湖南明德中学2024届高二年级上册数学期末经典模拟试题含解析

湖南明德中学2024届高二上数学期末经典模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设aeR,则"a=l"是"直线h：ax+2y—1=0与直线L：x+(a+l)y+4=0平行”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为机，n,记/=m+",则下列说法正确的是()

A.事件“t=12”的概率为—B.事件“f是奇数”与“m=n”互为对立事件

21

C.事件“t=2”与“t丰3”互为互斥事件D.事件“f>8且〃加<32”的概率为-

4

3.已知抛物线C:/=i2x的焦点为尸，直线/经过点尸交抛物线C于A,B两点,交抛物浅C的准线于点P,若

PB=2BF'则/|为。

A.2B.3

C.4D.6

4.已知A5c三个观测点，A在5的正北方向，相距2(M0m,。在3的正东方向，相距1360m.在某次爆炸点定位

测试中，A3两个观测点同时听到爆炸声，。观测点晚2s听到，已知声速为340m/s,则爆炸点与C观测点的距离

是()

A.680mB.1020m

C.1360mD.1700m

5.等差数列｛4｝的前〃项和S“，若％=2,S3=12,则4=

A.8B.10

C.12D.14

6.与空间向量&=(1,2,—3)共线的一个向量的坐标是()

A.(2,-l,0)B.(l,2,3)

D.(-1,-3,2)

22

7.若双曲线L+2L=i的一个焦点为（―2,0）,则加的值为（）

3m

A.-V7B.-1

C.lD."

8.在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测

点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为

（）

A.20B.14

C.12D.6

9.已知点42,3）,3（-3,-2）,若直线/过点P（3,l）且与线段A3相交，则直线/的斜率左的取值范围是（）

A.A;>—或左<-2B.-2<k<—

22

D.k<-

一2

10.数列《，旦,正，匹工，—,…中，有序实数对（羽丁）是（

）

24x+y1632''

A]9:B.（7,0）

C.（8,l）D.（15,8）

11.某学校的校车在早上6：30,6：45,7：00到达某站点，小明在早上6：40至7：10之间到达站点，且到达的时

刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是（）

12.以椭圆二十^=1的焦点为顶点，

以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是。

34

22

A.----)2=1B.y2——=1

3-3

2222

C.土-匕=1D.匕-土=1

6226

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知〃=(一1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若。=%Z?+〃c,则—=.

14.如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落

入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为

■

15.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，

后人称这条直线为欧拉线，已知ABC的顶点4(-2,0)、3(2,4),其欧拉线的方程为x-y=0,则ABC的外接

圆方程为.

16.已知函数y=/(x)的图像在点M(l,/(1))处的切线方程是y=gx+2,则/(1)+尸(1)=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)甲、乙等6个班级参加学校组织广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序(序号为1,

2,...»6),求：

(1)甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；

(2)甲、乙两班级之间的演出班级(不含甲乙)个数X的分布列与期望

18.(12分)已知圆C:/+y2—2x-4_y-3=0,直线]:〃ir-y+l-2〃z=0(〃zeR)

(1)证明直线/与圆C一定有两个交点；

(2)求直线与圆相交的最短弦长，并求对应弦长最短时的直线方程

19.(12分)已知抛物线的顶点是坐标原点。，焦点R在x轴的正半轴上，。是抛物线上的点，点。到焦点R的距离

为1,且到y轴的距离是g

8

(1)求抛物线的标准方程；

(2)假设直线/通过点M(3,1),与抛物线相交于A,6两点，且Q4LQB,求直线/的方程

20.(12分)已知等差数列｛4,｝的前”项和为S,,若公差dwO,§4=14且%,血，％成等比数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求数列的前”项和

[anan+iJ

21.（12分）在平面直角坐标系x0y中，已知点（l,e）在椭圆E：=+与=1（。〉6〉0）上，其中e为椭圆E的离心率

a~b

（1）求6的值；

⑵A,5分别为椭圆E的左右顶点，过点Q（-d。）的直线,与椭圆E相交于M,N两点，直线。。与8M交于点7,

求证：AT//BN

22.（10分）2017年厦门金砖会晤期间产生碳排放3095吨.2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红

树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，

环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神

据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%,2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019

年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m（m>0）吨.2018年起，红树林的年碳吸收

量依次记体,a2,a3,...

