2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第15讲 幂函数及其性质5种题型 含解析

第15讲嘉函数及其性质5种题型

【考点分析】

考点一：幕函数的定义

一般地，y=x"(αeR)(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，基为因变量，指数为常数

的函数称为基函数.

暴函数的特征：同时满足一下三个条件才是幕函数

①尸的系数为1；②x"的底数是自变量；③指数为常数.

考点二：常见的幕函学发图像及性质:________________________________________________________

ɪ

23-1

函数y=χy=xʃ=Xy=x2y=x

ɪɪ­y

k

图象十

O~X

TVr

定义域RRR{x∣x>O}{x∣x≠0}

值域R{y∣y≥O}R(y∖y≥0}{yly≠0)

奇偶性奇ɪ奇非奇非偶奇

在(-∞,0)上

在(―∞,0)和

在R上单调递减，在R上在［O,÷∞)±

单调性(0,+8)上

单调递增在(0,+∞)上单调递增单调递增

单调递减

单调递增

公共点(1，1)

考点三：幕函数的单调性

在区间(O,+∞)上，当a>0时，y=x"是增函数；当α<0时，y=xtz是减函数.

【题型目录】

题型一：基函数的概念

题型二：基函数的三要素

题型三：累函数的性质

题型四：幕函数的图象

题型五：基函数的综合运用

【典型例题】

题型一幕函数的概念

【例1】(2020•全国高一课时练习)在函数y=4X，y=2x2,y=x2+x,y=l中，基函数

的个数为()

A.OB.1C.2D.3

【答案】B

【解析】)因为y=3=x",所以是幕函数；y=2/由于出现系数2,因此不是罂函数：・

X

y=∕+x是两项和的形式，不是幕函数：y=i=xli(χ≠0),可以看出，常数函数y=l的

图象比幕函数y=x°的图象多了一个点(0,1),所以常数函数)=1不是事函数.故选：B.

【例2】已知y=(俏2+2根_2).%%W+2〃-3是幕函数，求加、"的值.

3

【答案】m=-3,n=-

2

【解析】由幕函数的概念易得关于加、〃的方程组.

.2

m+2m-2=1,m=-3,

由题意得，加2-1/0,解得I3

2〃一3=0,I2

3

.・.根=一3,九=一即为所求.

2

【题型专练】

l.(2023•全国•高三专题练习)现有下列函数：①)，=Λ3；②y=忖J；③y=4χ2；④y=χ5+l；

⑤y=(x-lf;⑥y=x；⑦y=α*(α>l),其中幕函数的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据基函数的定义逐个辨析即可

【详解】塞函数满足y=χ∙形式，故y=V,y=χ满足条件，共2个

故选：B

2.(2022陕西高一期末)已知函数/(x)=(1-"-l)∕e∣(weZ)为幕函数，则/(2)=—,

【答案】8

【解析】由于函数/(x)=(∕-"-1)/-向(〃eZ)为基函数，则〃2-〃一1=1,即〃2-〃-2=0,

.n&Z,解得〃=一1或2，所以，/(x)=d,

因此，/(2)=23=8.

故答案为：8.

3.(2021年广东潮州)已知>=(苏+2,"-2)x"'一+2〃-3是基函数，求他，〃的值.

【答案】见解析

2

【解析】由题意得(fnz1+=2∕n。-，2=1,

∕n=-3,m=L

解得｛3或＜3

"=5n=2'

3

所以加=-3或1,〃=］.

题型二：第函数的三要素

【例1】(2021・陕西・西安市第三中学高一期中)幕函数y=/中〃的取值集合C是

［-1,0,；,1,2,3)的子集，当幕函数的值域与定义域相同时，集合C为()

A.'L0,g}B.jy,l,2∣C.\l,g,3∣∙D.∣pl,2,3∣

【答案】C

【分析】分别求出各幕函数的定义域和值域，得到答案.

【详解】当α=T时，>定义域和值域均为(y>,0)U(0,w),符合题意；

4=0时，y=χ。定义域为(-∞,0)U(0,4w),值域为{1},故不合题意；

时，y=√7定义域为［0,+∞),值域为［0,+e),符合题意；

α=l时，V=X定义域与值域均为R,符合题意；

“=2时，y=f定义域为R,值域为［0,+s),不符合题意；

。=3时，y=d定义域与值域均为R,符合题意.

