高等数学第-讲极限与连续课件

高等数学第-讲极限与连续ppt课件目录CONTENCT极限概念与性质连续概念与性质极限与连续关系典型例题解析练习题与答案解析01极限概念与性质极限定义存在条件极限定义及存在条件当自变量的某个变化过程（如$xtox_0$或$xtoinfty$）中，函数$f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过程中的极限。函数在自变量的某个变化过程中，其极限存在的充分必要条件是左极限和右极限均存在且相等。当$x$从左侧（或右侧）趋近于$x_0$时，函数$f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在$x_0$处的左（或右）极限。函数在一点处的极限存在的充分必要条件是左右极限均存在且相等。若左右极限不相等，则称函数在该点处的极限不存在。左右极限与极限关系左右极限与极限关系左右极限定义无穷小量定义如果函数$f(x)$当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的极限为零，则称函数$f(x)$为当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的无穷小量。无穷大量定义如果对于任意正数$M$，总存在某个正数$delta$，使得当$0<|x-x_0|<delta$（或$|x|>M$）时，有$|f(x)|>M$，则称函数$f(x)$为当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的无穷大量。无穷小量与无穷大量极限运算法则若$lim_{xtox_0}u(x)=0^+$，$lim_{xtox_0}v(x)=infty$，则$lim_{xtox_0}[1+u(x)]^{v(x)}=e^{lim_{xtox_0}v(x)ln[1+u(x)]}$。幂指函数的极限运算法则若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，且等于这两个函数极限的和、差、积、商。极限的四则运算法则若函数$y=f[g(x)]$在点$x_0$处的极限存在，且$lim_{xtox_0}g(x)=u_0$，$lim_{utou_0}f(u)=A$，则$lim_{xtox_0}f[g(x)]=A$。复合函数的极限运算法则02连续概念与性质连续定义及存在条件连续定义函数在某一点连续，当且仅当函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。存在条件函数在一点连续必须同时满足以下三个条件，函数在该点有定义；函数在该点的极限存在；函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）。间断点类型判断函数在哪些点没有定义、判断函数在哪些点的极限不存在、判断函数在哪些点的极限值不等于函数值。判断方法间断点类型与判断方法四则运算法则复合函数法则反函数法则连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。若函数g(x)在x0连续，f(u)在u0=g(x0)连续，则复合函数f(g(x))在x0也连续。若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f-1(x)在其对应域内也单调且连续。连续函数运算法则初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满足连续的定义。初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数。初等函数连续性03极限与连续关系局部有界性局部保号性极限的四则运算法则连续函数极限性质若函数在某点的极限大于0（或小于0），则存在一个包含该点的邻域，使得函数在该邻域内的值都大于0（或小于0）。若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，且等于各自极限的和、差、积、商。若函数在某点的极限存在，则该函数在该点的某个邻域内有界。最大值和最小值定理闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。中间值定理（介值定理）若函数在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对于任意介于f(a)和f(b)之间的数c，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c。有界性定理闭区间上的连续函数一定有界。闭区间上连续函数性质一致连续概念：若对任意ε>0，存在δ>0，当|x1-x2|<δ时，对任意x1,x2∈I，都有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间I上一致连续。判定方法Heine定理：函数在区间I上一致连续的充分必要条件是：对任意两个序列{xn}和{yn}，若xn→x0，yn→x0（n→∞），xn∈I，yn∈I，则f(xn)-f(yn)→0（n→∞）。Cantor定理：若函数在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一致连续。Lipschitz条件：若存在常数K，使得对任意x1,x2∈I，都有|f(x1)-f(x2)|≤K|x1-x2|，则称f(x)在区间I上满足Lipschitz条件。满足Lipschitz条件的函数一定一致连续。0102030405一致连续概念及判定方法04典型例题解析ABCD求极限方法总结利用极限的四则运算法则适用于简单的多项式函数极限的求解。利用单调有界定理对于单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列，其极限存在。利用夹逼定理通过找到两个有相同极限的数列或函数，将所求数列或函数夹在中间，从而求得极限。利用泰勒公式对于某些复杂函数，可以通过泰勒公式展开成多项式形式，从而方便求解极限。80%80%100%判断函数连续性方法通过观察函数图像或表达式，判断函数在某点是否连续。根据连续性的定义，判断函数在某点的左、右极限是否相等且等于该点的函数值。利用连续函数的性质（如四则运算、复合函数等）来判断函数的连续性。观察法定义法性质法直接代入法对于连续函数，可以直接将自变量取值代入函数表达式中求解极限。洛必达法则对于满足一定条件的两个函数之比的极限，可以通过求导来简化计算。等价无穷小替换在求解极限过程中，可以将某些复杂的无穷小量用简单的无穷小量替换，从而简化计算。利用连续性求极限问题030201一致连续性的性质一致连续的函数具有保持连续性、可积性、可微性等良好性质。一致连续性的判断方法可以通过观察函数图像、利用一致连续性的定义或性质等方法来判断函数的一致连续性。一致连续性的定义对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当任意两点x'和x''的距离小于δ时，函数在这两点的取值之差小于ε。一致连续性问题探讨05练习题与答案解析练习题1求极限lim(x→0)sin(x)/x。练习题2求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x。练习题3求极限lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)。答案解析通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。求极限练习题及答案解析01020304练习题1练习题2练习题3答案解析判断函数连续性练习题及答案解析判断函数f(x)=e^x在R上的连续性。判断函数f(x)=sin(1/x)在x=0处是否连续。判断函数f(x)={x^2,x>0;0,x≤0}在x=0处的连续性。通过考察函数在给定点的左右极限是否存在且相等，以及函数在该点的值，可以判断函数的连续性。利用连续性求极限lim(x→0)(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))。练习题1利用连续性求极限lim(x→π/2)(sin(x)-1)/(cos(x)-1)。练习题2利用连续性求极限lim(x→∞)(√(x^2+1)-√(x^2-1))。练习题3通过运用函数的连续性，可以将复杂的极限问题转化为简单的函数值问题，从而求出极限的值。答案解析利用连续性求极限练习题及答案解析练习题1证明函数f(x)=sin(x)在R上一致连续。证明函数f(x