利用导数比较大小或解不等式-高考数学练习（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）

专题5.4利用导数比较大小或解不等式

【知识梳理】...................................................................................1

【考点1：/(x)>g'(x)f/(X)=AXAg(X)I.................................................................................................................1

【考点2：xf(x)t∕ω-u∕ω]')................................................................................................................................3

【考点3：0，(x)√U)f号'1.................................................................6

[考点4，(X)侦x)f[e%x)]']..............................................................................................................................11

【考点5：/'(x)√(x)-[⅛1]']...................................................................................................................................12

【考点6：cosxfix)+f(ɪ)siɪu-*[f(ɪ)sinʌ],].................................................................................................................16

【知识梳理】

【方法技巧】

利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性

问题，再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数形式有：

(1)/'(%)>g'(x)fF(X)=/,(X)-g'(x)；

⑵√'(x)+/(Λ)∙→[V(X)]'；

⑶xf'(x)-f(x)-[/；，)]1;

(4)/'(x)+/(x)-[e'/(%)]'；

⑸f'(χ)-/(χ)f[，：：)]'；

⑹COSM'(x)+∕'(X)SinX>。-g(%)=/(x)sinx；(可推导其他与三角函数结合的形式的构造)

【考点1：∕'(x)>g'(x)fF(X)可X)-g(x)】

【知识点:∕'(x)>g'(X)-F(X)=ZlxAg(X)I

1.(2023•全国•高三专题练习)设函数/(x),g(x)在R上的导函数存在，且r(X)<g'(x),则当xw(α,b)时

()

A-f(x)<g(.χ)B-B(X)>g(.χ)

C./■(%)+g(α)<g(x)+/(α)D./(x)+g(b)<g(x)+f(b)

【答案】C

【分析】对于AB,利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD,构造函数∕ι(x)=f(x)-g(x),利用导数

与函数单调性的关系证得h(x)在R上单调递减，从而得以判断.

【详解】对于AB,不妨设f(x)=-2x,g{x)=1,则尸(X)=-2,g'(x)=0,满足题意,

若X=-I∈(α,b),则/^(x)=2>1=g(x),故A错误，

若X=0e(a,b),则/(x)=0<1=g(x),故B错误；

对于CD,因为/(x),g(x)在R上的导函数存在，且尸(x)<g'(x),

令∕ι(x)=/(χ)-g(x),则∕ι'(x)=f'(χ)-g'(x)<0,

所以九(X)在R上单调递减，

因为X∈(a,b),即α<X<b,所以∕ι(b)<∕ι(x)<∕ι(α),

由∕ι(x)<∕ι(α)得f(x)-g(x)<f(a)-g(α),则f(x)+g(α)<g(,x)+f(α),故C正确；

由∕ι(b)<h(x)得f(b)-g(b)</(x)-g(x),则/(x)+g(b)>g(x)+f(b'),故D错误.

故选：C.

2.(2020秋•江苏盐城•高三盐城中学校考阶段练习)已知定义在R上的函数〃%)的导函数为/(%),且对任

意X∈R都有尸(X)>2,/(1)=3,则不等式f(x)-2x-1>0的解集为

A.(―∞,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(―∞,0)

【答案】B

【分析】先构造函数g(x)=f(x)-2x-1,求导得到g(x)在R上单调递增，根据函数的单调性可求得不等

式的解集.

【详解】构造函数g(x)=/(X)-2x-l,∙.∙∕(1)=3,.∙.5(1)=/(1)-2x-l=0.

又任意X∈R都有尸(X)>2..∙.g'(x)=[(久)-2>0在R上恒成立.∙∙∙g(x)在R上单调递增当g(x)>g(l)

时，有x>l,即F(X)-2x-l>0的解集为{x>>l}.

【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键.

