2024年中考数学复习：等腰三角形中的解题模型与方法及练习题汇编（含答案解析）

2024年中考数学复习：等腰三角形中的解题模型与方法及练习题汇编

【解题模型与方法】

等腰三角形是考试中的中高难度题型，并且出现频率最高的特殊三角形，所涉及考查的内

容集中在等腰三角形的“三线合一”及“分类讨论”，特别是等腰三角形的分类讨论，是初二

各考试中几何压轴题的常客.

看到“等腰三角形”，首先考虑分类讨论：

一.对角的分类讨论。

题目等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角

度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。

二.对高的分类讨论

题目等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的

角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。

三.对边的分类讨论（重点考试方向：坐标系中的等腰三角形的分类讨论）

（一）普通题蛰

题目等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况

进行分类讨论。

（二）等腰三角形的两种分类讨论方法

1.“两圆一线”；

①以已知线段为底;作它的垂直平分线；②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长

为半径，分别作圆。一般有8个点，具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现

象。

两圆一线”一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形中，若是“两个动点一个定点”，

多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定

符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置.

2.“三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。

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常考经典考试题同步检测

考试范围：三角形；考试时间：100分钟

一.选择题（共10小题）

1.等腰三角形的一个角为50°,则顶角是（）度.

A.65°或50°B.80°C.50°D.50°或80°

2.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰△46C的周长为

20,其中一边长为8,则它的“优美比”为（）

A.AB.AC.4或2D.4或工

23332

3.一个等腰三角形的两条边分别是2融和5M，则第三条边的边长是（）

A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能确定

4.等腰三角形的一边长是6CR,另一边长是3c勿，则周长为（）

A.9cmB.12cmC.15c/nD.12c/z?或15cm

5.若实数底〃满足等式，1n2-41n+4+|〃-41=0.且〃、〃恰好是等腰△/L%的两条边的边长，则4

4%的周长是（）

A.8B.10C.8或10D.12

6.等腰阿的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程10广〃=0的两个实数根，则见的值

是（）

A.24B.25C.26D.24或25

7.若△/况■中刚好有N5=2NC,则称此三角形为“可爱三角形”，并且N4称作“可爱角”.现有

一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）

A.45°或36°B.72°或36°

C.45°或72°D.45°或36°或72°

8.如图，在中，/1==90°,/。8=36°,以C为原点，/C所在直线为y轴，及7所在

直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点也使△也6为等腰三角形，符合条件的“点

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A.5个B.6个C.7个D.8个

9.如图，在4X4的正方形网格中有两个格点4、B,连接48,在网格中再找一个格点C,使得△/笈

是等腰三角形，满足条件的格点。的个数是（）

C.8D.9

10.2）,若点P在x轴上，且心是等腰三角形，则点。的坐标不可

C.(1,0)D.(-V8.0)

11.如图，直角中，/4=20°,/6。=90°,点P在49上，过点？作掰J_47,垂足为

当△町为等腰三角形时，NOW的度数为

12.如图，NAOB=80°,0C平分NAOB,点帆E,N分别是射线勿，0C,加上的动点（ME,/V不

与点。重合），且,见物，垂足为点材，连接也V交射线宓于点尸.若△，磔'中有两个相等的角，

则NQMV的度数为.

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13.如图，在由边长为1的小正方形组成的5X5的网格中，点46在小方格的顶点上，要在小方

格的顶点确定一点G连接/C和8G使是等腰三角形.则方格图中满足条件的点C的个数

有个.

14.如图，在勿中，N劭0=90°,AB=2,/，=2我，将18绕点4逆时针旋转a度（0<a<

90）,得到4只当△力〃是等腰三角形时，点？到4。的距离为.

15.如图，△力6c中，AB^AC,/4=30°,射线0P从射线0开始绕点C逆时针旋转a角（0。<

a<75°）,与射线四相交于点〃将△/5沿射线少翻折至△4①处，射线与射线48

相交于点£若如是等腰三角形，则Na的度数为.

