函数的单调性与极值习题

函数的单调性与极值习目录CONTENTS函数单调性基本概念与性质一元函数极值求解方法多元函数极值求解方法典型案例分析与解题思路总结练习题精选与详解总结回顾与拓展延伸01函数单调性基本概念与性质单调递增单调递减单调递增与递减定义对于函数$f(x)$，如果在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)geqf(x_2)$，则称函数$f(x)$在该区间内单调递减。对于函数$f(x)$，如果在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)leqf(x_2)$，则称函数$f(x)$在该区间内单调递增。单调区间导数法差分法单调区间及判断方法函数在其定义域内的一个子区间上单调递增或单调递减，则该子区间称为函数的单调区间。若函数$f(x)$在某区间内可导，且其导数$f'(x)>0$，则函数在该区间内单调递增；若$f'(x)<0$，则函数在该区间内单调递减。对于离散函数或不易求导的函数，可以通过比较相邻两点函数值的大小来判断函数的单调性。01020304复合函数导数法图像法中间变量法复合函数单调性判断由两个或多个基本函数通过四则运算或复合运算组合而成的函数。根据链式法则求复合函数的导数，通过判断导数的正负来判断复合函数的单调性。引入中间变量，将复合函数分解为若干个简单函数，分别判断这些简单函数的单调性，从而得出复合函数的单调性。画出复合函数中各个基本函数的图像，通过观察图像的变化趋势来判断复合函数的单调性。02一元函数极值求解方法一阶导数测试法首先求出函数的一阶导数。令一阶导数为0，解出驻点。在驻点的左右两侧分别判断一阶导数的符号，从而确定函数的单调性。根据函数的单调性变化，确定驻点是极大值点还是极小值点。求导数寻找驻点判断单调性确定极值在求出函数的一阶导数的基础上，继续求二阶导数。求二阶导数判断凹凸性确定极值根据二阶导数的符号判断函数的凹凸性。结合一阶导数和二阶导数的信息，确定函数的极值点。030201二阶导数测试法对于驻点，需要判断其左右两侧函数的单调性，从而确定该点是否为极值点。对于不可导点，可以通过定义或者极限的方式来判断该点是否为极值点。同时，也可以结合函数的图像或者其他信息来进行判断。驻点与不可导点处理不可导点处理驻点处理03多元函数极值求解方法

偏导数及全微分概念引入偏导数定义对于多元函数，固定其他变量的值，仅对其中一个变量求导，所得导数即为该变量的偏导数。全微分概念多元函数在某点的全微分，是该函数在该点附近因变量对自变量的全增量与自变量全增量之比的极限。偏导数与全微分关系全微分是偏导数的线性组合，通过全微分可以了解函数在某点附近的变化情况。一阶必要条件01多元函数在某点取得极值的必要条件是，该点的所有一阶偏导数等于零。二阶充分条件02若多元函数在某点的所有一阶偏导数等于零，且该点的二阶偏导数矩阵（Hessian矩阵）正定或负定，则该点为函数的极小值点或极大值点。约束条件下的极值条件03在约束条件下，多元函数的极值点需满足拉格朗日乘数法所得到的方程组。多元函数极值条件分析库恩-塔克条件对于不等式约束条件下的多元函数极值问题，需满足库恩-塔克条件，即在一组线性不等式约束下，目标函数取得极值的必要条件。拉格朗日乘数法通过构造拉格朗日函数，将约束条件下的多元函数极值问题转化为无约束条件下的极值问题。罚函数法通过引入罚函数，将约束条件下的多元函数极值问题转化为无约束条件下的优化问题，进而利用无约束优化方法进行求解。约束条件下多元函数极值问题04典型案例分析与解题思路总结01020304例题1解题思路例题2解题思路一元函数单调性应用举例判断函数$f(x)=x^3-3x^2+4$在区间$(-infty,+infty)$上的单调性。首先求出函数的一阶导数$f'(x)=3x^2-6x$，然后判断其在不同区间上的符号，从而确定原函数的单调性。求函数$f(x)=x^2-2x$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。首先判断函数在给定区间上的单调性，然后求出端点处的函数值，比较大小即可得到最大值和最小值。例题1解题思路例题2解题思路一元函数极值问题求解举例首先求出函数的一阶导数$f'(x)=3x^2-12x+9$，然后令其等于零求出驻点，接着判断驻点左右的导数符号变化，从而确定极值点和极值。求函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$的极值点和极值。首先求出函数的一阶导数$f'(x)=frac{1-x}{e^x}$，然后令其等于零求出驻点，接着判断驻点左右的导数符号变化，从而确定极大值和极小值。求函数$f(x)=frac{x}{e^x}$的极大值和极小值。例题1解题思路例题2解题思路多元函数极值问题求解举例求函数$z=x^2+y^2-2x-4y+5$的极值点和极值。首先求出函数的一阶偏导数$frac{partialz}{partialx}=2x-2$和$frac{partialz}{partialy}=2y-4$，然后令它们等于零求出驻点，接着判断驻点处的二阶偏导数符号，从而确定极值点和极值。求函数$z=xy(1-x-y)$在条件$x+y=1$下的最大值和最小值。首先利用拉格朗日乘数法构造新的函数$F(x,y,lambda)=xy(1-x-y)+lambda(x+y-1)$，然后求出其一阶偏导数并令它们等于零求出驻点，最后比较各驻点处的函数值大小即可得到最大值和最小值。05练习题精选与详解通过求导或利用函数性质判断函数在给定区间上的单调性。判断函数单调性根据函数单调性的定义，求解函数在哪些区间上单调增加或单调减少。求单调区间利用函数的单调性比较函数值的大小。比较大小单调性相关练习题通过求导并令导数为零，求得函数的驻点。求驻点利用驻点左右两侧导数的符号变化，判断驻点是极大值点、极小值点还是非极值点。判断极值在给定的区间上，通过比较驻点和区间端点的函数值，求得函数的最值。求最值一元函数极值相关练习题求偏导数对多元函数求偏导数，并令偏导数为零，求得函数的驻点。判断极值利用驻点处二阶偏导数的性质，判断驻点是极大值点、极小值点还是非极值点。求条件极值在给定约束条件下，通过构造拉格朗日函数并求偏导数，求得函数的条件极值。多元函数极值相关练习题06总结回顾与拓展延伸010405060302函数的单调性单调增函数：若函数在某区间内，随着自变量的增加，函数值也增加，则称该函数在此区间内单调递增。单调减函数：若函数在某区间内，随着自变量的增加，函数值减少，则称该函数在此区间内单调递减。函数的极值极大值：若函数在某点的左侧附近函数值均小于该点函数值，而右侧附近函数值均大于该点函数值，则该点为函数的极大值点。极小值：若函数在某点的左侧附近函数值均大于该点函数值，而右侧附近函数值均小于该点函数值，则该点为函数的极小值点。关键知识点总结回顾易错点忽视定义域：在讨论函数的单调性或极值时，必须考虑函数的定义域，否则可能导致错误的结论。混淆极值与最值：极值是局部性质，而最值是全局性质。极值点可能在定义域内部或端点处取得，而最值点可能在定义域的任意位置取得。注意事项在判断函数的单调性时，要注意区间的选取和端点的处理。在求函数的极值时，要注意检查一阶导数和二阶导数的符号变化。易错难点剖析及注意事项提醒经济学中的应用边际分析：在经济学中，边际分析是一种重要的分析方法，它涉及到函数的导数和单调性。通过边际分析，可以研究成本、收益、需求等经济变量的变化规律。最优化问题：在经济学中，经常需要解决最优化问题，如最大化利润、最小化成本等。这些问题