云南省曲靖某中学2022-2023学年高二年级下册学期期中考试数学试题

云南省曲靖天人高级中学2022-2023学年高二下学期期中

考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={0』,2},8="€川-2＜工＜3}，则4u8=（）

A.{0,1}B.乩2}C{0.1,2}D.{-1,0,1,2}

2.己知i为虚数单位，（i+i”=2,贝（)

A...B.i.C...D.

l+il-i-1+1-l-i

3.已知£=（x,i）,力=（_2,4），若小〉则'=（）

A.1B.2C.3D.4

4.若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（)

A.24种B.23种C.12种D.11种

5.在（五一2）5的展开式中，r的系数为（).

A.,B.5cD.10

-3J-10

6.函数y=bg,（2x-4）的定义域是（）

A・[2,+oo)B.⑵+②)C(f2]D.(-8,2)

7.2021年江苏省实行“3+1+2”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，物

理、历史两科中选择I科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方

案共有（）

A.6种B.12种C.18种D.24种

8.如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的

上底面边长为4（）cm，下底面边长为10cm，侧棱长为30cm，则该款粉碎机进物仓的容

积为（）

试卷第11页，共33页

A-860072cm3B-86006cm'C・1050072cm3D-10500V3cm3

二、多选题

9.下列各式正确的是（）

B.(cosx)=sinxC.(sinx)=cosx

10.已知函数/(x)=2sin(3x-马，则(

6

A.”刈的最大值是2B.”X）的最小正周期为工

3

C.在［0,%］上是增函数D.”刈的图像关于点（生,0）对称

_6.6

11.给定数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,则这组数据的（）

A.中位数为3B.方差为号

5

C.众数为3D.85%分位数为46

12.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个

球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意

的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱

的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为〃，若

试卷第21页，共33页

则()

A.y(x)的展开式中的常数项是56

B./(x)的展开式中的各项系数之和为0

C./(x)的展开式中的二项式系数最大值是70

D./(,)=76,其中i为虚数单位

三、填空题

13.函数/(的=1-2》在点(1,/(1))处的切线方程为.

14.若在等差数列｛%｝中，%=7,%=3,则通项公式/=.

15.在V/8C中，角4,8,C所对的边分别是a,6,c,并且a=l,/,=6，Z=30"，则0

的值为一.

16.已知/(x)的定乂域为(0,+8)，/'(x)为/'(X)的导函数，且满足/(x)<-，

则不等式/(》+1)>@_1)/卜2_1)的解集是------.

四、解答题

17.己知数列｛.J的前〃项和s“，且s,,=/+”；

(1)求它的通项

试卷第31页，共33页

(2)若a=2"-i,求数｛〃+/)｝的前”项和

18.已知V/8C中，角A、8、C的对边分别为“，b，c>若°sinB-Gbcos/=0.

(1)求角A的大小；

⑵若be=3,b+c=4,求。的值•

19.如图，在四棱锥5_/3。。中，SD1底面48cO，底面/8C0是正方形，且

SD=AD,E是弘的中点.

⑴求证：直线平面S/D：

(2)求直线SA与平面8EO的夹角的正弦值.

20.滕州市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名

学生，对他们每天平均学习时间进行统计.请根据下面的各班人数统计表和学习时间

的频率分布直方图解决下列问题：

年级人数

初一4

初二4

初三6

高一12

高二6

---

同二18

合计50

试卷第41页，共33页

+频率/组距

（1）抽查的50人中，每天平均学习时间为6〜8小时的人数有多少？

（2）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中.现采用分层抽样的

方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个

年级各抽取了多少名学生；

（3）在（2）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级

的概率.

21.已知椭圆c：片+片=过点“（2，°）,离心率为由.

a2b2'J2

（1）求椭圆c的方程；

（2）已知定点E（l,0），若直线夕=h-2（〃*0）与椭圆C相交于加、N两点，试判断

是否存在实数人使以加双为直径的圆过定点£?若存在求出这个/值，若不存在说明

理由.

22.设函数/'（x）=ae*eR•

（1）当a=l时,求/（x）的单调区间；

（2）当X£（0,+8）时，/（x）＞0恒成立，求。的取值范围；

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.c

【分析】求出8={0,1,2}，利用并集概念进行求解.