16.如图，中，N4=90°,4?=5,46=12,将△49C绕点，逆时针旋转a°（0°<a°

<90°）,得到△比色点儿8的对应点分别为〃，E,射线面分别交8GAB于点、F,他当4

朗咽为等腰三角形时，4"的长为.

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三.解答题(共6小题)

17.综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动.在勿中，/BAC

=90°,点〃在8c边上，将△/1比1沿4〃翻折后得到△力©,边/£和边4c重合时结束，边AE交

边优于点F.

(1)如图1,当/£上加时，求证：DE//AC.

A

(2)若/C=2N8,则NC=°,/B=°.(此结论在下面计算过程中可直

接用.)

①如图2,当如弦时，求/为。的度数.

②若折叠过程中，△必尸中有两个角相等，请直接写出此时/胡。的度数.

18.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.已知在平面内两点P\(小，力)，月(即，乃)，其两

点间的距离尸e=J(x「x2)2+(y「y2)2,同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标

轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为I必-为I或皿-力1.

(1)已知1(-2,3),B(4,-5),试求4、8两点间的距离；

(2)已知一个三角形各顶点坐标为1(-1,3)、B(0,1),C(2,2),请判定此三角形的形

状，并说明理由.

(3)已知4(2,1),在x轴上是否存在一点尺使一为等腰三角形，若存在请直接写出点

。的坐标；若不存在请说明理由.

19.已知在△45C中，AB^AC,点。是边49上一点，NBCANA.

(1)如图1,试说明朗="的理由;

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(2)如图2,过点6作坊工亦，垂足为点反段'与勿相交于点色

①试说明/应力=2/&%的理由；

②如果△应产是等腰三角形，求N4的度数.

20.在等腰直角三角形/比■中，//。=90°,/IC=8G点P为直线上一个动点，绕点C将射线

"逆时针旋转45°,交直线46于点0.

图1图2备用图

在图1中，将绕点。逆时针旋转90°得到48垢连接他，

■:NACRNBCg45°,ZACP^ABCM,

/?g45°=/PCQ,

又,：CP=CM,CQ=CQ,

:ZCgXMCQ.

请阅读上述过程，并完成以下问题：

(1)得出的依据是(填序号).

①SS5

②倒S

③/MS

@HL

(2)在以上条件下，如图2,当点尸在线段用的延长线上时，求证：P0=AF+BG.

(3)在等边三角形/8C中，8C=2,点尸为射线为上一个动点，将射线CP绕点、C逆时针旋转30°

交直线胡于点。，将△加E绕点C逆时针旋转60°得到△倒心连接M0,当48%为直角三角形

时，请直接写出4P的长.

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21.已知△力%是等边三角形.

(1)如图1,点〃是边的中点，点尸为射线/C上一动点，当是轴对称图形时，AAPD

的度数为:

(2)如图2,四〃84点。在46边上，点厂在射线AF上，且加=眦作用口〃1于C,当点。

在48边上移动时，请同学们探究线段AP,AC,4;'之间有什么数量关系，并对结论加以证明；

(3)如图3,点尸在8c延长线上，连接小，〃为"上一点，AD=BC,连接仍交〃'于其若AE

=2〃，DF=n,直接写出线段臾的比值为

AF

22.综合与实践

问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1,已知

中，AB=AC,N8=40°.将△力力从图1的位置开始绕点力逆时针旋转，得到△力〃(点〃，

£分别是点8,<7的对应点)，旋转角为a(00<a<100°),设线段］〃与回相交于点弘线

段应1分别交6C,于点0,N.

特例分析：(1)如图2,当旋转到旗时，旋转角a的度数为；

探究规律：(2)如图3,在△45C绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM

始终等于线段/V,请你证明这一结论.

拓展延伸：(3)①直接写出当△仇力是等腰三角形时旋转角a的度数.

②在图3中，作直线加，"交于点A直接写出当△侬是直角三角形时旋转角a的度数.