故选：C

【例2】(2022.重庆南开中学高三阶段练习)已知第函数y=(∕-3m+3)x'j-3的图象不过

原点，则实数加的取值可以为()

A.5B.1C.2D.4

【答案】BC

【分析】由事函数的系数为1，列方程求出实数m的值，并检验函数的图象是否过原点，得

出答案.

【详解】令???-3m+3=l,解得机=1或"?=2,

当机=1时，y=χ7图象不过原点，成立；

当加=2时，y=”图象不过原点，成立；

故选：BC

【题型专练】

1.(2022・河南•济源市基础教育教学研究室高二期末(文))若函数/(x)是基函数，满足

/(4)=8/(2),则/(1)+∕[]J=.

【答案】W

27

【分析】利用幕函数定义设F(X)=Xα,由f(4)=8f(2),求解α=3,从而得F(X)的解析式,

即可求值.

【详解】解：函数/(x)是幕函数,设洋X)=X"

又/(4)=8/(2),所以4"=8*2",即22"=25÷",所以"=3+α,得α=3

所以/(X)=√,则/⑴+f(£|=/+]j=Ii.

OQ

故答案为：—.

2.(2022•全国•高一专题练习)已知事函数f(x)的图象经过点(2,孝)，则/(4)的值为一.

【答案】T##0.5

【分析】由基函数所过的点求/(x)解析式，进而求/(4)的函数值.

【详解】累函数/(%)=%过点2,w,

I7

"⑵=2"邛,解得α=-g,

.∙."x)=χT,故/(4)=g∙

故答案为：ɪ

3.设α∈{-Ll,g,3},则使函数y=y的定义域为R的所有ɑ的值为()

A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3

【答案】A

【解析】当a=T时，函数)=方的定义域为{χ∣χχo},不是R,所以a=—1不成立；

当a=g时，函数)，=£的定义域为{x∣x≥0},不是凡所以a=；不成立：

当。=1或a=3时，满足函数y=F的定义域为H,故选：A.

题型三：幕函数的性质

【例1】(2023•全国•高三专题)幕函数f(x)=(疗-加-l)x"'"n^3在尤€(0,+00)上是减函

数，则m—()

A.-1B.2C.-1或2D.1

【答案】A

【分析】根据嘉函数的定义，令〃产-〃=求出〃?的值，再判断m是否满足幕函数在

尤∈(0,+00)上为减函数即可.

【详解】•.•基函数〃*)=(裙-，〃-1)/+*3,."2-〃l］=1,

解得m=2,或加=-1；又x∈(0,+∞)时/(x)为减函数，

・二当机=2时，m2+m-3=3,累函数为y=/,不满足题意；

当/〃=-I时，m2^∙m-3=-3,累函数为y=x",满足题意；

综上，m=-↑.

故选：A.

【例2】(2022•山东德州,高二期末)基函数/(χ)=(∕+m-S)?"*"T在区间(0,÷∞)上单调

递增，则/(3)=()

A.27B.9C.ɪD.ɪ

【答案】A

【分析】根据基函数的概念及性质，求得实数机的值，得到幕函数的解析式，即可求解.

【详解】由题意,令W+l-5=1,即"/+"2-6=0,解得〃z=2或m=-3,

当〃?=2时，可得函数/W=/,此时函数在(O,+8)I二单调递增，符合题意；

⅛m=-3H>J',可得/J)=/,此时函数F(X)在(0,一)上单调递减，不符合题意，

即塞函数/(x)=V,则/(3)=27.

故选：A.

【例3】(2022•全国•高一课时练习)已知累函数/(x)的图象经过点(9,3),贝IJ()

A.函数/(x)为增函数B.函数/(x)为偶函数

C.当x≥4时，/(x)>2D.当马>%>0时，/(占)；/(七)</(土产)

【答案】ACD

【分析】设幕函数f(x)的解析式，代入点(9,3),求得函数/(x)的解析式，根据整函数的单

调性可判断A、C项，根据函数/(x)的定义域可判断B项，结合函数八幻的解析式，利用

平方差证明不等式)(*)；/(*)<土产)可判断D项.

