北京市密云区2022-2023学年高二年级下册期末考试数学（含解析）

北京市密云区2022-2023学年高二第二学期期末考试

数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

1,已知集合A={T，°，1}，B={HMXT）K。},则A5=（）

A.0B.{0}C.{1}D.{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可求解.

【详解】解：B={x|x（x-l）<0}={%|0<x<l},A={-1,0,1},

A8={0,1},

故选：D

2.命题“VxeR,%2一2%+3>0”的否定为（）

A.VxeR,x2-2x+3<0B.VXGR,x2-2JC+3<0

C.玉eR,x2-2x+3<0D.3xeR,%2-2x+3<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.

【详解】因为命题“VxeR,x2-2x+3>0,5>则其否定为“HreR,x2-2x+3<0"

故选：D

3.已知。>6,则下列不等式中成立的是（）

222

A.2">2〃B.ab>bC.a>bD.^<|

【答案】A

【解析】

【分析】A选项可根据指数函数性质判断，BCD选项可以举反例得出.

【详解】A选项，根据指数函数y=2*（xeR）单调递增可知，a>》u>2">2JA选项正确；

BCD选项，取=B选项变成—1>1，C选项变成1>1，D选项变成1<一1，BCD均错误.

故选：A

4.5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名

方法的种数为（）

A.53B.35C.A；D.C；

【答案】B

【解析】

【分析】

把不同的报名方法可分5步完成，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，不同的报名方法可分5步完成：

第一步：第一名同学报名由3种方法

第二步：第二名同学报名由3种方法

第三步：第三名同学报名由3种方法

第四步：第四名同学报名由3种方法

第五步：第五名同学报名由3种方法

根据分步乘法计数原理，共有3x3x3x3x3=35种方法.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分步求解是解答的关键，着

重考查了分析问题和解答问题的能力.

5.下列函数中，在（0,+8）上单调递增的奇函数是（）

A.y=4xB.y=x-1C.y=ln|x|D.y=x-—

x

【答案】D

【解析】

【分析】由函数奇偶性的定义及对数函数与幕函数的性质即可求解.

【详解】对于A：y=6,定义域为［0,+e）,不关于原点对称，

所以y=4不具有奇偶性，故选项A错误；

对于B：y=X"',定义域为（-8,0）U（0,+8）,因为（一兀）7=-%7,所以y=/为奇函数，

由某函数性质可知y=/在（0,+8）上单调递减，故选项B错误；

对于C：y=ln|M，定义域为(-8,0)u(0,+oo),因为In卜x|=ln|x|,

所以函数y=ln|x|为偶函数，且xe(0,+8)时，y=\nx,

由对数函数的性质知函数y=Inx在(0,+00)上单调递增，故选项C错误；

对于D：y—%——,定义域为(-8,0)U(0,+oo),因为(-x)-(—)=—),

所以y=X—,为奇函数，又〉=%与丁=一！都在(0,+8)上单调递增，

XX

由单调性的性质可知y=X—』在(0,+8)上单调递增，故选项D正确.

X

故选：D.

6.某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢健、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各

比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最

后一场，则不同的安排方案种数为()

A.3B.18C.21D.24

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得：“多人多足'’有3种安排方法，再将踢健、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，由分

步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，

则“多人多足'’有3种安排方法，

将踢健、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，有A；=6种安排方法，

则有3x6=18种安排方法.

故选：B.

7.设/'(X)是函数“X)的导函数，y=/'(x)的图象如图所示，则y=/(x)的图象最有可能的是

【答案】C

【解析】

【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数/（X）的单调性即可判断.

【详解】由导函数的图象可得当x<0时，>0,函数/（x）单调递增；

当0<%<2时,r（x）<0,函数“X）单调递减；

当x>2时，用x）>0,函数/（X）单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选：C.

8.“1”<联”是“刀<丁”成立的（）

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数y=lgx的单调性化简l”<lgy,得0<x<y,从而根据充分条件与必要条件的定义判

断即可.

【详解】因为函数y=lgx在（0,+8）上单调递增，

由Igxclgy,可得0<x<y,

而"0<x<y”是“x<y”成立的充分不必要条件.

所以“lgr<lgy”是“x<y”成立充分不必要条件.