3.(2018春•重庆江津*高二重庆市江津中学校阶段练习)函数f(x)的定义域为R,/(-2)=2018,对任意

的x∈R,都有尸(X)<2x成立，则不等式/(x)</+2014的解集为

A.(-2,+∞)B.(2,2)C.(-∞,2)D.R

【答案】A

【详解】分析：根据题意，构造函数g(x)=/(X)-/-2014,对其求导可得函数g(x)在R上单调递减,

由/(-2)=2018可得g(-2)=/(-2)-(-2)2-2014=0,进而可以将不等式变形为g(x)<g(-2),结合

函数的单调性分析可得答案.

详解：根据题意，构造函数g(κ)=f(x)-*2-2014,

则g'(χ)=f'(,x)-2x<0,

二函数g(x)在R上单调递减，

又•••/(-2)=2018

.∙.g(-2)=f(-2)-(—2)2-2014=0

不等式f(x)<X2+2014可化为g(x)<g(-2),

.∙.X>—2,

即不等式f(x)<x2+2014的解集为(一2,+∞).

故选A.

点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，

再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，其一般步骤是：构造可导函数玲研究单调性或

最值好得出不等关系f整理得出结论.

4.(2023•全国•高三专题练习)设f(%)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数,且/'(x)g(x)-/(x)g'(x)<

0>则当α<x<b时有()

A.f(x)g(x)>f(b)g(b)B.f(%)g(b)>f(b)g(X)

C./(x)g(α)>∕(α)g(x)D./(x)g(x)>/(α)g(x)

【答案】B

【分析】构造函数F(X)=供，再根据/'出或》)-/0)9'(*)〈0可得尸'(乃<0,F(X)=供为减函数，再

根据单调性列出不等式判断即可.

【详解】设Fa)=傻，则F'(x)=Ig华？詈幺⑴,由r(X)g(x)-f(x)g口)<0得F(X)<0,因为α<x<

b所以怒又以x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，故f(x)g(b)>f(b)g(x).

故选：B

【点睛】本题为构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数单调性比较大小或解不等式典型考题，

属于中档题.

【考点2：xf,(x)+Λx)→[xΛx)l,1

【知识点:χf'(χ)+Λχ)→[χΛχ)l,]

1.(2015秋•宁夏银川•高三阶段练习)若函数J二「门在R上可导，且满足寸‘"恒成立，

常数α,b(a>b),则

下列不等式一定成立的是

A.af(a)>bf(b)b,√(⅛)>⅛<(α)

C.ΦrS)v⅞Λb)D∙4S)<⅛fS)

【答案】A

【详解】试题分析：令g(无)=x∕(x),二g'(X)=Xf'(x)+f(x)>0恒成立，二g(x)在R上单调递增.

∙.a>b,g(a)>g(b).BPα∕(α)>bf(b).故A正确.

考点：用导数研究函数的单调性.

2.(2017春•四川成都•高二校考期中)已知y=f(%)是定义在R上的偶函数,且当X6(-8,0),f(χ)+Xr(X)<

0成立"'(X)是函数f(x)的导数)，若a=#(Iog2鱼)，b=(Iπ2)∕(ln2),c=2/(-2),则a,b,c的大小关

系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】A

【分析】构造函数y=x∕(χ),由已知可得y=x∕(χ)在定义域上是奇函数在R上是减函数，再利用单调性可

得答案.

【详解】当x<0时,f[x}+xf'(x)<0,即[x∕(x)F<0,

令y=xfM，所以函数y=Xf(X)在区间(—8,0)上为减函数，

又/(无)在定义域上是偶函数，/(-x)=/(x).所以XeR时，-x∕(-x)=-xfM,

团函数y=x∕(x)在定义域上是奇函数，且在R上是减函数，

02>ln2>ln√2=i,

S!a>b>c.

故选：A.

3.(2023・全国•高二专题练习)设函数f(x)的定义域为R,尸(乃是其导函数,若3∕(x)+/(X)>O,/(O)=1,

则不等式/(X)>eTX的解集是()

A.(O,+∞)B.(l,+∞)C.(-∞,O)D.(0,1)

【答案】A

【解析】构造函数g(x)=e3'f(χ),求出d(X),利用条件知g'(x)>0,所以g(x)单调递增，将"x)>eTχ

转化为g(χ)>g(0),利用函数单调性即可得到答案.

