2023年高考数学（新课标全国Ⅱ卷）试题试卷【含答案解析】

2023年高考数学（新课标全国II卷）真题试卷【含答案

解析】

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合4={0,-@,B={l,a-2,2a-2},若则a=（）.

2

A.2B.1C.1D.-1

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调

查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400

名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C：〉C盛种B.C/.CK种

c.c露嚼种D.C%C北种

4.若/(x)=(x+a)ln|^为偶函数,

贝ija=().

A.-1B.0C.：D.1

5.已知椭圆C：£+V=l的左、右焦点分别为K，F2,直线y=x+m与C交于4,B

3

两点，若△耳A8面积是面积的2倍，则机=（）.

_2

A.-B.—C.--D.

333~3

6.已知函数f（x）=4e,-lnx在区间（1,2）上单调递增，则。的最小值为().

-2

A.e2B.eC.e-1D.e

7.己知a为锐角，cosa=±^,则sin[=（）.

42

A3—A/5口—1+y[5p3—n-14-75

8844

8.记S〃为等比数列{叫的前〃项和，若§4=-5,S6=21S2,则S'=（).

A.120B.85C.-85D.-120

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPS=120°,B4=2,点

C在底面圆周上，且二面角P—AC-0为45。，则().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46兀

C.AC=141D.△PAC的面积为百

10.设。为坐标原点，直线y=-石(x-l)过抛物线C：V=2px(p>0)的焦点，且与C

交于M,N两点，/为C的准线，则().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.为等腰三角形

11.若函数〃x)=alnx+§+N"0)既有极大值也有极小值，则().

A.hc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

12.在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为a(0<a<l),

收到0的概率为1-£；发送1时，收到0的概率为万(0<力<1),收到1的概率为1一夕.

考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传

输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，

收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依

次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-0(1-02

B.采用三次传输方案，若发送I,则依次收到I,0,1的概率为"1-尸尸

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为夕(1-/『+(1-夕旷

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为。的概率大于采用单次传

输方案译码为0的概率

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a,1满足卜一5卜卜+a=悭一方卜则卜卜.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高

为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

15.已知直线/：x—而y+l=0与C:(x-lp+y2=4交于A,8两点，写出满足".ABC面

Q

积为的m的一个值____.

16.已知函数/(x)=sin(«yx+e),如图A,8是直线y与曲线y=/(x)的两个交点,

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤。

17.记A8C的内角A,8,C的对边分别为a,0,c,已知A8C的面积为。为8c中

点，且AD=1.

7T

⑴若ZADC=—,求tan8；

(2)若6+。2=8,求b,c.

除北靠数记sJ分别为数列也｝，闻的前

18.已知｛%｝为等差数列，b„=

〃项和，§4=32,7^=16.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)证明：当〃>5时，Tn>S„.

19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值。，将该指标大于c的人判定为阳性,

小于或等于C,的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记

为P(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为4(c).假设数据在组内均匀分布，

以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；

⑵设函数/(c)="©+q(c),当c«95,105］时,求/©的解析式，并求/(c)在区间

［95,105］的最小值.

20.如图，三棱锥A-8C3中，DA=DB=DC,BDLCD,ZAPS=ZAOC=60，E

为8c的点.

(1)证明：BCYDA-,

(2)点F满足EF=D4，求二面角。一>45-尸的正弦值.

21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2右,0),离心率为石.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A，&,过点(~4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,

M在第二象限，直线"A与N&交于点P.证明:点?在定直线上.

22.(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x;

(2)已知函数〃x)=cos奴-ln(l-吗，若》=0是的极大值点，求〃的取值范围.

1.A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

［详解］因为(l+3i)(3—i)=3+8i—3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

2.B

【分析】根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为4=8,则有：

若a—2=0,解得a=2,此时4={0,-2},3={1,0,2},不符合题意；

若2a—2=0,解得a=l,此时A={0,—1},B={l,-l,0},符合题意；

综上所述：a=\.

故选：B.

3.D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60*粤=40人,高中部共抽取60'第=2(),

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C北-c品种.

故选：D.

4.B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出。值，再检验即可.

【详解】因为f(x)为偶函数，则/(I)=/(-I),(1+«)In|=(-1+«)In3,解得a=0,

当a=0时，y(x)=xln||^,(2x-l)(2x+l)>0,解得x>g或x<-；,

则其定义域为卜|x〉g或关于原点对称.

