈Z}

B.x∈［0,2∏∙］时，tanx+sinx<O的解集为&乃)U(亨,2兀)

C.M={x∣x=45o+fc∙90o,⅛∈Z}>N={y∖y=90°+k-45o,k∈Z),则MUN

D.若α是第三象限角，则§是第二或第四象限角，2α是第一或第二象限角

10.如果f(sin%)=cos2x,下列结论中正确的是()

A./(sin¾=?B./(cosy)=ɪ

DLJ4

C./(CoSX)=-sin2xD./(CoSX)=-cos2x

11.下列各式正确的是()

A.sinɪ<sin^B.cos^>cos^C.tan<sinɪD.sin<cos

264666ɔɔ

12.已知函数f(x)=5sin(2x-1)(x∈R),对于下列说法正确的有()

A.要得到函数g(x)=5s讥2x的图象，只需将函数f(x)的图象向左平移今个单位长度即可

B.、=〃%)在［-兀,兀］内的单调递减区间为审,福

C.y=/⑶的图象关于直线X=萼对称

D.y=/(%+即)为奇函数

O

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数y=∖g(2sinx—1)+71—2cos%的定义域为.

14.已知角α的顶点在原点，始边与％轴非负半轴重合，点P(4τn,-3m)()nV0)是角α终边上

的一点,^^2sina+cosa

"sɪnɑ-cosa

15.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的A

美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形4BC,再分别以4、B、C为圆心，/\

线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为

π,则其面积是.

16.设函数/(无)是定义在R上的偶函数，且/(x)=/(2-尤)，当X∈［0,1］时,f(χ)=G,

则函数g(x)=ItCmTrXI-/(x)在［一|,|］上所有零点之和为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

ς4

已知_sin(8+);T)CoSGπ∙-6)cos(e+3π∙)

cos(——8)sin(—-O')

(1)化简，(9)；

(2)若Sin(O-[)=：,求f(。+T)的值.

OΣ)ɔ

18.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=2sin(-2x+力，X∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

⑵求/(x)在［0,2兀］上的单调递增区间;

(3)当XC［0,刍时，求f(x)的最大值和最小值.

19.(本小题12.0分)

己知函数/(x)=2sin(ωx+φ~)(ω>0,0<φ<方的部分图像如图所示：0<勿<今

图1图2

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)用“五点作图法”在给定的坐标系(图2)中做出函数/(X)在一个周期内的图像.

20.(本小题12.0分)

已知函数/^(x)=Asin(ωx+φ)(^A>0,ω>G,∖φ∖<方的最小值为一一耳，其图像经过点

且图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若关于X的方程/(X)-k=0在［|,号上有且仅有两个实数根如求实数k的取值范围,

并求出+%2的值•

21.(本小题12.0分)

直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心。距离水面2τn,已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分

钟转动6圈，当水轮上点P从水中浮现时(图中点Po)开始计算时间.

(I)将点P距离水面的高度/i(nɪ)表示为时间t(s)的函数；

(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P在水面下？

22.(本小题12。分)

已知奇函数/Q)的定义域为实数集R,且/(x)在(-8,+8)上是减函数，是否存在这样的实数m,

使“4小一2小孙。)+/(2孙2。-4)>/'(0)对所有的。6［一谷］均成立？若存在，求出适合

条件的实数Tn的取值范围；若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:V1560°=1440。+120。=8兀+与是第二象限角，

•••与角1560。终边相同的角是今

故选：C.

与α终边相同的角即为｛/?|0=a+k-360o,⅛ez],代入即可解决.

本题主要考查终边相同的角的集合，属基础题.

2.【答案】A

【解析】解：①y=sin∣2x∣不是周期函数，故①错误；

②y=∣cosx∣的最小正周期为T=2X2兀=兀，故②正确；

@y=cos(2x++的最小正周期为7=^=π,故③正确；

®y=tan(2x-令的最小正周期为7=p故④错误.

故选:A.

利用三角函数的定义和周期公式能求出最小正周期为兀的所有函数.

本题考查函数的定义和周期公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解:由于函数y=sin5=cos6一意=COS["(x—今一争，

故只需将函数y=cos《一》的图象向右平移可得函数y=Sin豹勺图象.

故选：D.

将y=SinI整理成y=cos[i(x-2)-≡],然后利用平移变换即可求解.