（1）①写出一个递推公式，表示+i与4之间的关系；

②证明：｛4+50加｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；

（2）为了提前5年实现厦门会晤“零碳排放”的目标，，"的最小值为多少？

参考数据：1.0214al.32,1.0215^1.35，1.0216«1.37

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】运用两直线平行的充要条件得出h与b平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可

解：V当a=l时,直线h；x+2y-1=0与直线h:x+2y+4=0,

两条直线的斜率都是截距不相等，得到两条直线平行，

故前者是后者的充分条件，

•.,当两条直线平行时，得到点」;•卢二上，

1a+r4

解得a=-2,a=l,

...后者不能推出前者，

前者是后者的充分不必要条件

故选A

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系

2、D

【解析】计算出事件”=12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计

算出事件，，/>8且,“<32”的概率可判断D；

【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，

所得向上的点数分别为昨n,则共有6x6=36个基本事件，

记t=m-\-n,

则事件”=12”必须两次都掷出6点，则事件”=12”的概率为二，故A错误；

36

事件“f是奇数”与“加=，产为互斥不对立事件,如事件机=3,n=5,故B错误；

事件“f=2”与“#3”不是互斥事件，故C错误；

事件”>8且根〃V32”有

m=3\m=4\m=4\m=5\m=5m-5[my=36'[\“m=46'1\”m=56共9个基本事件,

,V,V<

n—61〃=5\n—6[〃=4[〃=5n=6

故事件“f>8且而〃<32”的概率为工，故D正确;

4

故选：D

3、C

【解析】由题意可知设P（-3,力），3（演,力）由PB=2BF可得，（4+3,%一%）=2（3-4，一力），可求得

xB=l,yB=±26，根据模长公式计算即可得出结果.

【详解】由题意可知/（3,0）,准线方程为x=—3,设/-3,%）,3（乙,力）

=尸可知，

(乙+3,yB-yp)=2(3-xB,-yB),

4+3=2(3—4),解得：/=1,代入到抛物线方程可得：yB=+2y/3.

|BF|=V4+12=4,

故选:c

4、D

【解析】根据题意作出示意图，然后结合余弦定理解三角形即可求出结果.

【详解】设爆炸点为。，由于A,3两个观测点同时听到爆炸声，则点。位于A3的垂直平分线上，又。在3的正东

方向且。观测点晚2s听到，则点。位于A3的左侧，AB=2040m,BC=1360m,OC-OB=340x2=680m,

设OB=xm,

(兀、X2+13602-(X+680)-V%-10202

则cosNOBC=cosZOBA+-=-sinZOBA=--------------'--------乙=——匕上-，

I2)2%1360x

解得％=1020,则爆炸点与C观测点的距离为1020+680=1700m,

故选：D.

5、C

【解析】假设公差为d,依题意可得3义2+；x3x2d=12,d=2.所以%,=2+(6—1)义2=12.故选C.

考点：等差数列的性质.

6、C

【解析】根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果.

【详解】1-=-

故选：C.

7、B

【解析】由题意可知双曲线的焦点在X轴，从而可得。2=3,后=_〃[,再列方程可求得结果

22

【详解】因为双曲线L+匕=1的一个焦点为(—2,0),

3m

所以=3,b?=—m,c=2,

所以3+(—加)=4,解得力=—1,

故选：B

8、B

【解析】分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；

【详解】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有国=2种；

（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸

检测点，则有娘=12种，综上可得一共有2+12=14种安排方法，

故选：B

9、B

【解析】直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果

【详解】解：直线/过点P（3,l）且斜率为左，与连接两点42,3）,3（-3,-2）的线段有公共点,

,r.-3—1_2+11

由图，可知Z”=丁==-2，kBP=---=-,

当一24左《工时，直线/与线段AB有交点

2

【解析】根据数列的概念，找到其中的规律即可求解.