【详解】令g(x)=e3xf(x),则g'(x)=3e3x∕(x)+e3xf'(x'),

因为3∕(x)+f'(x)>0,所以3e3jγ(χ)+e3Xr(X)>0,所以“(x)>0,

所以函数g(x)=e3"(χ)在R上单调递增，

而/(x)>e-3χ可化为e3χ∕(χ)>1,又g(0)=e3x0∕(0)=1

即g(x)>g(0),解得X>0,

所以不等式/^(x)>e-3χ的解集是(0,+8).

故选：A

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，注意构造函数的应用，

考查学生的分析转化能力，属于中档题.

4.(2018春•山西吕梁•高二校联考期末)设函数/(x)是定义在(-8,0)上的可导函数，其导函数为广(X),且

有2f(x)+x/(X)>/,则不等式(x+2018)2f(χ+2018)-4∕(-2)>0的解集为

A.(-∞,-2016)B.(-2018,0)

C.(-∞,-2020)D.(-2020,0)

【答案】C

【分析】根据题意，设g(X)=XIf(X),XV0,求出导数，分析可得g'(X)≤0,则函数g(x)在区间

(-8,0)上为减函数，结合函数g(X)的定义域分析可得：原不等式等价于f+2018<-2,解可得X的取

(x+2018<0

值范围，即可得答案.

【详解】根据题意，设g(%)=x2/(%),x<0,

其导数g'(%)=[x2f(x)],=2x∕(x)÷x2∕r(%)=%(2/(%)+%/'(%)),

又由2/(%)÷x∕*(x)>x2≥0,且％V0,

则g'(%)≤0,则函数g(x)在区间((・8,0)上为减函数，

2

(x+2018)f(x÷2018)-4/(-2)>0

22

0(x+2018)f(x+2018)>(-2)f(-2)ng(x+2018)>g(-2),

又由函数g(X)在区间(-∞,0)上为减函数,

fx+2018≤-2

则有lx+2018<0

解可得:x<-2020,

即不等式1+2018)27(%+2018)-4/(-2)>0的解集为(-8,-2020)；

故选：C.

【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意构造新函数g(%),并分析g(%)的单调性.

5.(2017秋•山东潍坊•高三寿光现代中学开学考试)己知定义在R上的奇函数f(x),设其导函数为/'(X),

当*∈(-8,0)时,恒有Xr(X)<f(-x),令F(X)=Xf(X),则满足F(3)>F(2x-l)的实数X的取值集合是

【答案】(-1,2)

【详解】构造函数F(X)=x∕(x),则口(X)=/(x)+xf'(x),由于/'(-x)=-/(x),因此x∕'(x)<f(-x)化

为:ʧ'(X)<—f(x),即Xf'(x)+/(x)<0,也即F'(x)=/(X)+xf'(X)<0,故当*∈(—8,0)时，函数/(X)=

Xf(X)是单调递减函数；XF(-x)=-x∕(-x)=xf(x)=F(x),故函数F(X)=Xfa)是偶函数，依据偶函数

的对称性可知函数F(X)=x∕(x)是(0,+8)上的单调递增函数，故不等式F(3)>F(2x-1)可化为|2久-1|<

3=>-l<x<2,应填答案(一1,2).

点睛：解答本题的关键是构造函数F(X)=X/(x),然后再研究并求函数的导数，确定其单调性，进而运用定

义断定其奇偶性是偶函数，最后再借助单调性将不等式F(3)>F(2x-1)进行等价转化为∣2x-1|<3=

-l<x<2,从而使得问题获解.

6.(2020春•河南南阳•高二南阳中学校考阶段练习)已知函数/(x)对任意的X∈R都有2019f(x)+f'(x)<

OJ(I)=e-2oi9,那么不等式f(χ)>e-2<H9χ的解集为.

