新人教版八年级数学下册期中知识点汇总

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如〔〕的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例1．以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、〔x>0〕、、、-、、〔x≥0，y≥0〕．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．知识点二：取值范围1、

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2、

二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？知识点三：二次根式〔〕的非负性〔〕表示a的算术平方根，也就是说，〔〕是一个非负数，即0〔〕。注：因为二次根式〔〕表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数〔〕的算术平方根是非负数，即0〔〕，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0。例4(1)y=++5，求的值．(2)假设+=0，求a2004+b2004的值知识点四：二次根式〔〕的性质〔〕文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式〔〕是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：假设，那么，如：，.例1.计算1．〔〕22．〔3〕23．〔〕24．〔〕2例2.在实数范围内分解以下因式:〔1〕x2-3〔2〕x4-4(3)2x2-3知识点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，假设是正数或0，那么等于a本身，即；假设a是负数，那么等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不管a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。例1化简〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例2填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质答复以下问题．〔1〕假设=a，那么a可以是什么数？〔2〕假设=-a，那么a是什么数？〔3〕>a，那么a是什么数？例3当x>2，化简-．知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差异的，

，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的乘除1、乘法·＝〔a≥0，b≥0〕反过来：=·〔a≥0，b≥0〕2、除法=〔a≥0，b>0〕反过来，=〔a≥0，b>0〕〔思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0〕例1．计算〔1〕4×〔2〕×〔3〕×〔4〕×例2化简〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例3．判断以下各式是否正确，不正确的请予以改正：〔1〕〔2〕×=4××=4×=4=8例4．计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例5．化简：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例6．，且x为偶数，求〔1+x〕的值．3、最简二次根式应满足的条件：〔1〕被开方数不含分母或分母中不含二次根式；〔2〕被开方数中不含开得尽方的因数或因式〔熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2〔或2的倍数〕，假设是那么说明含有能开方的因式，那么不满足条件，就不是最简二次根式〕例1．把以下二次根式化为最简二次根式(1);(2);(3)4、化简最简二次根式的方法：(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；(2)化去根号内的分母〔或分母中的根号〕，即分母有理化；(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．〔此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题〕5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；

②与；③与；

④与．

说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．13、同类二次根式：被开方数相同的〔最简〕二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如与知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式〔即同类二次根式〕进行合并。〔合并方法为：将系数相加减，二次根式局部不变〕，不能合并的直接抄下来。例1．计算〔1〕+〔2〕+分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：〔1〕+=2+3=〔2+3〕=5〔2〕+=4+8=〔4+8〕=12例2．计算〔1〕3-9+3〔2〕〔+〕+〔-〕例3．4x2+y2-4x-6y+10=0，求〔+y2〕-〔x2-5x〕的值．2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方〔开方〕，再乘除，再加减3、二次根式的比拟：〔1〕假设，那么有；〔2〕假设，那么有．