【详解】解：设累函数/(力=F，则/(9)=9“=3,解得α=g,所以〃力=)，

所以/(x)的定义域为［0,+8),/(x)在［0,+∞)上单调递增，故A正确，

因为〃X)的定义域不关于原点对称，所以函数“X)不是偶函数，故B错误,

当x≥4时，/(χ)≥f(4)=4,=2，故C正确,

当%>占>0时，

/(xj+y~(xjxl+X2+2y]xix2_X1+X2_2y∣xlx2-xi-X2

~~~4~

2

又"x)N0,所以〃气)；〃尤2)</⅛),D正确.

故选：ACD.

【例4】(2021•重庆巴蜀中学高一期末)己知基函数在其定义域内不

单调，则实数机=()

22

A.—B.1C.-D.—1

33

【答案】A

【解析】由基函数定义，3»r-W-I=I.

22

解得：帆=-§或m=l,又f(x)在定义域内不单调，所以机=-§,故选：A.

【例5】(2021.四川高一期末)若幕函数/(X)=∕62°+3("RPeZ)在(0,”)上是增函数,

且在定义域上是偶函数，则P+4=()

A.0B.ɪC.2D.3

【答案】C

【解析】因为"I='爪2"3ge氏PWZ)是黑函数,所以夕=1；

又/(X)=/六2内3(pe%)在(0,+8)上是增函数，

所以-p?+2p+3>0,解得T<0<3,因为peZ,

所以P=O或1或2,

当P=O时，/(x)=x3,因为/(r)=(-χ)3=T3=—/(χ),所以/(x)=*'是奇函数，不满

足题意，舍去；

当P=I时，/(X)=X4,因为〃T)=(T)4=/="χ),所以/(χ)=d是偶函数，满足题

--Λ⅛∙

忠J；

当p=2时，/(x)=d是奇函数，不满足题意，舍去；

故p=l,所以p+4=2.故选：C.

【题型专练】

1.(2022河南・高二期末(文))若基函数/(刈=(病+加一5卜"1在(0,+8)上单调递减，则〃?=

()

A.-3或2B.2C.-3D.-2

【答案】C

【分析】根据寻函数的定义以及其在(0,+8)上单调递减，列出方程以及不等式，即可求得

答案.

加+5=1

【详解】由题意可得JC,解得小=一3,

m-∖<0

故：c.

2.(2022.浙江・台州市书生中学高二学业考试)已知累函数/(x)=(m-1)2--4，"2在(0,+8)上

单调递增，则机=()

A.0B.—C.0或—D.0或—

336

【答案】A

【分析】由题意可得(〃-I)、1且加2—4加+2>0,从而可求出旭的值

【详解】因为辕函数"x)=(,”1)2/72在(0,+⑹上单调递增，

所以(ZM-I)2=1且加2-4〃?+2>O>

解得彼=O

故选：A

3.(2022•全国・高一)己知事函数y=∕(x)的图象过点(2,乎)，则下列关于/")说法正确的

是()

A.奇函数B.偶函数

C.在(0,+8)单调递减D.定义域为0+8)

【答案】C

【分析】设累函数的解析式，根据图象的点求得解析式，由其定义域可判断D,继而判断A,B,

由其单调性判断C.

【详解】设基函数y=f(X)=Xa,aeR,

由题意得：2"=XZ,α=-3,

42

-ɪI

故V=F(X)=X2=百，定义域为(0,+8),故D错误；

定义域不关于原点对称，y=∕(χ)为非奇非偶函数，A,B错误：

由于-∣<o,故>=〃x)=χV在在(O,+∞)单调递减，C正确，

故选：c

4.(2022・全国•高一专题练习)己知累函数"x)=j∕*-3(peN*)的图像关于y轴对称，且

在(0,+8)上是减函数，实数“满足一炉<(3Q+3族，则。的取值范围是.

【答案】l<a<4

【分析】根据幕函数的性质求出P的值，根据基函数的单调性得到关于。的不等式解出即可.

【详解】:幕函数/(X)=xp2-2p^3("eN*)在(0,+8)上是减函数，

Λp2-2p-3<0,解得一l<p<3,

p∈N',〃=1或2∙

当P=I时，/(χ)=κ4为偶函数满足条件，

当p=2时，/(力=/为奇函数不满足条件，

22,

