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分拆等式和q-级数等式的构造性证明本文主要是用组合的方法(映射与对合)来构造性地证明一些著名q-级数恒等式和分拆恒等式,主要包括：Ramanujan部分v-级数恒等式,Andrews部分v-级数恒等式及其推广,Fine分拆定理,Alladi加权分拆等式,Ramanujan三阶仿v-函数恒等式及其推广,Gauss系数交错和等式。首先,我们用整数分拆的语言分别将q-级数恒等式的两边解释成某类分拆的生成函数,然后用图形来表示分拆,再结合各种组合方法在两类分拆之间建立一个双射,或者在同一类分拆中建立一个对合,从而给出q-级数恒等式的证明。这种方式的证明被称为构造性证明,或组合证明。本文共分四章。第一章主要介绍分拆和q-级数理论中的一些基本概念和术语。然后,介绍两个经典的映射：Sylvester双射和Franklin对合,这两个映射开创了构造性证明分拆恒等式和q-级数恒等式的先河。第二章主要研究Ramanujan和Andrews的部分v-级数恒等式。Alladi从这两个等式中分别得到了两个加权的分拆等式。利用奇偶序列,Berndt、Kim和Ycc给出了Ramanujan等式的组合证明。通过构造新的对合中,我们给出了Ramanujan等式的另一个组合证明。更重要的是,在此对合中的基础上,我们构造了一个Franklin类型的对合ψ,这个对合ψ可以用来证明Alladi从Ramanujan等式中得到的加权分拆等式,从而解决了Berndt、Kim和Ycc在《组合理论杂志A》中提出的公开问题。此外,这个对合ψ还可以证明Alladi从Andrews等式中得到的加权分拆等式和Fine分拆定理。另一方面,我们构造了对合ψ的一个变式T。利用这个变式T,我们给出了Andrews等式的直接组合证明,并回答了Andrews在《美国数学月刊》上提出的一个公开问题,而且还发现一个更广泛的加权分拆等式。在第三章中,我们主要研究Ramanujan三阶仿v-函数恒等式及其推广。Fine是第一个探索三阶仿v-函数与整数分拆联系的人,并且得到了一个关于三阶仿v-函数f(q)的分拆恒等式。通过构造对合,我们给出了Fine分拆恒等式的组合证明。此外,我们还构造了另外两个对合,并得到了两个分别关于三阶仿v-函数φ(q),ψ(q)的分拆恒等式。结合这三个分拆恒等式,可以证明两个关于Ramanujan三阶仿v-函数的经典等式。并且,这三个对合还可应用到Andrews对Ramanujan这两个等式的推广上。第四章主要研究Gauss系数交错和等式。通过研究Alladi对分拆的滑动操作和钩操作,我们得到了一个联系无限制的分拆和部分都是互不相同奇数的分拆的加权分拆等式。利用这个加权等式,可以证明Gauss系数交错和等式。此外,还可以给出不可约表示S(1n)在对称群Sn共轭表示中的重数k(1n)一个组合解释,从而回答了Stanley在其专著《计数组合学》中提出的一个公开问题的特殊情形。在本章的结尾,我们介绍Gauss系数交错和等式的组合证明。通过变形Ga

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