2024年江西省德兴市育才中学九年级中考数学一轮复习模拟卷(含答案)

年江西省德兴市育才中学中考数学一轮复习模拟卷一、选择题（本大题共6小题，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．（2023·陕西）计算：|−17|=（）A．17 B．−17 C．117 D．2．（2023·青岛）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B．C． D．3．（2023·西宁）下列说法正确的是（）A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件C．数据4，9，5，7的中位数是6D．甲、乙两组数据的方差分别是s甲2=04．（2023·镇江）下列运算中，结果正确的是（）A．2m2+m2=3m4 5．（2023·丹东）如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A(0，3)，B(4，A．x>4 B．x<4 C．x>3 D．x<36．（2023·娄底）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC=12a2b2−(a2+b2−cA．cosC=a2C．cosC=a2二、填空题（本大题共6小题，共18分）7．（2020·历下模拟）分解因式：3x28．（2023·灯塔模拟）《全国防沙治沙规划（2021−2030年》》正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩．数据“1.86亿”用科学记数法表示为．9．（2023·西宁）有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着227，6，-0.5，π，0.背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是10．（2023·益阳）如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB=°．11．（2023·丹东）如图，点A是反比例函数y=kx(x>0)的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC=2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是12．（2023·济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于．三、解答题（一）（30分）13．（2023·新余模拟）（1）计算：(−（2）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且四边形AECF为正方形.求证：BE=DF．14．（2023·淄博）若实数m，n分别满足下列条件：2(m−1)2−7=−5；（2）n−3>015．（2023·青岛）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：△ABC．求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．16．（2023·广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球.这个约定是否公平？为什么？17．（2019·白银）如图，已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=−x+b（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P(a，0)(a>0)，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=−x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx上的图象于点N.若PM>PN，结合函数图象直接写出四、解答题（二）（24分）18．（2023·陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差.如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上.此时，测得点B的俯角α=22°，点A的仰角β=16.7°，并测得EF=48m，FD=50m.已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上.求楼AB与CD的高度差.(参考数据：sin16.7°≈0.29，cos16.19．（2022·铜仁）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元.请解答以下问题：（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？20．（2023·西宁）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC.（1）求证：∠BAC=∠E；（2）若AB=8，DC=2，CE=310，求CF五、解答题（三）（18分）21．（2023·益阳）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：等级人数A72B108C48Dm请你根据图表中的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生人数是多少？（2）求以上图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？22．（2023·丹东）在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=6，点D是BC的中点.四边形DEFG是菱形(D，E，F，G按逆时针顺序排列)，∠EDG=60°，且DE=2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．六、解答题（四）（12分）23．（2023·新余模拟）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点坐标为(0，c)（1）【特例感知】抛物线y=x2+2x+1（2）【深入探究】经过点A(−2，0)和B(x，0)(x>−2)的抛物线y=−14x2（3）【拓展运用】在（2）的条件下，设抛物线y=−14x2+12mx+n的顶点为P，直线①当∠CDF=45°时，求点P的坐标．②若直线EF与直线MN关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．2024年江西省德兴市育才中学中考数学一轮复习模拟卷解析卷一、选择题1．（2023·陕西）计算：|−17|=（）A．17 B．−17 C．117 D．【答案】A【知识点】绝对值及有理数的绝对值【解析】【解答】解：|-17|=17.故答案为：A.【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可得答案.2．（2023·青岛）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】D【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、B、C既是中心对称，又是轴对称，所以ABC均不符合题意；

D是中心对称，不是轴对称，所以D符合题意。

故答案为：D。

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，分别进行识别即可。3．（2023·西宁）下列说法正确的是（）A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件C．数据4，9，5，7的中位数是6D．甲、乙两组数据的方差分别是s甲2=0【答案】C【知识点】三角形内角和定理；全面调查与抽样调查；随机事件；中位数；方差【解析】【解答】解：A、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故不符合题意；