〃T)=(T)In2,x11=(_x)]n2A+1=(_x)In(2A-]]=xln2a1=/(x),

'/、'2(-x)+l、,2x-l、7{2x+\J2x+lJ

故此时/(X)为偶函数.

故选：B.

5.C

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用A>0,求出川范围，再根据三角形面积比得

到关于优的方程，解出即可.

y=x+m

【详解】将直线丫=》+，〃与椭圆联立消去y可得4x2+6mx+3nr-3=(),

-+y2=1

3

因为直线与椭圆相交于A,B点，则A=36M-4x4(3*-3)>0,解得

设£到A8的距离46到A8距离&,易知耳(-四,0),^(V2,0),

mi1,I-V24-mI\y/2+m\

则4=-72-，4=

|-\[2+tn|

差=不焉？=需于=2,解得…孝或-3后(舍去)，

F2AB

6.C

【分析】根据尸(x)=ae,-：*O在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

【详解】依题可知，/(同=於'-：20在(1,2)上恒成立，显然。>0,所以xe-J

设g(x)=xe，,xe(l,2),所以g'(x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,

g(x)>g(l)=e,故e2L即aN」=eT,即“的最小值为e，

ae

故选：C.

7.D

【分析】根据二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【详解】因为cosa=l-2sin23=^叵，而a为锐角,

解得:

故选:

8.C

【分析】方法一：根据等比数列的前"项和公式求出公比，再根据邑,义的关系即可解出;

方法二：根据等比数列的前"项和的性质求解.

【详解】方法一：设等比数列几｝的公比为4,首项为％,

若夕=一1,贝|]5=0~5,与题意不符，所以qw-l；

若4=1,则§6=6“=3x2%=352wO,与题意不符，所以夕

由邑=-5,$6=215?可得，弘U)=_5,"'(iLzix"：-")①,

\-q"q1-q

由①可得，1+/+/=21,解得：＜72=4,

所以$8=x(1+q4)=-5x(1+16)=-85.

故选：C.

方法二：设等比数列｛。,,｝的公比为4，

因为S4=-5,S6=21S2,所以qx—1,否则$=0,

从而，S2,54-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,

2

所以有，(-5-S2)=5,(215,+5),解得：$2=-1或5=：,

当$2=—1时，52,S4—52,56—54,58—56,即为—1,一4,—16,$8+21,

易知，S8+21=-64,即§8=-85；

当s?=；时，Sa=q+%+“3+%=(q+2(i+q:!)=(i+4；!)s2>0，

与S*=-5矛盾，舍去.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等比数列的前"项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是

把握$4，醺的关系，从而减少相关量的求解，简化运算.

9.AC

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D

选项的正确性.

【详解】依题意，ZAPB=nO°,PA=2,所以OP=1,OA=OB=6,

A选项，圆锥的体积为:xl=7t,A选项正确：

B选项，圆锥的侧面积为兀乂有义2=26兀，B选项错误；

C选项，设。是AC的中点，连接8，9，

则ACLORACLPO,所以N/W是二面角P—AC—O的平面角，

则"£>0=45。，所以QP=OD=1,

故AD=CD=~J^i=6,则AC=2V5,C选项正确；

D选项，PD=Jl2+i2=72>所以S%c=gx2近x&=2,D选项错误.

故选：AC.

10.AC

【分析】先求得焦点坐标，从而求得?，根据弦长公式求得|加用，根据圆与等腰三角形的

知识确定正确答案.

【详解】A选项：直线y=-G(x-l)过点(1,0),所以抛物线C：V=2px(p>0)的焦点尸(1,0),

所以5=l,p=2,2p=4,则A选项正确，且抛物线C的方程为丁=4x.

B选项：设加(办,〉|)1(々,力)，

由卜=-&(x-l)消去)并化简得3X2_]0X+3=(X_3)(3X-1)=O,

y=4x

解得玉=3,X2=g,所以|四|=%+々+。=3+；+2=与，B选项错误.

C选项：设MN的中点为A,到直线/的距离分别为

因为d=g(4+dJ=g(|MF|+|NF|)=；|MN|,

即A到直线/的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线/相切，C选项正确.