本题主要考查了三角函数的图象变换，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：f(χ)=-1Γ≡,=.-修吧+2+1=_工+_5_,

'I"3sinx+23sinx+233(3sinx+2')

因为一1≤sinx≤1,所以一1≤3sinx+2≤5,且3si?IX+2≠0,

所以-------<--i5j∕-------5___>1

771"3(3SinX+2)-3^3(3sinx+2)-3,

所以一§+3(3SinX+2)W-2或3(3SinX+2)2°,

故人X)=就表的值域为(一8，-2]U[0,+∞).

故选：B.

将/Q)=冲告分离常数，根据正弦函数的有界性与不等式的性质求最值.

7vy3sιnx÷2

本题考查分离函数的方法求函数的值域，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为72。=72X言rαd=告rad,

IoUɔ

所以72。的圆心角所对的弧长为期×2=ycτn.

故选：A.

先求出圆心角的弧度，然后利用弧长公式计算出正确答案.

本题主要考查弧长公式，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：∙∙F∕BC中角C为钝角，∙∙∙A+B<90。得/<90。一8,

o

・•・sinA<sin(90—B)=cosBf即SirL4<CoSB,SinA—cosB<0.

同理可得siτιB<CosA9CosA-SinB>0.

点P(SiTL4-cosB,cosA-S出8)位于第二象限，即。为第二象限角，

所以Si九。>0、cosθ<0、tanθ<0,

所以y=晅+厘+皿—1—1=

切入XISinelCOSeItanel

故选：B.

o

由题意可得，AOO-Bf根据正弦函数、余弦函数的性质及诱导公式得至∣JsiτM-cos8Vθ∖

cosA—sinB>O,从而得到。为第二象限角，即可得到sin。、CoS6、tern。的取值情况，即可得解.

本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意令2/OT+]≤3%≤2∕cττ+苧，fc∈Z,

解得ω也+A2ω≤xW等2ω+也ω，k∈Z,

又因为/(x)=sinωx(ω>0)在区间碍,等上单调递减，

所以当3≤∣2≡ω+型ω且32≥四ω+在2ω，k∈Z,

所以1+4fc≤3≤了4+3k，kEZ,

当％E[0,2初时，ωx∈[0f2ωπ]9

因为方程“X)=1在区间[0,2扪上有唯一的实数解，

π

2-15

一44-

2ω<5π

7T2

综上3的取值范围是口,|),

故选：c.

1

由/(x)在区间有Z当ɔ上单ɔ调递L减bi，可O)得⅜L≤碧60+也LO⅛i4≥型+白kez,由方程/(χ)=l在区

(23兀≥J

间[0,2兀]上有唯一的实数解，可得<£,即可得答案.

(2ωπ<T

本题考查了正弦函数的性质，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：将函数/O)=sin(3x+》的图象向右平移τn(m>0)个单位长度，可得y=sin(3x-

3m+，)的图象；

O

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)=SinGX-36+》的图

象,

若g(x)为奇函数，-3nι+*=⅛τr,k€Z,则当m取最小正数时，m=ɪ.

故选：C.

由题意利用函数y=4s讥(o>x+(Jo)的图象变换规律，函数的奇偶性，求得m的值.

本题主要考查函数y=4sin(3x+0)的图象变换规律，三角函数图象的对称性，属于基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：终边经过点(犯加)(巾>0),则该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是{a∣α=

:+2kτt,Zc6Z},A错误；

不等式tanx+sinx<°化为SinX.鬻<°,而1+cosx≥0,于是S加COSY<0,

又％∈[0,2τr],所以tcmX+sinx<0的解为&兀)U(γ,2π),8正确；

M={x∣x=45o+k-90°,k∈Z}表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，

N={y∣y=90。+h45o,fc∈Z}表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的

集合，即MaN,C正确；

由于α为第三象限角，即2Α兀+兀<α<2⅛ττ+€Z),则kττ+`</<kττ+与(忆6Z),口吟是

第二或第四象限角，4fcπ+2π<2a<4∕cτr+3π(k∈Z),即2α是第一或第二象限角或终边在y轴

非负半轴，。错误.

故选：BC.

写出角的集合表示判断4利用同角公式结合各象限角的三角函数值符号求解判断B；确定两个集

合表示的角终边判断C；由α范围求出会2a范围判断O作答.

本题主要考查象限角、三角函数线，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解:∕^(si∏y)=COSy=cos∣=ɪ,A错误；

CD选项，/(COSX)=/[sinG-X)]=cos2(]-x)=cos(π∙-2x)=-cos2%,C错误，。正确；

B选项，/(COSy)=-COSy=COS8正确.

故选：BD.

4选项，代入求值即可；CO选项，利用诱导公式得到f(cos%)=-cos2%;8选项，利用f(cosX)=

-cos2x,求出答案.