【答案】(—8,1)

【分析】首先构造函数g(x)=f(x)e2oi9χ,根据g(χ)函数的单调性和特殊值解得答案.

【详解】构造函数g(x)=/(x)e2°i9χ,则g(χ)=2019∕(x)e2019z+∕,(x)e2019x<0

g(x)在R单调减，f(l)=e-2019=g(l)=1

/(x)>e-2019χ=>g(x)>1=g⑴

X<1

【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式的知识,根据等式特点熟练构造出函数是本题的关键.

【考点3：∙√'(x)√U)f隹4'】

【知识点：M''(χ)√U)-隹ɪ]'1

1.(2021春•重庆万州•高二校考阶段练习)函数f(X)是定义在(0,+8)上的可导函数，且满足/(X)>0,

x∕,(x)-/(x)<0,则对任意正数α,b,若α>b,则必有()

A.af(b)<ð/(ɑ)B.bf(a)<ɑ/(ð)

C.α∕(α)<∕(b)D.bf(b)<f(a)

【答案】B

【分析】构造函数g(x)=号(x>0),再根据题意分析g(x)的单调性，进而根据α>b求得不等式即可

(详解]设g(x)=e(％>0),则g'(x)=R/

因为X>0时，xf'(x)-f(x)<0,

所以X>0时，g,(x)<0,则函数g(x)=T在(0,+8)上是减函数；

所以对任意正数"，b,若a>b,则必有g(α)=等<g(b)=竿，即b∕(α)<α∕(b)

故选：B

【点睛】本题考查构造函数得出不等式的问题，需要根据所给的导数有关的不等式构造函数，再分析函数

的单调性得出结论，属于中档题

2.(2018秋•河北衡水•高二河北阜城中学校考期末)定义在R上的奇函数/Q)满足RI)=。，且当x>0时,

/■(X)>Xf(X),则下列关系式中成立的是()

A-4∕⅛)>/(2)B.4∕⅛)</(2)C.∕⅛)>4/⑵D./()⑵>0

【答案】A

【分析】构造函数g(x)=竽，利用已知判断单调性，由单调性可得.

【详解】记g(x)="

当.r>0时，/(x)>xf'(x),所以g'(x)=叨㈤<0,

即Qo时g(x)是减函数，

所以学>号,即：4/(》>〃2).故A正确，BC错误；

2

又f(-l)=0,f(x)为奇函数，所以g(l)=罕=一/(一1)=0

所以g(⅞)>g(I)=OM2)<g(D=o,所以上)>o,∕(2)<0,故D错误•

故选：A.

3.(2023・全国•高三专题练习)已知非负函数f(%)的导函数为/Q),且f(%)的定义域为(0,+8),若对于定

义域内的任意X,均满足f'(x)>竽，则下列式子中不一定正确的是()

A.八2)>2/■⑴B.f(3)>e∙f(2)

C∙/⑷>认3)D.∕∙(e)>2e√(∣)

【答案】B

【分析】根据题意可得xf'Q)>/(X)，构造函数g(x)=号，对其求导判断单调性，根据单调性即可判断

四个选项的正误，进而可得正确选项.

【详解】因为x>0,且f'(x)>竽,可得x∕'(x)>f(x),aPxf(x)-∕(x)>O,

令g(x)=号，则g'(χ)=B¾β⅛所以g'(χ)>0,

所以g(χ)=号在(0,+8)上单调递增，

对于选项A：由g⑵>g(l)可得攀>午，即/⑵>2/(1),故选项A正确；

对于选项B：由g(3)>g(2)可得号>号，即f(3)>∣f(2),得不出

/(3)>e∙/(2),故选项B不正确;

对于选项c：lilg(4)>9(3)可得竽>与,即/(4)>⅛(3),因为/(3)>0,所以J∕(3)>⅛(3),可得/(4)>

433ɔ6

》⑶,故选项C正确；

O

对于选项D：由g(e)>g(?)可得?>单，即f(e)>2efQ,故选项D正确；

2

所以不一定正确的是选项B,

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据已知条件构造函数g(x)=竽，并根据单调性比较大小.

