2023高考数学复习练35　导数与函数的零点

微专题35导数与函数的零点

高考定位导数与函数的零点问题是高考的热点题型.常见题型：⑴判断、证明或

讨论函数零点的个数；(2)已知零点存在情况求参数范围；(3)函数零点性质研究.

真题研析类题突破研真题析类题

［高考真题］(2022∙全国乙卷节选)已知函数|光)=Or-}-(α+l)ln乂若/(x)恰有一个

零点，求。的取值范围.

解由j(x)=aχ-~-(a+I)InX(X>0),得］=("~~1］~~

(x>0).

ɪ--X

当α=0时，f(.x)=~y~,

当x∈(0,1)时，/(x)>0,当九∈(1,+8)时，/(χ)<o,

所以7U)max=y∏)=—1<o,

所以yu)不存在零点；

a(ɪ-ɪ)(%—1)

,a

当lα<0时，/(%)=-------丁-------,

若x∈(0,1)时，/(x)>0,/)单调递增，

若x∈(l,+8)时，F(χ)VO,贝x)单调递减,

所以yζx)max=∕U)=α-1<0,

所以40不存在零点；

当α>0时，/(%)=-------M-------,

当a=1时，/(x)20,./(X)在(0,+8)上单调递增，因为人］)=a—1=0,

所以函数7(x)恰有一个零点；

当α>ι时，o<5vι,故7U)在(O,ɪ),(1,+8)上单调递增，在《，1)上单调递

减.

因为义l)=α-l>O,

所以∕⅛)>∕U)>o,

当Xfo'时，./(x)f—8,

由零点存在定理可知7U)在(0,；)上必有一个零点，

所以满足条件；

当OVaVI时，5>1,故段)在(0,1),(ɪ+8)上单调递增，在(1,%上单调递

减.

因为yo)=a—1V0,所以y⅛)PU)V0,

当Xf+8时，y(χ)f+oo,

由零点存在定理可知人X)在(1,+8)上必有一个零点，

即OVaVl满足条件；

综上，若火x)恰有一个零点，则”的取值范围为(O,+∞).

样题1(2022・合肥质检改编)证明：函数式x)=d—2sinχ-l在区间(0,兀)上有且仅

有一个零点.

证明∙.∙∕(x)=x2-2SinX—1,x∈(0,兀)，

.*.∕(x)=2χ-2cosX,

∙∙.∕(x)在区间(0,%)上单调递增.

,•词=2『郛0,

咯)=2传—0)>0,

,.(Tl兀、，一口

.∙.存在XO∈g,2)'使得/(龙。)=0∙

当x∈(0,祀)时，/(x)<0,人龙)单调递减；

当x∈(xo,兀)时，/(x)>0,7U)单调递增.

注意到式0)=—IVO,Λπ)=π2-l>O,

二函数T(X)在区间(0,兀)上有且仅有一个零点.

样题2(2022•青岛模拟改编)设函数TU)=InX+2f-5x,若关于X的方程/(x)=2f

十(加-6)尤在区间口，e2］上有唯一实数解，求实数机的取值范围.

解由/(x)=2Λ2+(m-6)X得InX=("2-l)x,

InY

又x>0,所以一：=〃?一1,

要使方程«x)=2^+(/77-6)X在区间［1,上有唯一实数解，

InY

只需"2=1+丁在区间［1,e?］上有唯一实数解.

Inγ

令g(x)=l+嗔-(尤>0),

-1—ɪnX

则g'(x)=F5—，

由g{x)20,得l≤x≤e;

由g<x)WO,得e≤x≤e2,

.∙.g(x)在区间［1,e］上单调递增，在区间［e,e4上单调递减,

.∙.当x=e时函数g(x)有最大值，且最大值为g(e)=l+1.

2

又g(l)=l,g(e2)=l+/

二当，”=1+£或1W”?Vl+1时，，”=1+?在区间［1,e2］上有唯一实数解，

二实数m的取值范围为，词lWm<l+∣或加=1+：］.

...........................2

样题3(2022・湖北七市联考)已知函数#x)=InX+1-2,^(Λ)=Λ1Πχ-ajσ~x+∖.

(1)证明：函数7U)在(1,+8)内有且仅有一个零点；

⑵假设存在常数2>1,且满足7U)=0,试讨论函数g(x)的零点个数.