D选项：直线y=-V^(x-1),即Vlr+y-G=0,

。至I」直线Gx+y-G=0的距离为4=巫，

2

所以三角形OMN的面积为=迪，

2323

由上述分析可知必=—后(3-1)=-26,、2二?>

所以|。徵=小32+(-2灼'=-/2\,\ON\==半,

所以三角形O仞N不是等腰三角形，D选项错误.

故选：AC.

11.BCD

【分析】求出函数/(X)的导数f(x),由已知可得/(X)在(0,+8)上有两个变号零点，转化为

一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数/(x)="lnx+2+二的定义域为(0,+co),求导得

Xx~

、ab2cax2-bx—2c

/W=----r--r=------3-----，

xx~xx

因为函数/(X)既有极大值也有极小值，则函数f(x)在(0,+«))上有两个变号零点，而〃

因此方程or?-bx-2c=0有两个不等的正根占，三，

△=/+Sac>0

于是，*1+々=°>。，即有匕2+8℃>0,ab>0,ac<0,显然a%c<0,即加•<(),A错

a

2c.

xx=--->0

.l2a

误，BCD正确.

故选：BCD

12.ABD

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率

计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0

接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-0(1-。)(1-口)=(1-。)(1-7?)2,人正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-0•/<1-0=尸(I-6):,B正确；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,I,1的事件和，

它们互斥，由选项B知,所以所求的概率为C；/(1一夕)2+(1-/)3=(1-夕)2(1+2/)，C错误;

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率尸=(l-a)2(l+2a),

单次传输发送0，则译码为0的概率2=1-&,而0<a<0.5,

因止匕P-P'=(l-c)2(l+2«)-(l-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即尸>P,D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互

斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.

13.6

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令-力，结合

数量积的运算律运算求解.

【详解】法一：因为,+司=忸一方|,即(a+0=(2a-b)2,

rrrrrrrr卡,5卬/口2

则。2+2ab+b2=4a2-4a-b+h29整理得。-2tz-Z?=0»

又因为卜―M=即

则£5+抹J、3,所以W=K.

iLITIrrrrrrrr

法二：设。=「_/7，则网=，3,(7+匕=<?+2匕,24-匕=2°+匕，

由题意可得：/+叫=(2c+A),贝匕2+4J+£2=42+4；.-2,

整理得：妹』2,即川=。=石.

故答案为：6

14.28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案：方法

二：根据台体的体积公式直接运算求解.

21

【详解】方法一：由于二=彳，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为gx(4x4)x6=32,

截去的正四棱锥的体积为:x(2x2)x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x（16+4+VIM）=28.

故答案为：28.

15.2（2,-2二,-《中任意一个皆可以）

22

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长|A8|,以及点C到直线A3的距离，结合面积

公式即可解出.

【详解】设点C到直线的距离为d,由弦长公式得|4?|=2"-],

所以SA.pc=2xd>2,4一“2=!’解得：d=也或d=还,

2555

由d="1=-rJ,所以下£^=芈或-？=三=芈，解得-：m=±2或，〃=士1.

+"，1+〃7,1+加5,1+452

故答案为：2中任意一个皆可以）.

22

【分析】设卜2，1兀]

,依题可得，%-玉=?,结合sinx=:的解可得,

62

0（X2-X）=g，从而得到。的值，再根据/（|兀）=°以及/（0）<0,即可得

/（x）=sin（4x-,n）,进而求得/（兀）.

【详解】设由网=看可得々-%=弓，

ITT5元

由sinx=7可知，%=一+2也或%=一+2E,kwZ,由图可知,

266

34+9—（叫+夕）=竟兀一弓=,，即矶'2一'J=g

co=4.

|兀sin(F+e)=O,所以,871+e=fat,即夕:一^8兀+反，keZ.

因为了

33

所以/(x)=sinf4x-^7r+^7rj=sin(4x--2|7t+farj,

3

所以/(x)=sin(4x-g;ij或f(x)=-sin(4x-g27r],

3

又因为f（0）＜0,所以/。）=$抽卜-,兀），.•./（JI）=sin（4兀-|兀

故答案为：-日

【点睛】本题主要考查根据图象求出。以及函数/（X）的表达式，从而解出，熟练掌握三角

函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键.

17.⑴*

(2)h=c=2.