4.(2019春•黑龙江鹤岗•高二鹤岗一中阶段练习)已知函数f(X)的定义域为(0,+8),尸(X)为/(χ)的导函数,

且满足xf'(x)>f(x),则不等式(X-I)/Q+1)>/(X2-1)的解集是.

【答案】(1,2)

【分析】由函数的定义域首先求出自变量X的取值范围,再由xf'(x)>∕∙(x),可以想到构造一个新函数，判

断新函数的单调性，然后对(X-l)∕(χ+1)>/(/-1)进行变形，得到两个函数值的大小关系，再根据单

调性，就可求出解集.

(

【详解】函数/(X)的定义域为(0,+8)所以有｛1t∖[J)成立，

解这个不等式组，解得X>l①.

因为xf'(x)>/(χ)所以χ∕'(χ)-/(X)>0,

而X>0可以得到且丹但>0这样可以构造一个新函数g(x)=哈

显然g'(χ)>0因此g(χ)是(0,+8)上的增函数.

由(％-Df(%+1)>/(x2-1)可得筌>哈2,

所以得到g(x+1)>g(x2-1)

g(χ)是(0,+8)上的增函数于是有x+l>∕-1

解这个不等式可得-1<X<2②

综合①②不等式(X-l)∕(χ+1)>/(χ2-1)的解集是(1,2)

【点睛】本题重点考查没有解析式函数的单调性问题，解决此类问题的关键是利用已知给出的结构构造一

个新的函数，利用新函数的单调性求解.本题容易忽略X>1,解决函数问题首先要遵循定义域优先原则.

5.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)在(0,+8)上的导函数为r(X),且对Xe(O,+8),/0)>平/0)

恒成立，则下列大小关系正确的是

A.3e4∕(2)>2e3∕(3)>/(6)B.3e4∕(2)>/(6)>2e3∕(3)

C./(6)>3e4∕(2)>2e3∕(3)D.f(6)>2e3∕(3)>3e4∕(2)

【答案】D

【解析】构造函数MX)=整，求导可得“(%)=空/界号咕，然后

判断MX)的单调性，进而利用单调性求解即可

【详解】构造函数MX)=瞿，对其求导可得/I'(x)=W(C”叫

整理得力’(无)=心与普丝由f'(χ)>燮/(x),知∕l'(x)>。在(0,+8)上恒成立，

从而函数∕ι(x)在(0,+8)上单调递增，故有∕l(2)<∕ι(3)<h(6),即曾<窖<翳

2e"3ei6et*

整理得3e4f(2)<2e3∕(3)<f(6).选D.

【点睛】本题考查构造函数，并利用构造函数的单调性进行求解，属于中档题

6.(2019春♦黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨三中阶段练习)已知偶函数/(x)的导函数为f'Q),且满足f(2)=0,

当”>0时，xf'(x)>2f(x),使得f(x)>O物的取值范围为

【答案】(一8,—2)U(2,+8)

【分析】利用题目中已知的不等式构造出［xf(x)］'或［竽］的不等式，从而找出新函数的单调性及零点，转

而求不等式.

【详解】根据题意，令g(x)=等,

”、_f'(x)∙χ2-f(X)O2)，_Xf(X)-2f(X)

9⑺一一，

又因为，当％>O时，x∕,(x)—2∕(x)>0,

所以函数g(x)在(0∙+8)为增函数，

又因为八2)=0,所以g(2)=号=0,

所以当Xe(2,+8)时，/(χ)>O,

又因为/(久)为偶函数，所以当X6(-8,-2)时，可得f(x)>O,

综上/(x)>O的解集为(-8,-2)U(2,+∞).

【点睛】本题考查构造函数解不等式，必须熟记［第］'和［x∕(x)］',重点利用以上两种函数构造新函数，从

而解出不等式.

