山西省吕梁市凤城中学高二数学理期末试卷含解析

山西省吕梁市凤城中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，一个骰子是由１～６六个数字组成，请你根据图中，，三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是（）

Ａ．６

Ｂ．３

Ｃ．１

Ｄ．２参考答案：A2.设变量满足约束条件：，则的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：D3.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为和,甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为:A．

B．

C．

D．参考答案：A4.过点M(－4，3)和N(－2，1)的直线方程是(

)A．x－y＋3=0

B．x＋y＋1=0

C．x－y－1=0

D．x＋y－3=0参考答案：B5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为

（

）A.锐角三角形B.直角三角形

C..钝角三角形

D.由增加的长度决定参考答案：A6.已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．5

B．8

C.

D.参考答案：C略7.若椭圆上一点P到左焦点的距离为5，则其到右焦点的距离为（）A.5 B.3 C.2 D.1参考答案：D解：由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=18.已知两点M（－2，0），N（2，0），点P满足=12，则点P的轨迹方程为

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.函数的一个零点所在的区间是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B10.直线x﹣y+3=0的斜率是（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：A【考点】直线的斜率．【分析】利用直线一般式的斜率计算公式即可得出．【解答】解：直线x﹣y+3=0的斜率=﹣=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是---____________

参考答案：【-1,1】12.已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11；

43=13+15+17+19；…若m3（m∈N+）的分解中最小的数为91，则m的值为．参考答案：10【考点】归纳推理．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立m3（m∈N*）的分解方法，从而求出m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，91是从3开始的第45个奇数当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个当m=10时，从23到103，用去从3开始的连续奇数共=54个．故m=10．故答案为：10【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．13.已知命题p：?x0∈R，3=5，则￢p为．参考答案：?x∈R，3x≠5【考点】命题的否定．【分析】由特称命题的否定方法可得结论．【解答】解：由特称命题的否定可知：￢p：?x∈R，3x≠5，故答案为：?x∈R，3x≠5．14.i是虚数单位，复数z满足，则=__________．参考答案：由题意可得：，则.

15.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是2的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为______．参考答案：1【分析】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OB＝OA，∠BOA＝90°，∠MBO＝∠OAN＝45°，而四边形ORQP为正方形，得∠NOM＝90°，所以∠MOB＝∠NOA，则△OBM≌△OAN，即可得到S四边形MONB＝S△AOB.【详解】解：连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，如图示：∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OA，∠BOA＝90°，∠MBO＝∠OAN＝45°，而四边形ORQP为正方形，∴∠NOM＝90°，∴∠MOB＝∠NOA，∴△OBM≌△OAN，∴S四边形MONB＝S△AOB2×2＝1，即它们重叠部分的面积为1，故答案为：1【点睛】本题考查旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质．16.已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为

。参考答案：517.不等式x(x－1)＜2的解集为________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，直线过点，且方向向量为；在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.（1）求直线的参数方程；（2）若直线与圆相交于、两点，求的值.参考答案：（1）设直线的倾斜角为，因为直线的方向向量为，所以.因为，所以直线的倾斜角为.所以直线的参数方程为（为参数），即（为参数）.（2）因为，所以，所以圆的普通方程为.将直线的参数方程代入，整理得.设方程的两根为，，则，，可见，均为正数.所以.19.如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求AB的中点M的轨迹方程参考答案：略20.（本小题12分）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.参考答案：【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面.

……（5分）（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE//PD，，又∵，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.……（7分）【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则，（Ⅰ）∵，∴，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面.……（5分）（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，

设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∵，∴，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

……（7分）21.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？参考答案：【考点】分层抽样方法；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．…（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5…（Ⅲ）由直方图，得：第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人，第5组人数为0.1×100=10人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．…所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为…【点评】本题主要考查频率分布直方图，平均数的求法和古典概率．22.如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结