12Y—2

(1)证明./0)的定义域为(0,+∞),求导，得了(X)=F—9=：一,

令1(X)=。，则x=2,

所以，当x∈(0,2)时,F(x)V0,丸力单调递减,

当x∈(2,十8)时，/(χ)>o,y(χ)单调递增，

因为41)=0,X2)=ln2-l<θ,

∕e2)=2+⅛-2>0,

结合单调性，./U)在(1,+8)内有且仅有一个零点.

(2)解令g(x)=0,即JdnX—ox2—x+1=0,

从而有0x=lnχ-1+二

X

令φ(x)=∖nX—1÷^x>0),

ʌ

从而g(x)的零点个数等价于y=cιx与9(元)图象的交点个数,

/11元一1

Sa)=Im=丫，

令d(X)=0,得X=1,

所以9(x)在(O,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,且矶χ)min=e(D=0,

当。=0时，直线y=αr与S(X)图象有一个交点，

当“V0时，直线y=0x经过二、四象限，与夕(X)图象无交点，

当α>0时，直线y=0x经过一、三象限，与s(x)图象至少有一个交点，

当直线y=ax与矶X)图象相切时，

设切点的横坐标为XO,

1=…)=~⅛,

则1I

ax。=InXo—1+—,

IXO

2

即有Inx+—-2=0,从而Xo=九

0ʌo

...11λ~1

此时a=y-^2=^2->0,

χ一ɪ

所以，当a=jh时，直线y=0r与矶x)图象有两个交点，

χ-ɪ

当OVaV二P一时，直线y=0x与S(X)图象有三个交点，

χ一j

当a>——时，直线y=0x与SQ)图象有一个交点，

综上所述，当qV0时，g(x)没有零点，

χ-j

当OVaV丁时，g(x)有三个零点，

χ一］

当时，g(x)有两个零点，

2—1

当或。=O时，g(x)有一个零点.

规律方法1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题.

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与X轴(或直线y

=Z)在该区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；

第三步：结合图象求解.

2.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依

据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.

训练1已知函数/U)=a(x—2)ev+(X-I)2,a>Q,α∈R,证明：函数y=∕(x)有两

个不同的零点∙

证明由题知f(x)=a(x-l)e'+2(x—I)=(X-I)(aev÷2),

当”>0时，tzeA+2>0,

由/(x)<0得x<l,

所以«x)在(-8,1)上为减函数，

由/(x)>O得x>l,

所以/U)在(1,+8)上为增函数，

而y∏)=-αe<O,Λ2)=l>0,

所以在(1,+8)上有唯一零点，

且该零点在(1,2)上.

取b<Q,且XIn

则型尸处-2W+S-1)2*S-2)+(-1)2=6-|b0,

所以HX)在(-8,1)上有唯一零点，

且该零点在屹，1)上，

所以当">o时，yu)恰好有两个零点.

训练2(2021•全国甲卷节选)已知。〉0且αWl,函数火X)=*(x>0),若曲线y=√(x)

与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.

4力zv/VInXlna

解∕χ)=-=1=∕=fQxlna=a∖nX=-T-

InY

设函数g(x)=q-(x>0),

I-Inx

则g'(X)=--，

令g<x)=O,得x=e,

在(0,e)±,g'(x)>O,g(x)单调递增；

在(e,+∞)±,g'(x)<O,g(x)单调递减,

∙∙∙g0)max=g(e)=(,

又g(l)=0,当Xf+8时，g(χ)-*O,

曲线y=∕ζχ)与直线y=l有且仅有两个交点，

即曲线y=g(x)与直线y=乎有两个交点的充要条件是0<⅛β<7,

ClClC

即是O<g(α)<g(e),

.∙.α的取值范围是(1,e)U(e,+∞).

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.已知函数y(x)=x3-依十斤.

(1)讨论大χ)的单调性；

(2)若7U)有三个零点，求Z的取值范围.

解(l)∕(x)=x3-⅛x+⅛2,/(X)=3Λ2-左，

当ZWO时，/(x)≥0,犬尤)在R上单调递增，

当%>0时，令『(九)>0,

解得XV-^∙y∣或χ>∖g,

令了(X)V0,解得一^∖j∣<χ<^ʌy∣,

综上，当ZWO时，.*X)在R上单调递增j

当上>o时,凡。在(一8,-∖∕D和+8)上单调递增，在(一∙"J∣,y∣j上

单调递减.

