新教材同步备课2024春高中数学第7章复数7.1复数的概念7.1.2复数的几何意义教师用书新人教A版必修第二册

7.1.2复数的几何意义学习任务1．把握用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(数学抽象)2．把握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(数学抽象)3．把握用向量的模来表示复数的模的方法．(规律推理)我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？让我们来一起探究吧！学问点1复数的几何意义1．复平面(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数．(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．1．实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？[提示]不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)；(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：复数z＝a＋bi平面对量OZ．学问点2复数的模1．定义：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或确定值．2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|．3．公式：|z|＝|a＋bi|＝a2学问点3共轭复数1．定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．2．表示：复数z的共轭复数用z表示，即假如z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi．2．共轭复数在复平面内对应的点有什么关系？[提示]它们所对应的点关于实轴对称．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)原点是实轴和虚轴的交点． ()(2)若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数为－3i． ()(3)复数z＝－1－2i在复平面内对应的点位于第四象限． ()[答案](1)√(2)√(3)×2．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．5[∵z＝1＋2i，∴|z|＝12+23．复数z＝－3－2i的共轭复数z＝________．[答案]－3＋2i类型1复数与复平面内的点的关系【例1】求实数a分别取何值时，复数z＝a2-a-6a+3＋(a2－2a－15)i((1)在复平面的其次象限内；(2)在复平面内的x轴上方．[解](1)点Z在复平面的其次象限内，则a解得a＜－3．(2)点Z在x轴上方，则a解得a＞5或a＜－3．即当a＞5或a＜－3时，点Z在复平面内的x轴上方．[母题探究]1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．[解]点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5．故a＝5时，点Z在x轴上．2．本例中条件不变，假如点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．[解]由于点Z在直线x＋y＋7＝0上，所以a2-a-6a+3＋a2－2a即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±15．所以a＝－2或a＝±15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．(2)依据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．[跟进训练]1．(1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第________象限．(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为________．(1)四(2)(1，2)[(1)由于a2＋a＋1＝a+122＋34>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－故复数对应的点在第四象限．(2)由于复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，所以x2-6x+5<0，所以所求实数x的取值范围是(1，2)．]类型2复数与复平面内向量的对应【例2】在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点．(1)求向量OA+OB和(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．[解](1)由已知得OA，OB，OC所对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，则OA＝(1，4)，OB＝(0，－3)，OC＝因此OA+OB＝(1，1)，AC＝OC-OA＝故OA+OB对应的复数为1＋AC对应的复数为1－4i．(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，－3)，(2，0)，则AC的中点为32，2，由平行四边形的性质知BD若设D(x0，y0)，则有0+x0故D(3，7)．即顶点D对应的复数为3＋7i．法二：由已知得OA＝(1，4)，OB＝(0，－3)，OC＝(2，0)，所以BA＝(1，7)，BC＝(2，3)，由平行四边形的性质得BD＝BA+BC＝(3，所以OD＝OB+BD＝(3，7)，于是D(3，即顶点D对应的复数为3＋7i．解决复数与平面对量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[跟进训练]2．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．[解]如图(1)，点A，B，C，D，E分别表示复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．如图(2)，向量OA，OB，OC，OD，OE分别表示复数4，2＋i，－i类型3复数的模及其应用【例3】已知复数z1＝3－i，z2＝－12＋3(1)求|z1|，|z2(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．[解](1)|z1|＝|3＋i|＝32+|z2|＝-12所以|z1|＞|z(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2．不等式1≤|z|≤2等价于不等式组z由于满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示．1．复数的模的计算计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．复数模的几何意义(1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件推断点Z的集合表示的图形；(2)利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决．[跟进训练]3．(1)(2022·广西桂林期末)满足1≤z≤3的复数z在复平面上对应的点构成的图形的面积为()A．π B．2πC．8π D．9π(2)若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则z的共轭复数z＝________．(1)C(2)－15－8i[(1)满足1≤z≤3的复数z在复平面上对应的点构成的图形为以原点为圆心，半径分别为1和3构成的圆环，所以面积为π×32－π×12＝8π．