B、任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故不符合题意；

C、数据4，9，5，7的中位数是6，故符合题意；

D、甲、乙两组数据的方差分别是s甲2=0故答案为：C.【分析】根据全面调查与抽样调查、随机事件、中位数及方差分别判断即可.4．（2023·镇江）下列运算中，结果正确的是（）A．2m2+m2=3m4 【答案】C【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方【解析】【解答】解：2m2+m2＝3m2，则A不正确，不符合题意；m2•m4＝m6，则B不正确，不符合题意；

m4÷m2＝m2，则C正确，符合题意；

（m2）4＝m8，则D不正确，不符合题意；故答案为：C.【分析】根据合并同类项、同底数幂的法则、同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则将各项计算后进行判断即可．5．（2023·丹东）如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A(0，3)，B(4，A．x>4 B．x<4 C．x>3 D．x<3【答案】B【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用【解析】【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，

∴不等式ax+b＞0的解集为：x＜4．

故答案为：B.

【分析】结合题意写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可.6．（2023·娄底）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC=12a2b2−(a2+b2−cA．cosC=a2C．cosC=a2【答案】A【知识点】解直角三角形【解析】【解答】解：由题意可得：12a2b2−a2+b2−c222=12absinC，

∴a2b2−a2+b2二、填空题7．（2020·历下模拟）分解因式：3x2【答案】3(x+2)(x−2)【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法【解析】【解答】原式=3(【分析】先提取公因式，再用公式法完成因式分解.8．（2023·灯塔模拟）《全国防沙治沙规划（2021−2030年》》正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩．数据“1.86亿”用科学记数法表示为．【答案】1【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】解：1.86亿即186000000的绝对值大于10表示成∵a=1.86，∴1.86亿表示成1.故答案为：1.【分析】把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。9．（2023·西宁）有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着227，6，-0.5，π，0.背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是【答案】2【知识点】无理数的概念；简单事件概率的计算【解析】【解答】解：在227，6，-0.5，π，0这5个数中，无理数有6、π，共2个，

∴取出的卡片正面的数字是无理数的概率是2故答案为：25【分析】在227，6，-0.5，π，0这5个数中，无理数有6、π10．（2023·益阳）如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB=°．【答案】120°【知识点】正多边形的性质【解析】【解答】解：由题意得∠FAB=6−2×180°6=120°，11．（2023·丹东）如图，点A是反比例函数y=kx(x>0)的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC=2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是【答案】4【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：设点A的坐标为（m，n），

∵点A在反比例函数图象上，且在第一象限，

∴k=mn，m＞0，n＞0，

∵AC⊥x轴于点C，

∴OC=m，AC=n，

∴BC=2AC=2n，

∴AB=BC+AC=3n，

∵S△ABD=12AB·OC=6

即12故答案为：4.【分析】设点A的坐标为（m，n），结合题意和图象可得k=mn，m＞0，n＞0；推得OC=m，AC=n，AB=3n，根据三角形的面积公式可求得mn=4，即可求得k的值.12．（2023·济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于．【答案】2【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AQ⊥PE，

∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=30°，

∴AC=AB=BC=CD，∠ABC=∠D=30°，

∴∠DAC=12×180°−30°=75°，

∵将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，

∴∠E=∠D=30°，

∴∠EPA=∠DAC-∠E=45°，

∵AQ⊥PE，AP=2，

∴cos45°=PQAP，

∴AQ=PQ=2，

∵∠ABC=30°，

∴tan30°=AQEQ，

∴EQ=三、解答题（一）13．（2023·新余模拟）（1）计算：(−（2）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且四边形AECF为正方形.求证：BE=DF．【答案】（1）解：原式=4−(2−=4−2+=3+3（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵四边形AECF是正方形，∴AF=EC，∴AD−AF=BC−EC，∴DF=BE，即BE=DF．【知识点】实数的运算；平行四边形的性质；正方形的性质【解析】【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂、绝对值和实数的运算。