7.(2019秋・安徽安庆•高三安徽省怀宁中学校考阶段练习)已知f'(x)是定义域为(0,+8)的函数f(χ)的导函

数，若χ2f'(χ)-%∕(χ)=Inx,且f(l)=一2,则

A-3/0)<2∕g)B-4/(3)>3/⑷

C.当％=1时，f(%)取得极小值一2D.当％>O时，/(x)+2x≥O

【答案】D

【分析】构造函数痣，结合已知条件，利用股的导函数(®)'求得/的单调区间，以及极小值，由此判

断出正确选项.

【详解】因为x>0,x2f'(x)-XfW=Inx,所以(号j=Xf亭⑴=詈.

当O<x<l时，(竽)'<0,T单调递减.

当”>1时，(号)'>0,号单调递增.

所以华■>学，等<华,BP3∕(i)>2∕g),4/(3)<3/(4),故A,B错误；

当X=I时，号取得极小值午=一2,所以当%>O时，号≥号=-2,即f(x)+2x≥0,故C错误，D

正确.

故选D.

【点睛】本小题主要考查构造函数法比较不等式的大小，考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查化

归与转化的数学思想方法，属于中档题.

【考点4：f'(x)+∕lx)→[e7Cx)]z1

【知识点：f'(x)+Λx)→[e^x)l,】

1.(2017•山西•校联考一模)定义在R上的函数/(x)与其导函数r(%)满足/(x)+f'(x)>eiτ,则下列不等

式一定成立的是()

A.f(O)+l<e/⑴B./(0)+1>e∕(l)C./(0)+e</(1)D./(0)+e>/(1)

【答案】A

【分析】根据f(x)+f'(x)〉e-x可考虑构造¢(X)=fMex-ex,进而可得f(0)+e<e∕(l),再结合选项

判断即可.

【详解】f(x)+f'(x)>e1-χQIfM+∕,(x)]ex-e>0=[f(x)ex—ex]z>0,令W(X)=/(x)ex—ex,

则以外为R上的增函数，

因此W(O)<勿(1),i½∕(0)<f(l)e-e,即/'(0)+e<e∕(l),从而/(0)+1<f(0)+e<ef(l)

故选：A

2.(2021•河南焦作•统考三模)已知函数/"(X)的定义域为(0,+8),其导函数为/(x),且满足f(x)>O,

/(x)+∕,(%)<0,若0<%1<1<%2，且=1•给出以下不等式：

①/(右)>e^-χ1∕∙(x2).

②XJ(X2)<%2/(%)；

(3)x1∕(x1)>X2Z(X2);

(4)∕(x2)>(I-X1)Z(X1).

其中正确的有.(填写所有正确的不等式的序号)

【答案】①②③

【分析】根据/(%)+尸(X)<。构造函数，再利用导数工具处理函数不等式问题.

【详解】设尸(%)=铲/(%),则F(X)=e"[∕'(X)+/(%)]V0,由此可得尸(%)单调递减,所以e*1f(%ι)>

χχ

e^∕(x2),BP∕(x1)>e2-χ∕(x2),故①正确；

因为f(x)>O/(x)+∕,(x)<0,所以尸(x)<0,所以f(x)单调递减,所以/(尤2)</(XI)<三/(X1)，所

xI

以XIf(X2)<⅞∕(χι)*故②正确；

xxιX

对于③,由①分析可知f(%ι)>e2^∕(x2),欲使％ιf(%ι)>X2/(2)»且%1%2=1，即/(%1)>×22f0⅛)

成立，只需满足J?-石>%22即可，即证小一三>21n%2(%2>1)，设m(x)=%—二一21nx,则m'(X)=1+

%2X

妥_：=肾萨>0,则nι(χ)单调递增，所以m(X2)>m⑴=0,故③正确；

j

对于④，假设/但)>(1一Xi)"/)成立，因为eVɑι)〉e^∕(x2),所以jWf(XI)>/(x2),所以产弋>

l-x1,取XI=｝则eW〉5所以<2,矛盾，故④不正确.

故答案为：①②③.

【点睛】关键点睛：本题的关键是通过构造函数并利用函数的单调分析不等式，根据/(X)+f'(x)<0,构

造F(X)=eV(x),是解决本题的关键.