本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解:因为Sin==Sin/

66

0<i<=<=,

幺62

y=Sinx在(θ［)单调递增，所以sin:<sin罟所以A正确；

乙LO

35

为

因COSCOS/3

4-Tr6-Tr=—二，

所以COS,7Γ>COSWTT,所以8正确：

46

tanɪTi=tanɪ,tan>sinɔ故tan?>sing,所以C错误；

66O666

因为cos*=Sin得在(OA)内y=sin%单调递增，

5IU乙

所以Sint<cos*所以。正确.

故选：ABD.

根据诱导公式和正余弦函数的单调性比较大小即可.

本题考查三角函数的单调性，考查转化能力，属于基础题.

12.【答案】CD

【解析】解：对于4,将/Q)的图象向左平移;个单位可得函数y=5sin［2(x+令一?=Ssin(2x+

≡)≠5sin2x,故A不正确；

对于B,令［+2/OT≤2x—?≤若+2卜兀，k€Z可得等+ZCTT≤X≤年+Mr,k&Z,

取Zc=-I时，减区间为［_温一勺，A=O时，减区间为健,弱，

∙∙∙y=f(x)在Hr,τr］内的单调递减区间为［一/一自底,福，故3不正确；

对于C,当％=ITr时，/郎)=5sin(2X1-1)=5siW=5,恰好是函数的最大值，

oOozt∙Z

7=/(无)的图象关于直线％=萼对称，故C正确；

O

对于D,y-f(x+引=5sin[2(x+ɪ)-勺=5sin(2x+ττ)=-5sin2x,

.∙.y=∕(χ+净为奇函数，故。正确.

故选：CD.

对于4,利用平移变换即可求解；对于B,求出y=f(x)的单调减区间即可；对于C,代入检验即

可；对于。，化简y=∕(x+号)即可.

O

本题主要考查正弦函数的图象与性质，函数y=Asin(O)X+0)的图象变换，考查运算求解能力，

属于中档题.

13.【答案】g+2kτr*+2kτr),kEZ

sinx>ɪ

【解析】解；由空线Z2得

COSX≤ɪ

2

2f

+兀<<

c1X5π-+2fcττ,k∈Z

16611

，

f得无E[―+2kτι,—+2kττ)>kEZ.

)π--+2c<X<57-Γ

2Tr--3∈

k3+2k2π,k2Z

，函数y=lg(2smx-1)÷Jl-2cosx的定义域为J+2kτr,看+2∕cττ),fc∈Z.

故答案为：g+2k7样+2∕OT),k∈Z.

由对数式的真数大于0,根式内部的代数式大于等于0,再求解三角不等式得答案.

本题考查函数的定义域及其求法，考查三角不等式的解法，是基础题.

14.【答案】I

【解析】解：角α的顶点在原点，始边与X轴非负半轴重合，点P(4m,-3m)(nι<0)是角α终边上

的一点，

ʌr=J(-4m)2+(3m)2=—5m,

—3TH4m2347

ʌ2sina+cosa=—^―×2H———=-»sina—cosa=:一(一三)=三，

-5mSm55'5'5

2sina+cosa2

Λ------------=-

Sina-COSa7

故答案为：

根据已知条件P(4τn,-3m)(m<0),可以求出S⅛IQ,CoSa,代入即可.

本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于基础题.

15.【答案】三

【解析】解：如图,

Tr一3

由条件可知，弧长&=废=念=全等边三角形的边长AB=BC=AC=-

7一f3

则以点4、B、C为圆心，圆弧48,BC,4C所对的扇形面积为1=9

中间等边AZBC的面积S=WX1×1=—,

224

所以莱洛三角形的面积是3X£—2X华=±F∙

642

故答案为：号I

根据图形分析，利用扇形面积公式和三角形面积公式求解即可.

本题考查了扇形面积公式和三角形面积公式的应用，属于基础题.

16.【答案】6

【解析】解：y=∣tαn兀x∣是由y=tαnx纵坐标不变，横坐标变为原来的5倍,再将X轴下方的图象

翻到X轴上方即可得到，

又有f(x)是定义在R上的偶函数，且/(%)=/(2-X)=f(x-2),

所以〃乃图象关于直线X=1对称，且周期为2,

又因为X∈［0,1］时，/(X)=C,

在同一坐标系下，画出y=Itan兀及f(x)在［一|,|］的图象如下所示：

由图象可知y=∣tanτrx∣与/(X)交点个数为10个，其零点之和为6.

故答案为：6.