（1）除0以外，任何数的零次方都是1；负数的绝对值是它的相反数；a−n=114．（2023·淄博）若实数m，n分别满足下列条件：2(m−1)2−7=−5；（2）n−3>0【答案】解：22(m−1)m−1=1或m−1=−1m1=2，n−3>0，解得：n>3；∴当m=2，n>3时，2m−3>0，3n−m2>0，点当m=0，n>3时，2m−3<0，3n−m2>0，点【知识点】点的坐标与象限的关系【解析】【分析】首先根据条件可求得m=2或0，n＞3，然后分成两种情况，分别判断点P的横坐标和纵坐标的正负号，从而得出所在的象限即可。15．（2023·青岛）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：△ABC．求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．【答案】解：如图，点P为所作．【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-线段垂直平分线【解析】【分析】根据尺规作图，分别作出线段AC的垂直平分线及过直线AB外一点C作AB的垂线，两条直线的交点，即为点P的位置。16．（2023·广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球.这个约定是否公平？为什么？【答案】（1）解：画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，∴P（乙选中球拍）=3（2）解：公平．理由如下：画树状图如下：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，∴P（甲先发球）=2∴P（乙先发球）=4−2∵P（甲先发球）=P（乙先发球），∴这个约定公平．【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性；概率的简单应用【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，从而根据概率公式计算可得答案；

（2）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，从而根据概率公式分别算出甲与乙先发球的概率，再比较两个概率的大小即可.17．（2019·白银）如图，已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=−x+b（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P(a，0)(a>0)，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=−x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx上的图象于点N.若PM>PN，结合函数图象直接写出【答案】（1）解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=−x+b∴3=k∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3（2）解：由图象可得：当1<a<3时，PM>PN.【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入反比例函数y=kx(k≠0)与一次函数y=−x+b就可算出k，b的值，从而求出两函数的解析式；

（2）根据题意，要使PM>PN，则过点P四、解答题（二）18．（2023·陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差.如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上.此时，测得点B的俯角α=22°，点A的仰角β=16.7°，并测得EF=48m，FD=50m.已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上.求楼AB与CD的高度差.(参考数据：sin16.7°≈0.29，cos16.【答案】解：过点C作CG⊥EF于G，过点E作EH⊥AB于H，∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，∴得矩形CDFG，矩形EFBH，∴CG=FD=50m，HB=EF=48m，在Rt△CGE中，CG=50m，∠ECG=α=22°，则EG=CG⋅tan∠ECG≈50×0.∴CD=FG=EF−EG=48−20.在Rt△EFB中，EF=48m，∠EBF=α=22°，则EF=FB⋅tan∠EBF，∴48≈FB×0.∴FB=120.在Rt△AHE中，EH=FB=120m，∠AEH=β=16.则AH=EH⋅tan∠AEH≈120×0.∴AB=AH+BH=AH+EF=36.∴AB−CD=84.答：楼AB与CD的高度差约为56.【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】过点C作CG⊥EF于点G，过点E作EH⊥AB于点H，易证四边形CDFG，四边形EFBH是矩形，利用矩形的性质可求出CG，BH的长；在Rt△CGE中，利用解直角三角形求出EG的长，可得到CD的长；在Rt△EFB中，利用解直角三角形求出FB的长；在Rt△AHE中，利用解直角三角形求出AH的长，然后求出AB的长，最后求出AB-CD的长即可.19．（2022·铜仁）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元.请解答以下问题：（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）解：根据题意得y=12−2(x−4)=−2x+20(4≤x≤5.所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）（2）解：设每天获得的利润为W元，根据题意得w=(−2x+20)(x−2)=−2x∵−2<0，∴当x<6，W随x的增大而增大.∵4≤x≤5.∴当x=5.5时，w有最大值，最大值为∴将批发价定为5.5元时，每天获得的利润w元最大，最大利润是31.5元.【知识点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）由题意可得每天的销售量减少2(x-4)吨，利用12减去减少的销售量可得y与x的关系式；