(4)连接加，在旋转过程中是否存在角a,使四边形4皮那是平行四边形？若存在，直接写出a

的度数；如果不存在，请说明理由.

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等腰三角形中的解题模型与方法

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.等腰三角形的一个角为50°,则顶角是（）度.

A.65°或50°B.80°C.50°D.50°或80°

【答案】D

【解答】解：分两种情况：

当等腰三角形的顶角为50°时，则它的底角=18°°-50°=65°；

2

当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角=180°-2X50°=80°；

综上所述：它的顶角是50°或80°,

故选：D.

2.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰的周长为

20,其中一边长为8,则它的“优美比”为（）

A.AB.AC.或2D.2或工

23332

【答案】D

【解答】解：分两种情况：

当等腰三角形的腰长为8时，

•.•等腰的周长为20,

它的底边长=20-8-8=4,

它的“优美比”=匡=」；

82

当等腰三角形的底边长为8时，

•.•等腰△48C的周长为20,

.•.它的腰长=2X（20-8）=6,

2

它的“优美比”=&=生

63

综上所述：它的“优美比”为刍或工，

32

故选：D.

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3.一个等腰三角形的两条边分别是2金和5金，则第三条边的边长是（）

A.2cmB.5cmC.2c勿或5czsD.不能确定

【答案】B

【解答】解：分两种情况：

当等腰三角形的腰长为2cm,底边长为5c灯时，

：2+2=4V5,

不能组成三角形；

当等腰三角形的腰长为5.，底边长为2狈时，

.•.等腰三角形的三边长分别为5c加，5cm,2cm,

综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5项，

故选：B.

4.等腰三角形的一边长是6颂，另一边长是3M，则周长为（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12c勿或15cm

【答案】C

【解答】解：分两种情况：

当等腰三角形的腰长为6。0，底边长为3c勿时，则它的周长=6+6+3=15（cm）；

当等腰三角形的腰长为39，底边长为6c卬时，

：3+3=6,

不能组成三角形；

综上所述：它的周长为15加，

故选：C.

5.若实数0、〃满足等式｛1n2-41n+4+1〃-41=0.且如、〃恰好是等腰△46。的两条边的边长，则4

49C的周长是（）

A.8B.10C.8或10D.12

【答案】B

【解答】解：•.,4>2_4111+4+|〃-41=0,

•W（m-2）2+5-4|=0,

:.m-2=0,n-4=0,

・••加=2,〃=4,

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分两种情况：

当等腰三角形的腰长为2,底边长为4时，

72+2=4,

不能组成三角形；

当等腰三角形的腰长为4,底边长为2时，

.•.4+4+2=10；

综上所述：△力比■的周长是10,

故选：B.

6.等腰的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程10广卬=0的两个实数根，则）的值

是（）

A.24B.25C.26D.24或25

【答案】D

【解答】解：方程10廿〃=0的有两个实数根，则A=100-4〃20,得卬＜25,

当底边长为4时，另两边相等时，xi+x2=10，；♦另两边的长都是为5,则仍=XI*2=25；

当腰长为4时，另两边中至少有一个是4,则4一定是方程『-10户加=0的根，代入得：16-40+卬

=0

解得面=24.

的值为24或25.

故选：D.

7.若△/比■中刚好有N5=2NC,则称此三角形为“可爱三角形”，并且N4称作“可爱角”.现有

一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）

A.45°或36°B.72°或36°

C.45°或72°D.45°或36°或72°

【答案】C

【解答】解：①设三角形底角为a,顶角为2a,

则a+a+2a=180°,

解得：a=45°,

②设三角形的底角为2a,顶角为a,

则2a+2a+a=180°,

解得：a=36°,

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A2a=72°,

...三角形的“可爱角”应该是45°或72°,

故选：C.

8.如图，在口△/6C中，ZACB=90°,/。8=36°,以C为原点，47所在直线为y轴，3c所在

直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点〃使△物6为等腰三角形，符合条件的，"点

【答案】D

【解答】解：（1）当46是底边时，作4?的垂直平分线分别与x轴负半轴相交，共两个交

点，都符合条件；

（2）当力8是腰时，①以点力为圆心4?长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相

交，共三个交点，都符合条件；

②以点6为圆心4?长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都

符合条件，

因此共有8个符合条件的点.