【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出。，再利用余弦定理求解作答：方法2,利

用三角形面积公式求出。，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出。，再利用三角形面积公式求出-4X7即可求解作答；方

法2,利用向量运算律建立关系求出“，再利用三角形面积公式求出N4X;即可求解作答.

【详解】（1）方法1：在中，因为。为BC中点，ZADC=^,AD=i,

亭邛”小“=冬解得I，

在AABD中，ZADB=y,由余弦定理得『=BD2+AD2-2BD-ADcosNADB,

即c，2=4+l-2x2xlx=7,解得,=近，则cosB=7拶二]=侦,

2V7x214

sinB=>/l-cos2B=J-

由sin30

明以tan8D=----=——.

cosB5

TT

方法2：在ABC中，因为。为BC中点，ZADC--,AD=1,

则S=lAO,OCsinNA£)C=1xlx1ax@=@a='s,解得“=4,

ADC2222822

在，ACD中，由余弦定理得h2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADB,

即〃=4+l-2x2xlx；=3,解得b=6,AC2+AD2^4=CD2,则"AD苦,

C=3，过A作A£_L8C于E,于是CE=ACcosC=3,AE=ACsinC=也，BE=",

6222

所以tan8=M=立.

BE5

.11

c~=—a~9+l-2x—axlxcos(7r-/.ADC)

42

（2）方法1：在△ABD与48中，由余弦定理得＜

h2=—a2+l-2x—«xlxcosZADC

42

整理得3a2+2=〃+/,而〃+C、2=8,则4=26，

又Smrn'xGxIxsinNAQCu^，解得sinZADC=l,而°<ZA£>C<7t，于是ZAQC='，

A〃(,2▼22

所以6=c=+=2.

方法2：在ABC中，因为。为8c中点，则2AZ)=AB+AC，又CB=AB—AC，

4AD+CB2=(AB+AC)2+{AB-AC)2=2(b2+c2)=16，即4+/=I6，解得a=2后，

又SAr>c=—x^xlxsinZ.ADC=—,解得sinZADC=1,而0<ZADC<n,于是ZADC--,

A0C222

所以匕=c=j4C)2+C£>2=2.

18.⑴a“=2〃+3；

（2）证明见解析.

【分析】（1）设等差数列｛a,｝的公差为d,用4，”表示5,及T,,即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的结论求出5,,b„,再分奇偶结合分组求和法求出7；,并与5,作

差比较作答；方法2,利用（1）的结论求出S“，b„,再分奇偶借助等差数列前〃项和公式

求出T“，并与S”作差比较作答.

【详解】（1）设等差数列｛q｝的公差为d,而2=

则b、=%—6,Z?2=2a2—2q+2d,4=%—6=q+2d—6,

Sd=4a,4-6d=32

于是7>44+4d-12=16'解得q=5,d=2,〃，,—+3,

所以数列｛%｝的通项公式是a“=2〃+3.

(2)方法1：由(1)知，s“=〃(5+j+3)=”2+4〃,b“=2〃一3,〃=21,i*,

4/7+6,〃=2%

当〃为偶数时，包」+"=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

丁13+(6〃+1)n37

T„=--------------------=—fi~2+—n,

“2222

37i

22

当"〉5时，Tn-S„=(-n+-n)-(n+4n)=-n(n-l)>0,因此7；>S“，

3735

22

当〃为奇数时.，7；,=7；+1-^1=-(n+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-n-5,

351

当”〉5时，=(-rt2+-n-5)-(n2+4«)=-(n+2)(n-5)>0,因此方>S“,

所以当〃>5时，Tn>Sn.

2〃一3，〃=21入N.,

方法2：由(1)知，S“=〃(5+；〃+3)=〃2+4〃b“=

4〃+6,〃=2攵

当”为偶数时,

—1+2(〃-1)—3n14+4/7+6n3)7

T=(bb++)“_|)+(a+d++>)=-----------------------+------------------=-n~+-n,

nl+3222222

371

当〃〉5时，7；,-5„=(^n2+-/?)-(«2+4n)=-M(/7-l)>0,因此<>S“,

当〃为奇数时，若〃23,则

-1+2〃-3〃+l14+4(〃-1)+6n-\

T„=(b+b++b)+(b+b++"T)=

}3n24~2-22~

42532S

=|n+|M-5,显然Z=4=-1满足上式，因此当〃为奇数时，7；=jW+|n-5,

351

当"〉5时，?；,-S„=(-n2+-n-5)-(n2+4«)=-(n+2)(«-5)>0,因此方>S“,

所以当〃>5时，T„>Sn.