故选：A

9.单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：v=voln^一「其中

机।

犯，加2分别为火箭结构质量和推进剂的质量.%是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂

质量的2倍，火箭的最大速度为lOkm/s.则火箭发动机的喷气速度约为()(参考数据：ln2a0.7,

ln3»l.l.In4Kl.4)

A.15km/sB.25km/sC.35km/sD.45km/s

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，%1।j,其中叫=2〃?2，

则10=%lng=%(ln3—ln2)=0.4%,求得%=25.

故选：B

10.已知函数/(同=芸:/'(X)是"X)的导函数，则下列结论正确的是()

A.VXGR,=B.VxeR,<0

C.若0<西<工2，则%/(5)<w"/)D.若0"<々，则/(芯)+/(工2)</(%+9)

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性概念判断A,根据导函数的符号判断B,利用函数的单调性结合不等式的性质

即可判断C,利用特例法排除选项D.

【详解】对于A,函数定义域为R,f(-x)=±-^±=L^=-±-ZL,所以/(-x)=-f(x),错误；

2-*+11+2'2*+1

>—[?2x2rIn2

对于B,因为y(x)==l=i——J,所以曰(x)=，"一由ln2>0知/'(x)>0,错误；

2X+12*+1(2*+1)2

对于C,因为依eR,f'(x)>0,所以/(x)在(p,”)上递增，

x>0时，/(%)>/(0)=0,故对0<占<》2，0</(xJ</(%2),

由不等式的性质可得0<%/(玉)<々/(々)，正确；

144

取芯=1,%=2,则%+/=3,/(3)+/(%2)=百，/(%+々)=二，

此时，/(xj+/(马)>/(玉+々)，错误.

故选：C

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在(x+'l的展开式中，x的系数为；各项系数之和为.(用数字作答)

【答案】①.10②.32

【解析】

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的次数为1求出人再代入通项公式可求出x的系数,

令X=1可求出各项系数之和.

【详解】(X+L)的展开式的通项公式为方+1=C"5-r.[l)=C)5-2r,

令5-2r=1,得r=2,所以x的系数为C；=10,

令x=l,则(1+1)5=32,所以各项系数之和为32,

故答案为：10,32

12.已知x>l,那么x+—।—的最小值为.

【答案】3

【解析】

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】因为x>l,所以x-4>0,

当且仅当x-l=——，即x=2时取等号.

X—1

故答案为：3

13.在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则第1次

抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为；在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概

率为.

33

【答案】①.—##0.3②.一##0.75

104

【解析】

【分析】设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型

公式代入求解出P(A)与P(AB),再代入条件概率公式即可求解.

【详解】设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，

则尸⑷哈=|'c'c'3

所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为P(A8)

一c'c110

2

在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为P(B|A)=爷舁=¥=(

5

33

故答案为：6-

14.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与

创造的价值y(单位：元)之间的关系为：y=-20Y+2200X.如果这家工厂希望在一个星期内利用这

条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成

这个周创收目标，那么你的建议是.

【答案】摩托车数量在51到59辆

【解析】

【分析】根据题意可得-20f+2200%>60000,解不等式，且、取不等式解集中的正整数即可

【详解】由题意得-20x2+2200A->60000，化简得V一11()》+3000<0，

M(x-50)(x-60)<0,解得50cx<60,

因为x取正整数，

所以该工厂在这周内生成摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标.

故答案为：摩托车数量在51到59辆

-

15.已知函数/。)=,："X".

'7尤3一x+i,x>%

①若％=0,不等式/(x)<l的解集为；

②若函数g(x)=/(x)-l恰有两个零点，则实数%的取值范围为.

【答案】①.(0,1)②.-l<Zr<l

【解析】

【分析】（空1）左=0时;借助导数工具判断e'-x-lNO,结合三次函数的零点情况，分段求解不等式;

（空2）结合上一空e'-x-120进行零点个数判断

ex-x,x<Qer-x-l,x<0

【详解】攵=0时,小)=,

x3-x+l,x>0x3-x,x>0

x3-x<0x(x+l)(x—1)<0

令＜解得xw(0,l),

x>0

令h(x)-ev-x-l(x<0)，h'(x)=ex-1<0(x<0)，

即h(x)在xe(—8,0］上单调递减，于是h(x)＞〃(0)=0,

即e'—x—INO，即e'.-％-1<0无解,

综上可知，〃x)<l的解集为(0,1)；

e*—x—1x〈k

g(x)=4x)—l=<3'一，根据上一空的分析可知，ex-x-l>0，x=0取得等号,

X-X,X>K

故左<0时，e*-x-l=0无解，x3-x=0<^>x(x-l)(x+1)=0,x=-l>0或1，

%3一彳=0在x＞上时有2个根，即％=—1这个根需排除在外，则左2—1,于是一14后＜0；

当人20时，e'-x-l=0有唯一解x=0，于是/-%=0在%＞上时有1个根，

即x=l这个根需恰好被包含在内，故女＜1,即OWZ＜1.