【详解】8={0,1,2}，故4U5={O,1,2卜

故选：C

2.B

【分析】利用复数的除法运算求解.

【详解】解：由（l+i”=2，

故选：B

3.B

【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求解.

【详解】由北行得代在皿国由"xH2,

故选：B.

4.B

【分析】根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案.

【详解】“word”一共有4个不同的字母，

这4个字母全排列有A：=24种方法，

其中正确的有1种，所以错误的有247=23种.

故选：B

5.C

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

答案第11页，共22页

【详解】(4-2『展开式的通项公式为：&|=^(4广(-2)'=(-2)七)4，

令三=2可得：-=1,则的系数为：(-2)'C；=(-2)x5=-10.

2

故选：C.

【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给

出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中〃和厂的

隐含条件，即“，，,均为非负整数，且〃4，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第

二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

6.B

【分析】根据对数的真数大于0,直接计算可得答案.

【详解】由已知得，2x@0,解得x>2，故xe(2,+8)-

故选：B

7.B

【分析】先求得物理、历史两科中选择1科的选法，再求得政治、地理、化学、生物四科中选择

2科的选法，根据乘法计数原理，即可求得答案.

【详解】由题意得：物理、历史两科中选择1科，有c；=2种选法，

政治、地理、化学、生物四科中选择2科，有盘=6种选法，

所以学生不同的选科方案共有2x6=12种.

故选：B

8.C

【分析】根据题意，结合棱台的体积计算公式，代入计算，即可得到结果.

答案第21页，共22页

画出满足题意的正四棱台/BCD-ZSGA，如图所示，则=40&,引？=10及・过点

0作DELBQi于点£,则Z)£=15&,Z)E=质芯质'=15a,所以该正四棱台的体

$J^r=1(402+102+10x40)xl5>/2=105005/2(cm3).

故选：C

9.CD

【分析】根据常函数，三角函数和塞函数的导数运算，逐一排除即可.

A万

【详解】解：对于，(sin?y=o,选项错误；

对于8,(cosxy=-sinx,选项错误；

对于C，(sinxy=cosx，选项正确；

对于。，(x"y=-5xY，选项正确；

故选：CD，

【点睛】本题考查导数的运算及基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题.

10.AC

【分析】对A,由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B,D根据正弦函数的周期与

答案第31页，共22页

对称中心公式，整体代入即可判断；对C,先求出/卜）的单调递增区间，即可判断.

7T

【详解】解：对A,・.・/（x）=2sin（3x-二），

6

故当sin(3x-王)=1时，/(x)max=2sin(3x-J)=2,故A正确;

66

对B,人力的最小正周期7=容=生，故B错误；

M3

对C,令---1-2kn43x---4—F2kn,kGz,

262

A«z12kn,,27r2攵乃,

解^得a：----1----«%4----1----，左£Z,

9393

故小）的单调递增区间沏卜尹等著+华

当上=°时，/（X）的一个单调递增区间为:712%

V

故在o,-上单调递增，故C正确;

6

对D,令3x—三=k兀、kQZ,

6

hTiZF1兀kjT.

解得：x------------1-------------,kwz,

183

故/卜）的对称中心为:7ik4_]

——+—,0，

183J

答案第41页，共22页

口口7C7Zk冗.

即一=一+—,kwz,

6183

解得：k=—^Z1

3

故C，0）不是‘（“）的对称中心，故D错误.

6

故选：AC.

11.AB

【分析】先将数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,按小到大的顺序排列,再逐项判断.

【详解】解:将数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,按小到大的顺序排列为：

1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,则这组数据的中位数为H=3,故A正确;

2

数据中2,3,出现的此时最多，所以众数为2和3,故C错误;

诋it-.拈>11+2X3+3X3+4+5X2.