【考点5：f'(x)√∙(x)f[%∣'1

【知识点：/'(χ)√lχ)一[吃1'1

1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)在x>0上可导且满足f'(x)-/(无)>0,则下列不等式一定成

立的为()

A."2)>e∕(3)B./■⑶<叭2)

C./⑶>ef⑵D./⑵<e∕(3)

【答案】C

【分析】构造函数g(x)=誉，讨论其单调性即可求解.

【详解】构造函数g(x)=等，

,/‘α"y(e")'=>0在X>0时恒成立，

"∖/(ex)zex

所以g(χ)=等在X>0时单调递增，

所以g(3)>g(2),即等>等，所以f(3)>ef(2),

故选：c.

2.(2023・全国•高三专题练习)已知定义域为R的函数/(%)的导函数为/(%),且尸(%)>/(%),若实数Q>0,

则下列不等式恒成立的是()

A.Qf(InQ)≥eα-1∕(α—1)B.af(∖na)≤eα-1∕(α—1)

C.eα"1∕(lnα)≥Of(Q—1)D.eɑ-ɪ/(lna)≤Of(Cl—1)

【答案】D

【分析】证明出当a>0时，ɪnɑ≤a-1,构造函数g(x)=等，利用导数分析函数g(x)的单调性，利用函

数g(x)的单调性可判断CD选项，构造函数Tn(X)=eV(x),结合导数法可判断AB选项.

【详解】构造函数h(x)=%—Inx-1,其中X>0,则∕ι'(X)=I-(=9.

当0VX<1时，h,(x)<0,此时函数∕ι(%)单调递减，

当%>1时，Λ,(x)>0,此时函数∕l(κ)单调递增，则∕l(%)min=九(I)=0，即InX≤%-l,

因为Q>0,则InQ≤a-1,

对于AB选项，构造函数Tn(X)=e'∕(x),该函数的定义域为R,

则n√(x)=e"[(x)+f(x)],无法确定m'(x)的符号，无法确定函数m(%)的单调性，

故a/(lna)与eaτ∕(Q-1)的大小无法确定；

对于CD选项，构造函数g(x)=4?,该函数的定义域为R,则g'(x)=止*>0,

所以，函数g(x)在R上单调递增，

则g(lna)≤g(a-l)，即誓≤等，

故e°τ∕(lna)≤a∕(a-1).

故选：D.

3.(2022・全国•高三专题练习)已知/(x)为R上的可导函数，且VASR,均有f(x)>∕'(x),则以下判断正确

的是()

A./(2021)>e2021∕(0)

B./(2021)<e2021∕(0)

C./(2021)=e2°21∕(0)

D./(2021)与e202i∕(0)的大小关系无法确定

【答案】B

【分析】设/1。)=等，求得∕ι'(X)<0,利用h(X)在R上单调递减，进而得到∕ι(2021)<∕ι(0),经过化筒可

得结论.

【详解】设函数/I(X)=等，

0∀x∈R,均有f(x)>f[x),

则〃(X)Ja)M5<o,

(θx)2

g)h(x)在R上单调递减，

0∕ι(2O21)<∕l(0),即鬻，

即f(2021)<e2021∕(0),

故选：B.

4.(2019秋•河南商丘•高三商丘市第一高级中学校考期中)已知f(x)是可导的函数,且/'(X)<∕(x)对于X∈R

恒成立，则()

A./(2019)>e2017(0),∕(l)<ef(O)B./(2019)>θ2019/(O)J(I)>e∕(0)

C./(2019)<e2019/(O)J(I)>e∕(0)D./(2019)<e2019∕(0)√(l)<e∕(0)

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=譬，求导得g'。)=^普，易知g(x)为R匕咸函数，从而可得g(2019)<g(0),

5(1)<9(0)，进而可得到f(2019)<e2017(0)J(l)<e∕(0).

