高中数学立体几何向量法归纳

关于高中数学立体几何向量法归纳空间向量空间向量的运算空间向量基本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识结构夹角和距离平行和垂直第2页,共44页，2024年2月25日，星期天1、空间直角坐标系以单位正方体的顶点O为原点，分别以射线OA，OC，的方向为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系C'D'B'A'COAByzxO为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面一、基本概念第3页,共44页，2024年2月25日，星期天右手直角坐标系空间直角坐标系—Oxyz横轴纵轴竖轴第4页,共44页，2024年2月25日，星期天2、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标点M（X，Y，Z）第5页,共44页，2024年2月25日，星期天

如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.4、平面的法向量nα3、直线的方向向量第6页,共44页，2024年2月25日，星期天1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据n·a=0且n·b=0可列出方程组3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),

便得到平面法向量n的坐标.anb5、平面法向量的求法设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标第7页,共44页，2024年2月25日，星期天例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量解：平面ABC的法向量为:第8页,共44页，2024年2月25日，星期天例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)AA

BOzyA1C1B1AxCDD1第9页,共44页，2024年2月25日，星期天5、两法向量所成的角与二面角的关系设n1

、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1

、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.第10页,共44页，2024年2月25日，星期天二、基本公式：1、两点间的距离公式（线段的长度）2、向量的长度公式（向量的模）第11页,共44页，2024年2月25日，星期天3、向量的坐标运算公式第12页,共44页，2024年2月25日，星期天4、两个向量平行的条件5、两个向量垂直的条件或第13页,共44页，2024年2月25日，星期天7、重心坐标公式6、中点坐标公式第14页,共44页，2024年2月25日，星期天9、直线与平面所成角公式

(为

的法向量)8、直线与直线所成角公式10、平面与平面所成角公式

(为二面角两个半平面的法向量）第15页,共44页，2024年2月25日，星期天11、点到平面的距离公式（PM为平面的斜线,为平面的法向量）12、异面直线的距离公式（A,B为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）第16页,共44页，2024年2月25日，星期天利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角（二面角）利用向量求距离点到直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离平行到平面的距离直线到直线的距离三、基本应用第17页,共44页，2024年2月25日，星期天利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行第18页,共44页，2024年2月25日，星期天四、基本方法1、平行问题第19页,共44页，2024年2月25日，星期天２、垂直问题第20页,共44页，2024年2月25日，星期天３、角度问题第21页,共44页，2024年2月25日，星期天４、距离问题（１）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。（２）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。第22页,共44页，2024年2月25日，星期天例：题型一：线线角五、典型例题第23页,共44页，2024年2月25日，星期天所以：题型一：线线角解：以点C

为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，不妨设则

C||所以与所成角的余弦值为第24页,共44页，2024年2月25日，星期天题型二：线线垂直第25页,共44页，2024年2月25日，星期天题型三：线面角N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，例：第26页,共44页，2024年2月25日，星期天题型三：线面角N又例：在长方体中，第27页,共44页，2024年2月25日，星期天ABDCA1B1D1C1例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1EEF题型四：线面平行xyz即第28页,共44页，2024年2月25日，星期天DACBBCDAFEXYZ题型五：线面垂直或先求平面BDE的法向量再证明第29页,共44页，2024年2月25日，星期天题型六：面面角设平面xyz第30页,共44页，2024年2月25日，星期天XYZ例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD∥面CB1D1题型七：面面平行或先求两平面的法向量再证明第31页,共44页，2024年2月25日，星期天例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ题型八：面面垂直或证明两平面的法向量垂直第32页,共44页，2024年2月25日，星期天练习第33页,共44页，2024年2月25日，星期天练习第34页,共44页，2024年2月25日，星期天练习第35页,共44页，2024年2月25日，星期天练习第36页,共44页，2024年2月25日，星期天练习第37页,共44页，2024年2月25日，星期天题型九：异面直线的距离zxyABCC1即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1第38页,共44页，2024年2月25日，星期天ABCDEFGXYZ题型十：点到平面的距离第39页,共44页，2024年