19.(l)c=97.5,?(<?)=3.5%；

〃「-0.008c+0.82,95do0=一,

⑵/(c)=„/小，最小值为0.02.

［0.01c-n0.o98,i1n0n0<cW105

【分析】(l)根据题意由第一个图可先求出c，再根据第二个图求出C297.5的矩形面积即

可解出；

(2)根据题意确定分段点100,即可得出/(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可

解出.

【详解】(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)当ce［95,100］时，

f(c)=p(c)+以c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0,82>0.02；

当ce(100,105］时，

/(c)=p(c)+z7(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

f-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=4,

［0.01c-0.98,100<c<105

所以〃C)在区间［95,105］的最小值为0.02.

20.(1)证明见解析；

⑵名.

3

【分析】(1)根据题意易证3C1平面磔，从而证得BCJ_44；

(2)由题可证平面88,所以以点E为原点，所在直线分别为x,y,z轴,

建立空间直角坐标系，再求出平面A8DA8F的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同

角三角函数关系即可解出.

【详解】(1)连接因为E为BC中点，DB=DC,所以DEL3c①，

因为ZM=£>8=DC,ZA£>B=NA£>C=60，所以ACD与△ABD均为等边三角形，

AC=AB,从而AE_LBC②，由①②，AEDE^E,AE,Ofu平面ADE,

所以，BC1平面A£)E,而A£>u平面A£)E,所以8c_LD4.

(2)不妨设£>A=03=OC=2,BDLCD,:.BC=2®,DE=AE=4i.

:.AE2+DE2=4=AD2>AEA.DE,又AELBCQE'BC=E,£>E,8Cu平面BC。

.•.AE_L平面BCD.

以点E为原点，EZ),EB,E4所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

y

设0(血,0,0),A(0,0,72),2(0,应,0),E(0,0,0),

设平面D4B与平面AB尸的一个法向量分别为仆=（历,加4）,〃2=（孙必*2），

二面角O-AB-尸平面角为。，而A8=（0,&,-四），

因为EE=D4=(-0,O,a),所以网-0,0,a),即有4/=(-夜,0,0),

「+V2z.=0

也，取％=1，所以勺=（1』』）;

-A/2Z0=0

,取必=1，所以丐=(0,1,1),

所以，际6|=稿=耳为邛，从而sin”「f邛.

所以二面角D—A8—尸的正弦值为更.

3

（2）证明见解析.

【分析】（1）由题意求得4,b的值即可确定双曲线方程;

（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线MA与N4的方程，

联立直线方程，消去结合韦达定理计算可得”x+2=-：1,即交点的横坐标为定值，据此

可证得点P在定直线k-1上.

【详解】（1）设双曲线方程为J—¥=l（a>0,〃>0）,由焦点坐标可知c=2后，

则由6=£=石可得。=2,b7c2-a1=4，

a

双曲线方程为

416

（2）由（1）可得4（-2,0）出（2,0）,设“（冷刈川（电,必），

显然直线的斜率不为0,所以设直线MN的方程为x=my-4,且-：<〃?<:，

22

联立可得（4m2-1）y?-32my+48=0,且△=64（4"，+3）>0

则小通=431'

直线”4的方程为）'=弓°（x+2）,直线“的方程为丫=%（7,

人•[1乙人，一乙

联立直线与直线NA2的方程可得：

x+2=%（玉+2）=-2）=阳|%-2（%+%）+2,

x-2*（±-2）y,（/n>2-6）my.y2-6yl

48△32m--16/n.

m-----z------2-----；-----F2y.—；-----Fzy..

=4m2-14雨2-1:=4>_]"=_1

48.—48/?2,一3'

mx6y.6y

W7-1''49m-'

由x士+2=-■1!•可得m-l,即与=-I,

x-23

据此可得点P在定直线x=-1上运动.

【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和

综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算,

是解题的关键.

22.(1)证明见详解(2)(-oo,-V2)(&,+oo)

【分析】(1)分别构建斤(x)=x-