平均数为：--------------------二3，

10

则方差为'[（1-3）2+（1-3）2+（2-3/X3+（3-3）2X3+（4-3）2+（5-3/X2]=|,故B正确:

第85%分位数是数据中至少有85%的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为

5,故D错误，

故选：AB

12.BC

【分析】设内切球的半径为〃，由圆柱和球的体积和表面积公式可求得见〃，进而得到

小）；

对于A,利用二项式定理得到展开式通项，令24—4厂=0可求得代入得到常数项，知A

错误;

答案第51页，共22页

对于B,采用赋值法，令丫_|可得各项系数和，知B正确：

对于C,由二项式系数性质知最大值为C：，知C正确；

对于D,根据复数的运算可知D错误.

【详解】设内切球的半径为厂，则圆柱的高为

71rl-2r3271rl+271r•2厂3m_i(.]V

••…"=廿=5,则”z3x+一9

丁

r243r

对于A,/(x)展开式通项公式为：T_Cx~

2r+l-5人

令24-4r=0,解得：厂=6,初串工展开式的常数项为㈠/《=28,A错误；

对于B,/0)=0,即/卜)展开式的各项系数之和为0,B正确；

对于C，展开式中二项式系数最大值为C：=70,C正确；

对于D，/()=)=(_/+炉=0,D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题以立体几何的知识为载体，重点考查了二项式定理的知识，解

题关键是能够利用球和圆柱的表面积及体积公式确定二项展开式的表达式.

13.x-y-2=0

【分析】由导数的几何意义即可求出切线斜率，即可求解切线方程.

【详解】因为〃X)=X3-2X，所以/”)=3x2-2,所以/，⑴=1

所以/⑴在点0J⑴)处的切线斜率为1，又/⑴=1-2=-1，

则在点0,/0))处的切线方程为

答案第61页，共22页

=，即x-y-2=0,

故答案为：x-y-2-0-

14--n+10

【分析】设等差数列的公差为d，然后根据已知条件列方程组可求出q,d，从而可求出

【详解】设等差数列｛对｝的公差为d，则

,+2"=7,解得!％=9,

]q+6d=3=T

所以4=a]=9-(/i-l)=-w+10»

故答案为：-〃+10

15.1或2

【分析】利用余弦定理列出关系式，将a,b及cos4代入方程中解出c验证即可・

【详解】在VN8C中，因为a=l,6=6，A=30°,

所以由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosAf

即：F=(6)+c2-2xcx>/3x^-<=>c2-3c+2=0(

解得：c=l或c=2

当c=l时，a=l«b=54=30°，C=30°>8=120°满足题意；

当c=2时，a=\,b=B4=30°，C=90"，8=60°满足题意；

故答案为：,7或

答案第71页，共22页

16.{x|x>2}

【详解】设g(x)=Rx),则g'(x)=W(x)]=/(x)+M'(x)<0,

函数g(x)在(0,+oo)上是减函数，

V/(x+1)>(x-l)/(x2-1),xe(0+oo),

.-.(x+l)/(x+l)>(x+l)(x-l)/(x2-l),

,-.(x+l)/(x+l)>(x2-l)/(x2-l)-

.-.g(x+l)>g(x2-l)，

X+1<—19

解得x>2・

故答案为{x|x)2卜

点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：/(x)+xr(x)>构造联X)；

2研工)+疗(》)，构造力(x)；

"'(x)-f(x),构造/(x)；

X

/'(x)—/(x),构造.；

/r(x)-/(x)，构造e"(x)•等等•

17.⑴4=eN")

(2)Tn="2+〃+2“一i£N*)

答案第81页，共22页

【分析】(1)运用an=Sn-Sn-1।求出％n;

(2)运用分组求和分别求出｛(｝和他｝的前n项和即可.

【详解】(1)S〃=,当〃=1时，4=5=2，

当〃22时,an—Sn-—2n»经验证，q=2泗足=2〃，

%=2〃(〃wN*)；

(2).•也=2"\”=1-2，

5

'bn2"T

，数列也“｝是以首项为1，2为公比的等比数列，

-'-Tn=(al+a2+---+an)+(bl+b2+---+b„)

=.+〃)+"片)

=+〃+2"-1；

综上，an=2/?GN*)>。=〃2+〃+2〃wN*),

18.(1)-；(2)

3

【分析】(1)由题设条件和正弦定理化简得到sin/_6cos/=0,进而求得A的大小;

jra

(2)由(1)知/=§,结合题设条件和余弦定理，即可求得的值•

【详解】(1)因为asinB-&bcos4=0，

由正弦定理可得sin4sin5-6sin5cos4=0'

答案第91页，共22页

因为8e（0,zr）,可得sinBxO，所以sin/-6cosZ=0，可得tanN=5

又因为/e（°，左）,所以力=?.