故选C．(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2+b2，代入方程得a＋bi＋a2∴a+解得a=∴z＝－15＋8i,z的共轭复数z＝－15－8i．]1．复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是()A．(3，－5) B．(3，5)C．(3，－5i) D．(3，5i)A[复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(3，－5)．]2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在其次象限，则实数m的取值范围是()A．(－1，2) B．(－2，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)B[∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在其次象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，则实数m的取值范围是(－2，1)．]3．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量OB对应的复数为()A．－2－i B．2＋iC．1－2i D．－1＋2iC[由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(1，－2)，故向量OB对应的复数为1－2i．]4．向量a＝(3，4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数z＝________，|z|＝________．[答案]3－4i5回顾本节学问，自主完成以下问题：1．复数与复平面内的点、复平面内的向量有什么关系？[提示]复数与复平面上点、与复平面上以原点为始点的向量是一一对应关系．即：2．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？[提示]|z|＝x2+y2，其表示复平面内的点(x，y)到原点3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数z如何表示？[提示]z＝a－bi(a，b∈R)．课时分层作业(十七)复数的几何意义一、选择题1．若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数()A．等于0B．等于－3C．在虚轴上D．既不在实轴上，也不在虚轴上C[向量OZ对应的复数为－3i，在虚轴上．]2．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限C[复数z的共轭复数z＝－2－i，在复平面内对应的点为(－2，－1)，位于第三象限．]3．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A．1 B．2C．3 D．2B[由于x，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝12+124．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合表示的图形是()A．一个圆 B．线段C．两点 D．两个圆A[∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的一个圆．]5．(多选)(2022·山东威海一中月考)已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为z1，则(A．m＝－4B．z2＝C．z1＝－4－D．复数z1的虚部为－AC[由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝4+m＋i，对于A：由于z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；对于B：z2＝1，故B对于C：z1＝－4－3i，故C对于D：复数z1的虚部为－3，故D故选AC．]二、填空题6．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i(a，b∈R)互为共轭复数，则a＝__________，b＝________．24[由于z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4．]7．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数x的取值范围是________．(3，＋∞)[∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴x-2>0，8．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________．±i[由于z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则|z－1|＝|ai－1|＝a2又由于|－1＋i|＝2，所以a2+1＝2，即a2＝所以a＝±1，即z＝±i．]三、解答题9．(源自北师大版教材)在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数：(1)z1＝3－2i；(2)z2＝－1＋3i．[解]在复平面作图如图．(1)|z1|＝|3－2i|＝32+-22＝13(2)|z2|＝|－1＋3i|＝-12+32＝2，z10．当23<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于(A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限D[由于23<m<1，所以3m－2>0，m－1<0，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限．11．在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是(A．23 B．－23iC．3－3i D．3＋3iB[复数3－3i对应的向量的坐标为(3，－3)，按顺时针方向旋转π3后得到新向量的坐标为(0，－23)，所得向量对应的复数为－2312．(多选)(2022·湖北宜昌市一中月考)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足z-1=zA．P0点的坐标为(1，B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．满足z-z0＝5的复数z对应的点zACD[A．由于复数z0＝1＋2i，由复数的几何意义知，P0点的坐标为(1，B．复数z0的共轭复数是z0＝1－2i，其对应的点与点P0C．设z＝x＋yi，x，y∈R，由于z-1=z-i，所以x-D．由于点P0到直线y＝x距离的最小值为d＝1-22＝22，所以满足z-z0＝13．已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是________．(1，10)[由于0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，所以|z|＝a2+1∈(1，10)14．已知复数z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，求当θ满足什么条件时：(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；(2)|z2|＜2．[解](1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，则cosθ=3sinθsin2θ=所以θ＝2kπ＋76π(k∈Z)(2)由|z2|＜2，得3sinθ2即3sin2θ＋cos2θ＜2，所以sin2θ