确定f(x)图象关于直线X=1对称，且周期为2,通过变换得到y=ItanTTXl的图像，根据图像知y=

Itan兀x∣与f(x)交点个数为10个，计算得到答案.

本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

sin(0+^7r)cos(^π∙-0)cos(0+37r)

17.【答案】解：(l)f(。)=

cos(~^-0)sin(-∣7τ-0)

cos8(-Sirιθ)(-cos8)

-SineCOS6

=-cosθ↑..............(6分)

(2)因为sin(8-*

所以/(6+勺=-cos(θ+弓)=-cosg+(0-3)]=sin(θ-=z∙(12分)

ɔ◊乙。oɔ

【解析】(1)利用诱导公式化简即可；

(2)依题意，利用诱导公式可求得f(8+今的值.

本题考查两角和与差的三角函数，考查诱导公式的应用，属于基础题.

18.【答案】解：⑴/⑶的最小正周期7=高=E=兀.

(2)∕(x)=2sin(-2x+/=-2sin(2x—；),

⅛5+2fcτr≤2x-≡≤y+2⅛7r,keZ,^+kπ≤x≤^+kπ,keZ.

又％∈[0Λ2TΓ],

所以函数/(X)的单调递增区间为伴,钓,[事,粤].

OOOO

(3)∙∙∙χ∈哨，

∙∙∙2χ-J∈[-≡,⅜].

当2x-；即x=0时，/(χ)rnax=-2×(-^)=yΓ2,

当2%-沪今即X=券时，f(x)min=-2×1=-2.

【解析】(1)利用周期公式即可求解；

(2)由]+2kττ≤2x—≤ɪ÷2kττ,k£Z,结合％∈[0,2ττ]即可求解；

⑶由χe[0,自求得2x-*e[十尊，从而利用正弦函数的性质即可求解.

本题主要考查了正弦函数的周期，最值求解，还考查了正弦函数的单调性，属于中档题.

19.【答案】解：(1)根据/(x)的图像可知：/(0)=1,故可得2si∏0=1,即sin<p=^,

又We(Oq),故8=*

又/③=1，故可得2sbι(3XV)=1,

则*3+*=2kτr+3或^3+?=2kττ+.，k&Z,

解得3=6k或3=6k+2,k&Z,

数形结合可知：即?>会结合3>0,解得3€(0,3),

显然3=6鼠k∈Z不满足题意，故3=6/c+2,k∈Z,当且仅当k=0时，3=2满足题意;

故/(%)=2sin(2x+ξ).

(2)由“五点作图法”找出函数f(x)在一个周期内的五个关键点，如表所示.

【解析】(1)根据题意，结合图像可知T>与然后由3的范围即可得到3,将(0,1)代入即可求得*；

(2)根据题意，由“五点作图法”做出图像即可.

本题主要考查五点法作函数y=Asin(ωx+乎)的图像，由y=Asin(^ωx+乎)的部分图像确定其解

析式，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由题意，得A=4?,I=J42-(2ΛΛ3)2=2-

.∙.T=4,ω=γ=ɪ,

∙∙∙/(x)=√^^3sin(^x+φ),

又函数f(x)的图像经过点(0,—?)，则CSiM=―孕，BPsinφ=-p

⅛l<p∣<f>得<p=一看,

∙∙∙f(x)=√^^3sin(^x-看).

(2)由题意，关于X的方程f(x)-Zc=O在[|,号上有且仅有两个实数根与，冷，

即函数y=/(%)与y=k的图像在冷号上有且仅有两个交点，

由(I)知f(%)=√^-3sin(≡x-≡).

设t=IX-*则y=>∕~3sintf

∙∙∙X∈[∣,?，

•・"呜堂，

则y∈[-√^,O].其函数图像如图所示，

由图可知，实数k的取值范围为(一，$-|]u[?,q)，

①当ke[?,O寸，G，t2关于t=制称，

则tl+12=(%-3)+(畀2Y)=兀，得Xi+X2=I；

②当ke(——1∙]时，t],七关于t=与对称，

则匕+t2=GXlY)+(务2Y)=3兀,得Xl+X2=y；

综上，实数%的取值范围为(_q,—|]u[?,C)，

当keg,√3)时,%+必的值为|；当ke(-C,—|]时，χι+%2的值为争

【解析】(1)由函数/(x)的最小值得出4,由图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4,根据勾

股定理求出夕即可求出3,再由图像经过点(0,_?)及|勿<5求出仍即可得出/(x)的解析式；

(2)关于X的方程/(x)-Z