【详解】由数列£V3逐y]x-y3

4%+y'1632

一mV2xl-112x2—172x3-172x4-1」2x5—1

周知----;---，-----5---，-----z-------f-----------9------«----

2122232425

15

x+y=8

则解得

x-y=r7

故选：A

11、B

【解析】求出小明等车时间不超过5分钟能乘上车的时长，即可计算出概率.

【详解】6:40至7：10共30分钟,

小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，

共10分钟，所以所求概率为P=2=(

故选：B

12、B

【解析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的用b,c,再求双曲线的标准方

程.

【详解】•••椭圆的方程为《+2=1,

34

.•.椭圆的长轴端点坐标为(0,2),(0,-2),焦点坐标为(0,1),(0,-1),

・••双曲线的焦点在y轴上，且。=1,c=2,

/.b2=3,

2

双曲线方程为V—t=1，

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-3

【解析】根据题意，由向量坐标表示，列出方程，求出X,〃，即可得出结果.

【详解】因为。=(—□),^=(2,-1),。=(1,2),

—1=22+〃5X右

若。=肪+,贝叫解得[,所以一=—3.

产[1=-2+2//

故答案为：-3.

【点睛】本题主要考查由向量坐标表示求参数，属于基础题型.

14、9

【解析】先根据点数求解概率，再结合几何概型求解黑色部分的面积

【详解】由题设可估计落入黑色部分概率「二吗二：00=二

160016

c9

设黑色部分的面积为s,由几何概型计算公式可得P=—=—

1616

解得S=9

故答案为：9

15、(x-l)2+(y-l)2=10

【解析】求出线段A3的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出一ABC的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径,

由此可得出一ABC的外接圆方程.

4—f)

【详解】直线A3的斜率为左AB=车=1，线段A5的中点为M(0,2),

,1,

所以，线段A3的垂直平分线的斜率为左=一厂=-1,

kAB

则线段AB垂直平分线方程为y=-x+2,即x+y—2=0,

x+y-2=0[x=l/、

联立八，解得「即ABC的外心为。(L1),

[x-y=0[y=l

所以，A5C的外接圆的半径为r=|=J(-2-+(0—I)，=,

因此，一ABC的外接圆方程为(尤—I7+(y—1)2=10.

故答案为：(x-l)2+(y-l)2=10.

【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理

如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在任意弦的中垂线上；

③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆心和半径有

关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式

16、3

【解析】根据导数几何意义，可得了'⑴的值，根据点M在切线上，可求得了⑴的值，即可得答案.

1

【详解】由导数的几何意义可得，k=/(1)=-,

又Af(l,/(1))在切线上，

所以/⑴=gxl+2=g,则/'(1)+/'(1)=3,

故答案为：3

【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17、（1）-

5

(2)

X01234

4121

P

31551515

4

期望为一.

3

【解析】（1）求出甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率，进而求出答案；（2）求出X的可能取值及相应的概率,

写出分布列，求出期望值.

【小问1详解】

由题意得：甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率为Pi=故甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为

C；

4

奇数的概率p2=l-px=—；

【小问2详解】

X的可能取值为0,123,4

P(X=0)=¥A2A5《1，MX=1)=『A2A444，p(X=2)=C2A^2A2^A3q1P(X=3)=c^3A3^A2AW29

PS)=竽/

故分布列为:

X01234

14121

P

31551515

数学期望为E(X)=0xg+lx[+2><g+3x[+4x2=g

18、（1）证明见解析

（2）答案见解析

【解析】(1)由mX—y+l—2m=o,变形为机(x—2)—y+l=0求解直线过的定点，即可得解;

(2)法一：由圆心和(2,1)连线与直线垂直求解;

法二：由圆心到直线侬:-y+l-2m=0距离最大时求解.

【小问1详解】

解：mx-y+l-2m-0,所以zw(x-2)-y+1=0,

x-2=0(x=2

令，」所以直线/经过定点(2,1),

_y+l=0[y=l

圆0:彳2+,2_2》_4,_3=0可变形为(1-2)2=8,

因为(2—iy+(1—2)2<8,所以定点在圆内，

所以直线/和圆C相交，有两个交点；

【小问2详解】

法一：圆心为C(l,2),到(2,1)距离为夜,圆心CQ,2)与(2,1)连线的斜率为—1,

最短弦与圆心和(2,1)的连线垂直，所以"2=1,

所以最短弦长为2回5=2指，直线/的方程为％-y-1=。

法二：圆心C(l,2)到直线3-y+1-2加=0距离:

,Im-2+1-2mIIm+11(m+1)2/m2+2m+1

a=-----/----

Vm2+1m2+m2+1Vm2+1

要求d的最大值，则相>0,加+1》2,当且仅当机=1时，d的最大值为正，

m

所以最短弦长为2痒，=2指，直线/的方程为x-y-1=0.