故选：D.

9.如图，在4X4的正方形网格中有两个格点从B,连接46,在网格中再找一个格点C,使得a'

是等腰三角形，满足条件的格点，的个数是（）

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【解答】解：如图:

当物=%时,以点8为圆心，砌长为半径作圆，点G,Q,G即为所求;

当46=然时,以点力为圆心，4?长为半径作圆，点4,Q,Q,G，娱即为所求;

当时,作4?的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上,

综上所述：满足条件的格点。的个数是8,

故选：C.

10.如图,点力的坐标是（2,2）,若点尸在x轴上，且△4P0是等腰三角形，则点尸的坐标不可

C.(1,0)D.(-V8,0)

【解答】解：过点4作轴，垂足为8,

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•'♦^=VAB2-K）B2=V22+22=2^2>

分三种情况：

当4什］々2加时，以点力为圆心，力。长半径作圆，交x轴于点外，

'：AO=APi,轴，

：.OP\=2OB=4,

二4的坐标为（4,0）；

当勿=8=2。5时，以点。为圆心，的长半径作圆，交x轴于点月，月，

•••2的坐标为（2加,0）,月的坐标为（-2&,0）；

当m=处时，作》的垂直平分线交x轴于点打，

月的坐标为（2,0）；

综上所述：点户的坐标可能是（4,0）或（2&,0）或（-2A/5，0）或（2,0）,

.•.点。的坐标不可能是（1,0）

故选：C.

填空题（共6小题）

11.如图，直角△/优中，ZJ=20°,/8。=90°,点尸在上，过点？作门归垂足为M

当△6CP为等腰三角形时，的度数为55°或40°或70°.

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B

CM

【答案】55°或40°或70°♦

【解答】解：：//=20°,ZBCA=90°,

.../6=90°-/4=70°,

'：PMLAC,

：.Z^=90°,

ZBM=ZBCA=90°,

：.BC//PM,

"CPQNBCP,

分三种情况：

当8C=BP时,

48gNBPC=I：8。YB=55。,

2

"CRQNBC-55°；

当"=。＞时，

：.NB=/CPB=1Q°,

：.ZJ?CP=180°-ZB-ZCPB=40°,

：.4CPQNBCP40°；

当P8=PC时,

:.ZB=NBCP=1Q°,

：.ZCPM=ABCP=1Q°；

综上所述：当为等腰三角形时，/（7W的度数为55°或40°或70°，

故答案为：55°或40°或70°.

12.如图，ZJ6®=80°,OC平分N40B,点M,E,N分别是射线以，OC,加上的动点（材，£,N不

与点。重合），且必5工如，垂足为点瓶连接也V交射线宛于点凡若△，磔■中有两个相等的角，

则/Q脏的度数为10°或25°或40°.

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【解答】解：仍=80°,0c平分//必，

.../40£?=工/4施=40°,

2

,：MEVOA,

二/如490°-//您=50°,

①当NEMF=NMEF=50°时，

则NQMk90°-NEMF=9Q°-50°=40°；

②当/包肥=乙物叨时，

则/“如=工(180°-NOEM)=Ax(180°-50°)=65°,

22

那么N。粉-90°-NEMF=9Q°-65°=25°；

③当乙圾?=乙监尸=50°时，

则/6gl80°-ZMEF-ZJ/R5'=180°-50°-50°=80°

那么NQ肠490°-ZW=90°-80°=10°：

综上，邠的度数为10°或25°或40°,

故答案为：10°或25°或40°♦

13.如图，在由边长为1的小正方形组成的5X5的网格中，点46在小方格的顶点上，要在小方

格的顶点确定一点C，连接和6G使是等腰三角形.则方格图中满足条件的点C的个数

【解答】解：如图所示:

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分两种种情况:

当C在G，&,G，&位置上时，AC=BC；

当，在G，G位置上时，AB=BC；

即满足点「的个数是6,

故答案为:6.