（2）由（1）知N=w，又由,,

2222

由余弦定理可得/=^+c-2hccosA=h+c-he=（b+c『-36c=16-3x3=7，

所以“="

19.⑴证明见解析：⑵近

3

【分析】0）证明S£>，结合4D/N5,即可证明直线比1_L平面S/。；

（2）以。为原点，分别以D4,OC，OS为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出相关向量,

求出平面2即的一个法向量，设直线”与平面3m所成角为。，利用向量的数量积求解

即可.

【详解】解：⑴：S£>_L底面488，

又；底面/8CD是正方形，，力。工/夕

ADcSD=D,4Du平面S4D,SZ）u平面S4>，

氏4_L平面SND.

（2）以。为原点，分别以。4,OC，DS为x，V，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

设A8=2，则Z（2,0,0），S（0,0,2），8（l,2,0），E（l,0,0），

:,工=（2,0,-2），丽=（2,2,0），怎=（1,0,1）•

答案第101页，共22页

设平面'功的法向量为£=(xj,z),

由（玩,竺=。得（x+z=o,令X=1

m~DB=O[x+y=O

则蔡=(1,一1,一1>

设直线制与平面BE。所成角为。,

贝ijco'：S限网=二：,胃=乎

\/时W3，

sin®=近，即直线"与平面'功的夹角的正弦值为逅.

33

【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求法，向量的数量积的运用，直线与平面垂直的

判定定理的应用，属于中档题.

20.(1)18人；(2)从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；(3)

15

【分析】(1)根据频率分布直方图，可求得学习时间为6〜8小时的频率，进而得学习时

间为6〜8小时的人数.

(2)根据分层抽样特征，即可确定在高中三个年级依次抽人数.

(3)设高一的2名学生为4,4高二的1名学生为8,高三的3名学生为q,a，C3.

利用列举法得所有可能，进而求得2名学生来自不同年级的概率.

【详解】(1)由直方图知，学习时间为6〜8小时的频率为

答案第111页，共22页

1-(0.02+2x0.12+0.06)x2=0.36，

学习时间为6〜8小时的人数为50x0.36=18（人）；

（2）由直方图可得，学习时间不少于6小时的学生有］8+i2+6=36人.

•••从中抽取6名学生的抽取比例为9=工，高中三个年级的人数分别为12、6、18,

366

从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；

（3）设高一的2名学生为4,4高二的1名学生为8,高三的3名学生为q，g，C」

则从6名学生中选取2人所有可能的情形有（4,4），（4,8），（4G），（4（2），（4,G）'

（4,8），（4，G），（4C），（8，G），（8C），（8，G），（£C），（GC）'

（c„c3）»共15种可能•

其中2名学生来自不同年级的有（4”），（4,G），（4,G），（4G），（4,8），（4,G），

（4C），（4，G），（8，G），（8，G），（8C），共11种情形，

故所求概率为p=U.

15

【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，分层抽样特征，列举法求古典概型概率

的应用，属于基础题.

217

21.（1）土+J=i；（2）存在，k=三.

416

答案第121页，共22页

a2=h2+c2a\b2C

C_yf5

【解析】（1）解方程组a-T即可得的值，进而可得椭圆的方程;

a=2

（2）设必），N区皿）联立直线^=去_2化/0）与椭圆的方程消元可得关于%的一元

二次方程，由韦达定理可得e+乙，芭工2用女表示且△〉0，解方程

西.丽=（石一1）（巧一1）+必％=0,若有解说明存在，否则说明不存在・

a2=b2+c2

£_走

【详解】（1）由题得可得

a2

a=2

解得/=4，〃=i，/=3,

「

所以椭圆9的方程为土2+贯=1.

4

（2