综上所述，一14人＜1.

故答案为：（0,1）：—14女＜1

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间

［85,100］内为“体质优秀”，在［75,85）内为“体质良好”，在［60,75）内为“体质合格”，在［0,60）内为“体

质不合格现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下：

学生编号123456

测试成绩608580789091

(1)若该校高二年级有600名学生，试估计高二年级“体质优秀”的学生人数；

(2)若从这6名学生中随机抽取3人，记X为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求X的分布列;

(3)求(2)中X的均值.

【答案】(1)300；

(2)分布列见解析；(3)E(X)=1.

【解析】

【分析】(1)先计算出优秀率的估计值，再由频率和频数的关系求频数；

(2)可得X的可能取值为0,1,2,求出X取不同值的概率即可得出分布列；

(3)根据随机变量的均值公式求解.

【小问1详解】

高二年级随机抽取的6名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为g,

将此频率视为概率，估计高二年级“体质优秀”的学生人数为‘X600=300(人)；

2

【小问2详解】

高二年级抽取的6名学生中“体质良好''的有2人，非“体质良好”的有4人.

所以X的可能取值为0,1,2,

32

P(X=0)=/C°c=三1，P(X=1)=*c'C=守3P(X=2)=C/2cl=A1，

所以随机变量X的分布列为:

X012

32

P

555

I3i

【小问3详解】随机变量X的均值E(X)=0xs+lxm+2xg=l

17.已知函数/(x)=£-3x+Inx.

⑴求曲线y=在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)求函数/(力的单调区间和极值.

【答案】⑴"2=0；

(2)函数/*)的单调递增区间有(0,；),(1,+8),单调递减区间有

极大值为一■--In2,极小值为—2.

4

【解析】

【分析】（1）求函数/（X）的定义域和导函数，利用导数的几何意义求切线斜率，由点斜式求切线方程；

（2）解方程/'（%）=0求其根；由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值.

【小问1详解】

函数〃x）=x2-3x+hu的定义域为（0,+助，

导函数/'（x）=2x—3+」=（2t1）色;1）,

XX

所以/"）=0,/⑴=一2,

故切线方程为y+2=0；

【小问2详解】

由（1）=2%-3+-=；

XX

令r（x）=0,可得x=；或x=l,

当0<x<g时，制x）>0,函数〃x）在（0,£|上单调递增；

当g<x<l时，/（力<0,函数/（力在上单调递减；

当X>1时，制x）>0,函数/'（x）在上单调递增;

所以函数/（X）的单调递增区间有（1,-KO）,单调递减区间有

所以当x=，时，函数/（X）取极大值，极大值为了[:]=一2-1!12,

24

当x=l时，函数/（X）取极小值，极小值为了⑴=-2.

18.交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度客观指标，TP1越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI

实际行程时间

的公式为：TPI=二,并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级:

畅通行程时间

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图:

12月29日12月30日12月31日1月1日1月2日1月3日1月4日

....•.2023年---------2022年

（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；

（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI

高的天数记为X,求X的分布列及数学期望E（X）；

（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TP1依次记为

ax,a2,..a-）,将2022年同期TPI依次记为伪色，M，记q=q-4（7=1,2,,7）,请直

接写出上一4取得最大值时i的值.

【答案】（1）I2

（2）答案见解析（3）i=6

【解析】

【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解：

（2）结合题意先求出X的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；

（3）结合题意先求得ea-0.065,进而即可求解.

