四川省自贡市荣县第一中学高二数学理联考试卷含解析

四川省自贡市荣县第一中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设、、是互不相等的正数，现给出下列不等式⑴；⑵；⑶；⑷，则其中正确个数是（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：D略2.已知命题甲：A1、A2是互斥事件；命题乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：互斥事件与对立事件．专题：计算题．分析：两个事件是互斥事件，这两个事件不一定是互斥事件，当两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，命题甲不一定推出命题乙，命题乙一定能推出命题甲，得到结论．解答：解：∵两个事件是互斥事件，这两个事件不一定是互斥事件，当两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，∴命题甲不一定推出命题乙，命题乙一定能推出命题甲，∴甲是乙的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查互斥事件和对立事件的关系，若把互斥事件和对立事件都看做一个集合时，后者对应的集合是前者对应集合的子集．3.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（

）.ks5uA.充分而不必要

B.必要而不充分

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C4.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为A．90°B．120°C．135°D．150°参考答案：B5.在复平面内，复数对应的点位于第

象限．A．一

B.二

C.

三

D.四参考答案：C6.对于任意的且，函数的图象必经过点（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.直线截圆得到的弦长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.计算：=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】按照复数除法的运算法则，分子分母同乘以1﹣i，计算化简即可．【解答】解：===1+i故选A9.过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于

A．10B．8C．4D．6参考答案：D略10.“是假命题”是“为真命题”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中，各项系数的绝对值之和为。参考答案：12.若不存在整数满足不等式，则的取值范围是

参考答案：

略13.若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是

．参考答案：﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．14.已知正三棱锥的体积为，高为3cm，则它的侧面积为

cm2．参考答案：设正三棱锥底面三角形的边长为，则，底面等边三角形的高为，底面中心到一边的距离为，侧面的斜高为，.

15.已知复数Z满足，则复数Z=______________．参考答案：16.给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是

．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：①④【考点】平面的法向量．【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l?α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．17.设,则代数式=_________参考答案：【分析】由二项展开式，两边求导得，令，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可知，两边求导可得：，令，可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查了二项式定理的性质及其应用，以及导数的应用，其中解答中对二项展开式两边求导，再，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图，直二面角中，四边形是正方形，为CE上的点，且平面．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．参考答案：19．解：（1）平面………2分

∵二面角为直二面角，且，平面

………………4分平面．………………6分（2）（法一）连接与交于，连接FG,设正方形ABCD的边长为2,

，………………7分垂直于平面，由三垂线定理逆定理得是二面角的平面角………………9分由（1）平面，．∴在中，………………10分由等面积法求得,则∴在中，故二面角的余弦值为．………………14分（2）（法二）利用向量法，如图以之中点为坐标原点建立空间坐标系，………………7分则

…………8分

，………9分

设平面的法向量分别为，则由得，而平面的一个法向量………………11分

………………13分∵二面角为锐角，故二面角的余弦值为．…………14分（注：上述法向量都得加箭头，请自行更正）略19.已知圆A过点，且与圆B：关于直线对称.(1)求圆A的方程；(2)若HE、HF是圆A的两条切线，E、F是切点，求的最小值。(3)过平面上一点向圆A和圆B各引一条切线,切点分别为C、D，设，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值.参考答案：解:（1）设圆A的圆心A（a，b），由题意得：解得,设圆A的方程为，将点代入得r＝2∴圆A的方程为：（2）设，，则当且仅当即时取等号，∴的最小值为（3）由（1）得圆A的方程为：，圆B：，由题设得，即，∴化简得：∴存在定点M()使得Q到M的距离为定值. 略20.已知椭圆：（）的离心率为，为椭圆上位于第一象限内的一点.（1）若点的坐标为，求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上一点，且，求直线的斜率.参考答案：（1）解法1：∵椭圆的离心率为∴∴，即∴①又∵点..在椭圆上，∴②由①②解得，，∴所求椭圆的方程为解法2：由题意得，，∴设，（）则∴，将点代入得，，解得∴，∴所求椭圆的方程为（2）解法1：由（1）可知∴椭圆的方程为即，有，设，由得，∴，∵点，点都在椭圆：上，∴解得，，∴直线的斜率解法2：由（1）可知，即∴椭圆的方程为，即，有，设直线的方程为（），，由消去并整理得，∴∵，∴∵，∴，于是设直线的方程为（）由消去并整理得，解得或（舍去）于是，得又∵∴于是，即即（）解得∴直线的斜率为21.(本题满分10分)求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率。参考答案：设所求双曲线方程为带入，所求双曲线方程为又离心率略22.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且b=2，a＞c．（1）求ac的值．（2）若△ABC的面积S=，求a，c的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得：b2=ac，结合b=2，即可得解．（2）由S=acsinB=×sinB=，可解得：sinB=，cosB=±，又由余弦定理可得a2+c2=10，结合a＞c即可求得c，a的值．【解答】解：（1）∵