则不等式等价为(i7-1)3<(34+3户，即(a-l)ɜ<(3α+3>

,∙∕(x)=x⅛r上为增函数，

.∙.a2—}<3a+3解得：∖<a<4.

故答案为：l<a<4.

5.(2022∙辽宁丹东.高一期末)写出一个具有性质①②③的函数/(力=.

①/(X)定义域为{x∣XW0};②/(x)在(e,0)单调递增；③/(")"(α)∙y(b).

【答案】4(答案不唯一)

X

【分析】根据函数的定义域、单调性、运算求得符合题意的函数/(x).

【详解】"x)=g的定义域为{χ∣χ≠o},在区间(-8,0)递增，

且/(H)=7⅛=!∕="")∙∕e),

[ab)a”

所以/(x)=4■符合题意.

故答案为：4-(答案不唯一)

X

题型四：幕函数的图象

【例1】(2022.全国•高一专题练习)幕函数y=χ",y=f,y=χ<,y=/在第一象限的图像

如图所小，则4,b,c,1的大小关系是()

A.a>b>c>dB.d>b>c>aC.d>c>b>aD.b>c>d>a

【答案】D

【分析】根据幕函数的性质，在第一象限内，X=I的右侧部分的图像，图像由下至上，幕

指数增大，即可判断；

【详解】根据幕函数的性质，

在第一象限内，x=l的右侧部分的图像，图像由下至上，基指数增大，

所以由图像得：b>c>d>a,

故选：D

【例2】(2021•北京八十中高三阶段练习)已知幕函数/(x)的图象为曲线C,有下列四个性

质：

①/(x)为偶函数；

②曲线C不过原点

③曲线C在第一象限呈上升趋势；

④当x≥l时,/(χ)>l.

写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数F(X).

【答案】/(χ)=χ2

【分析】根据幕函数的性质可得函数只能同时满足性质①③④，可取F(X)=X2,证明即可.

【详解】解：设幕函数的解析式为/(χ)=X",

若曲线C不过原点。，则e<0,

此时函数"χ)在(0,+⑹，故②不成立，

则当XNI时，/(x)≤∕(l)=l,故③不成立，

所以幕函数不能满足②性质，

不妨取/（x）=f,

函数/（χ）=χ2为偶函数，曲线C在第一象限呈上升趋势，当XNi时，/（Λ）≥1,

所以事函数/（X）=χ2满足性质①③④.

故答案为："X）=V（答案不唯一）

【例3】（2022•全国•高一专题练习）如图所示是函数y=请（也、〃∈N*且互质）的图象,则（

A.相、”是奇数且巴＜1B.加是偶数，”是奇数，且‘＞1

nn

C.加是偶数，〃是奇数，且巴＜1D.孙〃是偶数，且竺＞1

nn

【答案】C

【分析】根据‘暴函数的性质及图象判断即可;

【详解】解：函数y=J=07的图象关于y轴对称，故〃为奇数，，〃为偶数,

在第一象限内，函数是凸函数，故％＜ι,

n

故选：C.

【题型专练】

1.（2022•全国•高一课时练习）图中G，C2,G分别为累函数y=X"',y=χ"2,y=χ%在

第一象限内的图象，则α∣,a2,a3依次可以是（）

A.-ɪ-,3,-1B.-1,3,ɪC.y>—1,3D.—1,ɪ,3

【答案】D

【分析】根据幕函数的图象，结合寻函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.

【详解】由题图知：α∣<0,O<α2<ɪ.α3>l,

所以α∣,aZ,%依次可以是-1，3.

故选：D

2.（2021・上海高一期末）幕函数y=x，及直线y=χ,y=l,χ=l将直角坐标系第一象限分成

八个“卦限：LlLInN,V,VLVII,VHI（如图所示），那么，而函数V-XT的图象在第一

A.IV,VITB.IV,VIIIC.ɪɪɪ,VIIID.∏I,VII

【答案】B

【解析】对于幕函数V=/；，因为-2<0，所以V=XT在第一象限单调递减，

根据基函数的性质可知：在直线χ=ι的左侧，黑函数的指数越大越接近y轴，

因为-g>-ι,所以y=χT的图象比y=χT的图象更接近y轴，所以进过第IV卦限，