25

19、(1)V=—%(2)2x-y-5=0

2

【解析】(1)根据抛物线的定义，结合。到焦点、y轴的距离求0,写出抛物线方程.

(2)直线/的斜率不存在易得。A与08不垂直与题设矛盾，设直线/方程联立抛物线方程，应用韦达定理求西•%,

%+々，进而求%•%,由题设向量垂直的坐标表示有石•%+%・%=0求直线方程即可.

【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为y2=2px,又。到焦点口的距离是1,

点Q到准线的距离是1,又。到了轴的距离是J,

O

=解得〃=则抛物线方程是丁=|x

,5

（2）假设直线/的斜率不存在，则直线/的方程为％=3,与丁=-x联立可得交点A、8的坐标分别为

2

3

,易得。4・。8=—,可知直线Q4与直线。B不垂直，不满足题意，故假设不成立,

2

二直线/的斜率存在.设直线/为y—1=左（尸3）,整理得y=3左+1,

y=kx-3k+l

设A（玉,yj,B（x2,y2）,联立直线/与抛物线的方程得＜5

y2=­x

2

,5

消去心并整理得左2/一1左2-24+£|x+9/_64+1=0,于是x/％=9、2?>+l6k2-2k+-

%+/=-------

22—15^+5

:.%,丁2二(米1-3左+1)(依2—3k+1)=kx1x2-k(3k-1)(石+9)+◎氏+1)=-------

2k

又OA1OB,因此0403=0，即%•超+%。%=。，

・9k之一6k+1-15k+5八切出71—p.»

-----------+--------=0，解得左=一或左=2

k522k---------3

当左=；时，直线/的方程是丁=g%,不满足Q4LQ3,舍去

当左=2时，直线/的方程是y—l=2（x—3）,即2x—y—5=0,

...直线/的方程是2-卜5=°

n

20、（1）an=n+l.,⑵1=诉可•

【解析】（1）由等差数列的通项公式、前〃项和公式结合等比数列的性质列方程可得数列首项与公差，即可得解;

111

（2）由------=--——结合裂项相消法即可得解.

4A+i〃+1〃+2

【详解】⑴因为数列｛4｝为等差数列，§4=14,%,。3，%成等比数列，

所以生？=%•%,

4%+,14

2a}+3d-7

所以即(2

2d—ct'd

(%+2d/=q(q+6d)

a=2

又因为dwO,所以}

a1

所以a”=q+(〃—l)d=〃+l；

I111

(2)因为-----=(,1、/「\=F—一二，

anan+l(〃+1乂〃+2)n+in+2

.11111111n

班以/-------1-------FH------------=---------=--------

"以"2334n+\n+22n+22(〃+2厂

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用及裂项相消法的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

21、(1)1(2)证明见解析

【解析】(1)根据点在椭圆E上建立方程，结合a2=》2+c2,然后解出方程即可；

(2)联立直线/与椭圆石的方程，表示出直线。。与求得交点丁的坐标，再分别表示出直线AT和的斜率

并作差，通过韦达定理证明直线AT和的斜率相等即可.

【小问1详解】

由点(Le)在椭圆E上，得:

7+谖

又4=/+C2,—7+i即

a

解得：b=l

【小问2详解】

y

依题意，得A(-a,0),5(a,0),且直线/与x轴不会平行

设直线/的方程为x+a=/(y—a),"(%,%),N(%2，%)

x+a=t(y-a)

由方程组L21

—=1

消去x可得：(产+a?)y2_2t(t+l)ay+t(t+2)Q2=0

rnn±Ann2/(1+1)。/。+2)/

则有：A＞。，且％+'2=7^,%%=^^

直线B