〔3〕将两个根式都平方，比拟平方后的大小，对应平方前的大小例4．比拟3与4的大小【勾股定理】勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即：。常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。这个一定要牢记于心。考点一：勾股定理的直接应用例1.正方形的面积是2，它的对角线长为〔〕A、1B、2C、D、例2．如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，假设最大正方形的边长为8cm，那么正方形M与正方形N的面积之和为考点二：求第三条边的长例1．假设中，且c=37,a=12，那么b=〔〕A、50B、35C、34D、26例2．两线段的长为6cm和8cm，当第三条线段取时，这三条线段能组成一个直角三角形。〔提示：所给的两条变长不一定都为直角边。〕例3．假设一个直角三角形的三边分别为a、b、c,,那么〔〕A、169B、119C、169或119D、13或25考点三：与高、面积有关例1．两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是例2．等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，那么它的面积是◆勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。判断步骤：〔1〕比拟a、b、c大小，找最长边；〔2〕计算两条短边的平方和，看是否与最长边的平方相等。例1．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，那么这个桌面。〔填“合格”或“不合格”〕例2．试判断：三边长分别是的三角形是不是直角三角形？【习题】【勾股定理】一、选择题1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的几倍？〔〕A、2B、4C、3D、52、等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，那么腰长AB的长为〔〕A．10B.12C.15D.203、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如右图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，那么h的取值范围是〔〕A、h≤17cmB、h≥8cmC、15cm≤h≤16cmD、7cm≤h≤16cm二、填空题1、如果梯子底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可到达建筑物的高度是____________m。2、如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是cm3．、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，那么正方形A，B，C，D的面积的和为。4．一个零件的形状如图，按规定这个零件的与都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。这个零件符合要求吗？5.如图，南北方向MN为我国领海线，即MN以西是我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切关注。反走私艇A和走私船C的距离是13海里，A、B两艇的距离为5海里，反走私艇B测得距离C船12海里，假设走私船C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？(精确到分)AABCMN四边形知识点总结：1．四边形的内角和与外角和定理：〔1〕四边形的内角和等于360°；〔2〕四边形的外角和等于360°.2．多边形的内角和与外角和定理：〔1〕n边形的内角和等于(n-2)180°；〔2〕任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：因为ABCD是平行四边形4.平行四边形的判定：.5.矩形的性质：因为ABCD是矩形6.矩形的判定：四边形ABCD是矩形.7．菱形的性质：因为ABCD是菱形8．菱形的判定：四边形四边形ABCD是菱形.9．正方形的性质：因为ABCD是正方形〔1〕〔2〕〔3〕10．正方形的判定：四边形ABCD是正方形.(3)∵ABCD是矩形又∵AD=AB∴四边形ABCD是正方形例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：∠BAE=∠DCF.〔图1〔图1〕CABDEF∴∠ABE=∠CDF，AB=CD.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF.∴∠BAE=∠DCF.OABCDEOABCDEF〔图2〕证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC.又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO=∠CFO=90º.∵∠BOE=∠COF.∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.评注：此题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.ADBCEADBCEF(图3)MN〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕假设M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C.∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF.〔2〕解析：四边形MFNE是平行四边形.∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，BE=DF.又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=FN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠FBE.∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形.评注：此题是一道猜测型问题.先猜测结论，再证明其结论.图4ABCDEFO例图4ABCDEFO证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA.∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠EOA=∠FOC，EA=EC.∴△EOA≌△FOC.∴AE=CE.∴四边形AFCE是平行四边形.图5B图5BCDAEF∴四边形AFCE是菱形.例5如图5，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.〔1〕如果，那么△DEC≌△BFA〔请你填上一个能使结论成立的一个条件〕；〔2〕证明你的结论.解析：此题是一道条件开放型问题，答案不唯一.〔1〕①AE=CF；②OE=OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等.〔2〕①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠DCE=∠BAF.∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，即AF=CE.∴△DEC≌△BFA.例6如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点〔点E不与B、C两点重合〕，EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.〔1〕求证：四边形EFOG的周长等于2OB；〔2〕请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出、求证、不必证明.解析：〔1〕证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，图7B图7BADCOFEG又∵BC=CB，AB=DC，∴△ABC≌△DCB.∴∠ACB=∠DBC.又∵EG∥AC，∠ACB=∠GEB.∴∠DBC=∠GEB.∴EG=BG.∵EG∥OC，EF∥OG，∴四边形EGOF是平行四边形.∴OE=OF，EF=OG.∴四边形EGOF的周长=2〔OG＋GE〕=2〔OG＋GB〕=2OB.ABCD图6EGOF〔2〕ABCD图6EGOF求证：四边形EFOG的周长等于2OB注意：假设将矩形改为正方形，原结论成立吗？课堂练习：〔一〕精心选一选1.以下命题正确的选项是〔〕A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B.对角线相等的四边形一定是矩形C.两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2.平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,那么AC的取值范围为()A.6<AC<10；B.6<AC<16；C.10<AC<16；D.4<AC<163.两个全等的三角形〔不等边〕可拼成不同的平形四边形的个数是〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕44.延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，假设∠DAB＝120°，∠CFE＝135°，AB＝1，那么AC的长为〔〕〔A〕1〔B〕1.2〔C〕EQ\F(EQ\R(,3),2)〔D〕1.55．假设菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，那么BD的长是〔〕〔A〕1cm〔B〕2cm〔C〕3cm〔D〕4cm6.假设顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线()〔A〕互相垂直〔B〕相等〔C〕互相平分〔D〕互相垂直且相等7.如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5那么四边形AFDE的周长是 〔〕〔A〕5〔B〕10〔C〕15 〔D〕208.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，那么线段CN的长是〔〕．〔A〕3cm〔B〕4cm〔C〕5cm〔D〕6cm9.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC将梯形分成两个三角形，其中△ACD是周长为18cm的等边三角形，那么该梯形的中位线的长是()．(A)9cm(B)12cm(c)cm(D)18cm10.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，那么△ABE的周长为〔〕(A)4cm(B)6cm