在直线X=I的右侧，基函数的指数越小越接近无轴，因为-1<-；<0，

所以y=χT的图象位于y=χT和y=l之间，所以经过Vin卦限，

所有函数y=j3的图象在第一象限中经过的''卦限”是IV,VΠI,

故选：B

3.（2021・上海高一期末）在同一直角坐标系中，二次函数y=幺2+"与鼎函数》=.（χ>0）

图像的关系可能为（）

【答案】A

［解析】对于A,二次函数y=cvc2+bxTiD向上，则a>0,其对称轴x=-?>O,则2<O,

2aa

b

即基函数y=R(χ>0)为减函数，符合题意；

对于B,二次函数y=G+公开口向下，则“<o,其对称轴X=一3>0,则2<o,即第

2aa

b

函数y=∕(χ>O)为减函数，不符合题意；

对于C,二次函数公开口向匕则α>0,其对称轴X=-"—=-1»则2=2,即哥

Iaa

b

函数y=R(χ>O)为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；

对于D,二次函数y=0χ2+fex开口向下，则"0,其对称轴工=一二>—工，则0<e<l,

2a2a

b

即幕函数y=∕(χ>O)为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；

故选：A

题型五：累函数的综合运用

【例1】(2021•湖南高一月考)已知事函数"X)=W+4吁4)xm+∣在区间(0,+?)上单调递

增.

(1)求"χ)的解析式；

(2)用定义法证明函数g(x)=/(x)+巴W"在区间(0.2)上单调递减.

【答案】(1)/(x)=x2;(2)证明见解析.

【解析】(1)解：由题可知：m2+4"7-4=l>解得/M=I或∕n=-5.

若m=l,则/U)=/在区间(0,+?)上单调递增，符合条件；

若，”=-5,则/(x)=XY在区间(0,+?)上单调递减，不符合条件.

⅛∕(x)=x2.

(2)证明：由(1)可知，^(x)=x2+-.

XΛ

任取斗，Λ2e(0,2),且∣<2,

则g(xj-g(x2)=x；+--xl--=(xl-x2)(xl+x2)---

-Akjʌ"]*^2

因为0<x∣<2,

16,

所以Xl-X2<0，%+々<4,一二>4,

-

所以(XI-X2)(玉+彳2)-->0,

Lxix2.

即g(xl)>>g(¾),故g(x)在区间(0,2)上单调递减.

【例2】(2022上海市大同中学高一期中)已知幕函数y=∕(x)经过点(4,").

(1)求此嘉函数的表达式和定义域；

⑵若/(α+2)<∕(3-20,求实数〃的取值范围.

【答案】(1)"X)=去，定义域为(。,+孙(2)(；,£).

【分析】(1)设/(x)=x'",由"4)=J,求出“，的值，可得出函数/(x)的解析式，进一步

O

可求得该函数的定义域；

(2)分析可知函数/(χ)是定义在(0,y)上的减函数，根据所求不等式可得出关于实数。的

不等式组，由此可解得实数。的取值范围.

1Q

(1)解：设/(x)=x'",则/(4)=4"'=2?”'=g,可得2加=—3,解得相=一^，

o2

,2I,、，、

所以，"x)=χ2=7j,由χ3>()可得χ>0,所以，函数“X)的定义域为(0,+8).

⑵解：由‘幕函数的性质可知，函数f(χ)的定义域为(0,+8),且在定义域上为减函数，

/、/、[a+2>3-2aɪ3

由〃α+2)<∕(3-24)可得，可得

13—ZCl>UɔZ

【题型专练】

1.(2021•福建仙游一中高一开学考试)若基函数/3=(2"/+帆-2)/源在其定义域上是增函

数.

(1)求/(X)的解析式；

(2)若f(2-a)<∕(∕-4),求。的取值范围.

【答案】(1)f(X)=X3；(2){1∣α>2或α<-3}.

3

【解析】(1)因为/(x)=(2"P+吁2*向是幕函数，所以2/+m_2=1,解得根=-∙∣或机=1,

又/(X)是增函数，2m+l>0即m>-g,.∙.w