（2）根据(批发价-成本)×销售量可得w与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.20．（2023·西宁）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC.（1）求证：∠BAC=∠E；（2）若AB=8，DC=2，CE=310，求CF【答案】（1）证明：∵OC⊥AB，OC是⊙O的半径∴AD=BD，AC=∴∠BAC=∠E（同弧或等弧所对的圆周角相等）；（2）解：∵∠BAC=∠E又∵∠ACF=∠ECA∴△ACF∽△ECA（两角分别相等的两个三角形相似）∴ACEC∵AB=8∴AD=BD=4在Rt△ADC中∠ADC=90°，AD=4CD=2∴AC=A即2∴CF=2【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）由垂径定理可得AD=BD，AC=BC，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可求解；

（2）利用两角分别相等的两个三角形相似可证△ACF∽△ECA，由垂径定理可得AD=BD=4，在五、解答题（三）21．（2023·益阳）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：等级人数A72B108C48Dm请你根据图表中的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生人数是多少？（2）求以上图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？【答案】（1）解：∵48÷20%∴本次被调查的学生人数是240人；（2）解：由题意可得：m=240−72−108−48=12，108240∴n=45；72240∴图中A等级对应的圆心角度数为108°；（3）解：∵72+108240∴该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有900人．【知识点】用样本估计总体；扇形统计图【解析】【分析】（1）根据表格和扇形统计图的信息即可求解；

（2）结合题意即可求解；

（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。22．（2023·丹东）在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=6，点D是BC的中点.四边形DEFG是菱形(D，E，F，G按逆时针顺序排列)，∠EDG=60°，且DE=2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．【答案】（1）解：AG=CE，α=60°，理由：在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=6，则AC=ABtan30°=23，则BC=2AC=4∵点D是BC的中点，则BD=CD=AD=23则AG=AD−GD=23−2，在△ACD中，AD=CD，∠C=60°，则△ACD为等边三角形，则∠ADC=60°=α；（2）解：（1）的结论成立，理由：证明：延长AG交CD于点T，交CE于点N，∵∠ADG+∠GDC=60°=∠GDC+∠CDE，∴∠ADG=∠CDE，∵AD=CD，GDD=ED，∴△ADG≌△CDE(SAS)，∴AG=CE，∠DCE=∠DAN，∵∠CTD=∠CTN，∴∠ANC=∠ADC=60°=α.（3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接AD，DF，

∵四边形DEFG是菱形，DE=2，∠EDG=60°，

∴DE=DG=2，DF⊥EG，∠EDM=∠EFD=30°，DM=12DF，∠DEF=120°，

∴EM=12DE=1，DM=DE2−EM2=22−12=3，

则DF=23，

∴DF=BD，

∴∠FBC=∠EFD=30°，

又∵∠DEF=120°，

∴∠BED=60°；

故∠BDE=180°-∠DEF-∠FBC=90°；

即ED⊥BC；

∴∠GDC=90°-60°=30°，

又∵点D是BC的中点，

∴CE=BE，

∴∠EBC=∠ECB=30°，

∴当B、F重合时，也符合题意，过点A作AM⊥EC，连接AD，如下图：由(1)、(2)知，∠MPC=α=60°，在Rt△AEC中，AC=23则tan∠ACE=AE设PM=x，则AM=PMtan60°=3x，而AC即12=3x解得：x=4则△APC的面积=1综上，△APC的面积为2037或【知识点】解直角三角形；四边形的综合【解析】【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值可求得AC、BC的值，结合题意求出BD的值，即可求出AG、CE的值，得AD=CD，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形即可推得△ACD为等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°，即可求解；

（2）延长AG交CD于点T，交CE于点N，结合题意推得∠ADG=∠CDE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得△ADG≌△CDE；根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AG=CE，∠DCE=∠DAN，推得∠ANC=∠ADC=60°=α；

（3）当B、E、F共线时，连接AD，DF；根据菱形的对角线互相垂直，对角线互相平分，对角线平分对角可得EM=1，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得DM的值，可得DF的值；根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等可得∠FBC=∠EFD=30°，根据三角形内角和是180°推得ED⊥BC；结合题意可得CE=BE，根据等腰三角形的性质可得DG=GC，即可推得则E、G、C三点共线，点G、P共点；根据有两个角是60°角的三角形是等边三角形可得△DEG是等边三角形，根据等边三角