【小问1详解】

由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，

2

所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为

【小问2详解】

由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有.1月3日和1月4日这2天,

所以P(X=O)=|PM4

p(x=g*=IH

[2

P(X=2)=^CC=—5=-1

'7357

所以X的分布列为:

X012

241

P——

777

■双幻=。4+1+吗号

【小问3详解】

由题意，q=q—4=1.908-2.055=-0.147,

c2=a-,—b2=2.081—2.393=—0.312,

c3=a3-=1.331-1.529=-0.198,

=%—〃=L202—1.302=-0.1,

c5=a5-Z?5=1.271-1.642=-0.371,

06=4-％=2.256-1.837=0.419,

c-j=a-j-b-j=2.012-1.755=0.257,

1〃1

所以5==—x(—0.147—0.312—0.198—0.1—0.371+0.419+0.257)^—0.065,

7i=i7

所以除一同取得最大值时，z=6.

19.高尔顿钉板装置如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之

间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下

落的过程中每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板底部的格子中，格子从左

到右依次编号为0,1,2,…，10,用X表示小球最后落入格子的号码.

1n

(1)当X=4时，求小球向右下落的次数;

(2)求X的分布列;

(3)求E(X).

【答案】(1)4(2)分布列见解析

(3)5

【解析】

【分析】(1)根据试验即可求出；

(2)分析得到X进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率;

(3)利用期望公式求出期望.

【小问1详解】

当X=4时，则小球最终落入4号格子，则在通过的10层中有4层需要向右，6层向左,

故小球向右下落的次数为4；

【小问2详解】

设4=“向右下落”，响左下落”，则P(A)=P(^)=g，

因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，

而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X

X的可能取值为0，1，2,3,4,5,6,7,8,9,10,

所以P(x=o)y©*出、焉,P(X=D=C!©喘.

P(X=2)=C；。©4J=意，P(X=3)y(1J=合

4、5

P(X=4)=C：J；IX63

1丫果P(X=5)Y©4

2>7256

门、6/1\4P(X=7)=C：°]jxgJ=^

P(X=6)=C：°Kx-105

I，/I，，512

<IY15

尸(X=8)=C近P(X=9)=C：。-x-=---

2512

P(X=10)=C旧、10zJxO1

X—-1024,

所以X的分布列为：

X012345678910

14563451

P515105105155

1024102425610241024

512128512512茂512

【小问3详解】由(2)知

八115c45cl5)105厂63,10515c45

EX—0x+1x+2x+3x+4x+5x+6x+7x+8x

102451210241285122565121281024

+9x—+10x—?—=5.

5121024

20.已知函数/(x)=xe*-办(aGR).

(1)若y=/(x)在R上是增函数，求实数〃的取值范围;

(2)当。=1时，判断0是否为函数/(x)的极值点，并说明理由;

(3)判断了(X)的零点个数，并说明理由.

【答案】⑴,°°，一(

(2)是，理由见解析(3)答案见解析

【解析】

【分析】(1)对函数求导，若y=/(x)在R上是增函数，即r(x”0恒成立，得a<(l+x)e"设

g(x)=(l+x)e)求导后利用单调性求得函数的最小值，即可求得结果；

(2)/,(x)=(l+x)e'-l,令〃(x)=(l+x)e「1,对函数〃(x)求导后求得广(力的单调性即可判断

出结果;

(3)令/(x)=xe'-ar=O,即x(e'—。)=0,对。分类讨论求解方程的根，从而得出答案.

【小问1详解】

/(x)=xex—ax[aeR),则/'(x)=(l+x)ev-a,

若y=/(x)在R上是增函数，即/'(x)20恒成立，得aW(l+x)e、，

设g(x)=(l+x)e",g'(x)=(x+2)e",

g'(x)>0得x>—2,g'(x)<0得x<-2,

即g(x)在(f,-2)递减，在(-2,+8)递增，

贝iJg(x)Ng(-2)=-4，

e

故,即Qw1—00,--T.

e-Ie」

【小问2详解】

当a=l时，r(x)=(l+x)e"-l,

令/z(x)=(l+x)e*_l,〃(x)=(x+2)e*,

当xe(-2,+8)时，〃(x)>0,〃(x)单调递增，/'(x)单调递增，又/'(0)=0,

当xe(—2,0)时，/'(x)<0,4X)单调递减，

当xe(0,+8)时，f\x)>Q,/(x)单调递增，

故x=0是函数“X)的极小值点.

【小问3详解】

令/(x)=xe*—4a=0,即x(e，-a)=。,

当a«0时，e、-a>0，故〃力=。的根有1个，即x=0,则/(x)有1个零点；

当a=l时，由e=l=O,得x=0,故/(力=0的根