【详解】由题意，令g(χ)=号，则g'(%)="窄一。=，

因为r(X)<f(x),所以对于XeR，g'(χ)=⑶<0恒成立,即函数g(χ)为R上减函数.

所以g(2019)<g(0),即仔翳<等，故f(2019)<e2019∕(0);

且g(D<g(O),即詈<翁，故/⑴<e∕(0).

故选：D.

【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.

5.(2022・全国•高三专题练习)已知/(x)为定义在(-8,+8)上的可导函数，且f(%)>r(X)对于XeR恒成

立(e为自然对数的底)，则()

A.e2°i9"(2020)>e202。"(2019)B.e2°i9.∕Q020)=e2°2。.”2019)

C.e2°i9∙/(2020)<e2020.f(2019)D.e2°i9.f(2020)与e?。?。∙/(2019)大小不确定

【答案】C

【解析】由题设条件可知，需构造函数g(x)=等，求导,得出g(x)在R上单调递减，经过运算变形，从而

推得结果.

【详解】由题意可知，f(X)-/'(X)>O对于XeR恒成立，且/(X)为定义在(—8,+8)上的可导函数，

回可构造函数g(x)=詈，在(-8,+8)上可导

团g'(x)=£*吟法/』=广㈤<O对于X∈R恒成立

2、(exy-ex

2]g(x)在R上单调递减

05(2019)>5(2020)

SI经过运算化简可知选C

故选：C

【点睛】本题考查了导数的运用，以及函数的构造，处理函数值的大小比较，要求学生对函数以及导函数

的相关性质与形式非常熟悉，才能形成构造函数的思维，对学生要求较高，为中等难度题型.小记，当/(X)+

∕,(x)>0,则可构造函数g(x)=e工■/(x).

6.(2020春•福建•高二福建省安溪第一中学校考阶段练习)已知力x)是可导的函数，且尸(X)勺U)对于Λ0R

恒成立，则()

A./(1)<e∕(0),∕(2014)>e2014∕(0)

B.f(l)>e∕(0)√(2014)>e2014∕(0)

C./(I)>e∕(0)√(2014)<e2014∕(0)

D./(1)<e∕(0),∕(2014)<e2014∕(0)

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=等，利用导数判断其单调性即可得出.

【详解】解：令g。)=晔，贝叼'(X)=立分#=3®<0,

eIe)c

Sl函数g(x)在R上单调递减.

∙∙∙g(D<g(0),g(20i4)<g(0).

Il∣j∕∙(l)/Wf(2014)/(0)

'l~~Γ'e2014~Γ,

化为f(l)<e∕(0)J(2014)<e2014∕(0).

故选：D.

【点睛】本题考查综合运用函数思想解题的能力，恰当构造函数g(x)=等，利用导数判断其单调性是解题

的关键.

【考点6：cosxf(x)+f,(x)sinχ-*[f(x)sinx]f]

(知识点：cosxf(x)+f,(X)SinXf[f(x)sinx]r]

π

1.(2016秋,重庆荣昌•高三统考期中)定义在(0,T)上的函数f(X),f(X)是它的导函数，且恒有f

(x)>f,(x)tanx成立，则

A√3f(ɪ)>√2f(ɪ)

f(1)>2f(ɪ)sinl

B.6

C(ɪ)<f(ɪ)

ME(-ɪ)<f(ɪ)

D.63

【答案】A

f(X)

【详解】试题分析：把给出的等式变形得到f'(x)sinx-f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数g(x)=SinX,

π

由其导函数的符号得到其在(o,ɪ)上为增函数，即可判断.

π

解：取团(0,2),0sinx>O,COSX>0,

由f(x)>f,(x)tanx,得f(x)cosx>f(x)sinx.

即F(×)sin×-f(×)COsx<0

f(X)

构造函数g(x)=SinX,

f'(x)sinx-f(x)COsx

2-

则g,(x)=SinX<0,

K

El函数g(x)在XSl(0,2),上单调递减，

f(ɪ)f(4)

—^―>—ɜ-

ππ

sirrsirr

0TT,

*