(2)由(1)得当k>0时，兀D极小僮=/(\电，./U)技大值=d一"

若/(χ)有三个零点，

p>o,

/A但l<rn4

解得女<，

"0<2/

F羽>。’

故Z的取值范围为(o,ʌ).

2.(2022•石豕庄模拟改编)若函数fix)—Cix^—Inx—x有两个零点，求实数α的取值

范围.

解由题可得，若函数人力有两个零点，

则方程lnx+χ-0r2=0有两个不等实根，

x+InX

即a=­h^(∙r>°)有两个不等实根・(*)

x+lnx

令am(x)=-p—

1—九一2InX

则mr(x)—

令Z(X)=I—x—2InX,

2

则kf(x)=—1—-<0对Vx>0恒成立,

.∙.⅛(x)在(0,+8)上单调递减.

又网D=O,，当尤£(0,D时,MX)>0；

当x∈α,+8)时，Za)<o,

，相⑴在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

••加(X)max=m(I)=L

当x>l时，InX>0,m(x)>0,

若(*)成立，则4G(0,1).

1,1-1

--Hn-ee-1

-戌-7<0，

2,2m22

-÷ln-

aαaaaq

卜---∏<∏a,

022联W

.∙.当α∈(0,D时,∕n(x)=α在(0,1),(1,+8)上各有一个根.

综上，实数α的取值范围是(0,1).

3.(2022・广州模拟)已知函数.*》)=炉+$血1χ-cosx,/(x)为式x)的导数.

(1)证明：当XNo时，/(九)22；

(2)设gθ)=/U)—2》一1,证明：g(x)有且仅有2个零点.

证明(1)由/(x)=e'+cosx+sin》,

设//(%)=e'+cosx+sinx,

贝!]Λ,(x)=ev-sinx+cosx,

当x20时，设Pa)=e*-χ-1,q(x)=九一sinx,

∙.∙p'(x)=e*-120,q'(x)=1—cosXe0,

.∙.p(χ)和g(χ)在[0,+8)上单调递增，

.∙.p(x)2p(0)=0,q(x)2q(0)=0,

当x20时，e*2x+l,XeSinx,

贝!］h'(x)=ev-sinx÷cosx>x+1—sinx+cosX=(无一sinX)+(1+cosX)20,

函数Λ(x)=ev÷cosx÷sinx在［0,+8)上单调递增，

Zz(X)NZz(O)=2,

即当XBO时，/(x)22.

(2)由已知得^(x)=ev÷sin%—cosx~2x~1,

①当x20时，

∙∙∙g'(x)=e"+cosΛ÷sinχ-2=∕(Λ)-2≥0,

.∙.g(x)在［0,+8)上单调递增,

又∙.∙g(0)=-l<0,g(π)=eπ-2π>0,

.∙.由零点存在定理可知g(x)在［0,+8)上仅有一个零点，

,2-sinx-cosx

②当x<0时，设〃?(X)=-------晟------，

2(sinx—1)一

贝Im'(x)-最≤θ>

.,.根(%)在(一8,0)上单调递减，

.*.m{x}>m(G)—1,

.".e'+cosx+sinx-2<0,

.∙.g'(x)=e*+cosx+sinɪ-2<0,

.∙.g(x)在(一8,0)上单调递减，

又Yg(O)=—1<0,^(-π)=eπ+2τι>0,

.∙.由零点存在定理可知g(x)在(-8,0)上仅有一个零点，

综上所述，g(x)有且仅有2个零点.

二'创新拓展练

4.(2022•成都二诊改编)已知函数√(x)=x+2-(α-I)InX—2,其中α∈R,讨论«r)

在区间［1,e4上零点的个数.

5(x÷l)(χ-<z)

解Λχ)=p(χ>0)∙

(1)当αWl时，/(x)20在口，e"上恒成立，Tu)在［1,e?］上单调递增.

VΛD=a-l≤0,Λe2)=e2+4-2α,

①当α≤0时，/(e2)=e2+^—2«

=e2+^^-2^j>0;

②当0<αWl时，Λe2)=e2+^-2α>2√o-2Λ=2√