14.如图，在初中，/胡片90°,AB=2,/片2日，将48绕点4逆时针旋转a度(0<a<

90),得到"只当△力分是等腰三角形时，点P到力〃的距离为返■或1.

一3

【答案】运或1.

3

【解答】解：•:/BAD=9Q：AB=2,4〃=2禽,

•,*®=VAB2+AD2=V22+(2V3)2=4,

由旋转得：AB=AP=2,

分两种情况：

过点〃作加工/凡垂足为过点P作总/〃，垂足为反

：.AF^FP^^AP^\,

2

第16页共37页

22

DF=VAD-AF=V（2V3）2-12=vn,

ZUZW的面积=24＞加=工4户母；

22

；.2MPE=2X4X1,

解得：必•='运，

3_

.,.点尸到4?的距离为亚1_；

3

当为=如时，如图：

当点一落在物的中点时，则8A蚪工劭=2,

2

,:PA=PA2,PG1AD,

:.AG=DG,

是△1龙的中位线，

：.PG=^AB=1,

2

...点尸到/〃的距离为1；

综上所述：点一到/〃的距离为运•或1,

3

故答案为：运或1.

3

15.如图，△力比中，AB=AC,//=30°,射线（T从射线。开始绕点C逆时针旋转a角（0。＜

a＜75°）,与射线48相交于点〃，将△/口沿射线翻折至CD处,射线与射线AB

相交于点反若△©如是等腰三角形，则Na的度数为22.5°或67.5°或45°

【解答】解：由折叠得：AACD=AA'CD=a=XzACA',ZA=ZDA'C=30°,

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分三种情况：

当HD=A'£时，如图:

2

即是龙的一个外角，

C.^ACE^ZA'£9-乙4=45°,

：.ZACD=ZA'CD=a=lzAC,f=22.5°；

2

当/D=A'f时，当和△/比1位于射线48的同侧时，如图:

DE=AA'ED=1ZCA'〃=15°，

2

AZACA'=1800-N4-N/'朋=135°,

J.AACD^AA'CD^a^XzACA'=67.5°；

2

当DA'=应'时，

AZA'=NDEA'=30°,

VADEA'是△4四的一个外角，

AADEA'>30°,

此种情况不成立；

当初=必'时，如图：

第18页共37页

:.NDEA'=180°-£EDA'-Z.A'=120°,

VZA'功是△［四的一个外角，

：.ZACE=ZA'ED-NA=90°,

；.N4cgN4'但a=l_/{g45°；

2

综上所述：若△"庞,是等腰三角形，则/a的度数为22.5°或67.5°或45°,

故答案为：22.5°或67.5°或45°.

16.如图，中，ZJ=90°,AC=5,48=12,将△/比■绕点C逆时针旋转a°(0°<a°

<90°),得到△%G点、A,8的对应点分别为〃，E,射线切分别交8C,AB于点、F,M,当4

物方为等腰三角形时，4"的长为，坛-1或1.

【答案】J诟-1或L

【解答】解：分两种情况:

①当出'=5犷时，如图：

,:BF=RM,

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:.ABFM=/BWIF,

•:4B=/E,4BFM=4CFE,

：.4BMF=/ECF,

:./ECF=CFE,

:.FE=CE,

在RtZUAC中，ZJ=90°,AC=5,49=13,

:・BC=13,

:・FE=CE=BC=\3,

：.FD=FE-%'=13-12=1,

■:4CDE=9。。,

AC77=VCD2+FD2=V26'

:.BM=BF=BC-6^=13-726，

：.AM=AB-Btlf=12-(13-A/26)=726~1-

②当尸8=EM时,过点尸作/W_L6V于点M如图:

1/D：-

AMN

,:FB=FM,

：.NFBM=ZFMB,

VZB=AE,NBFM=/CFE,

：./妍=AECF,

:./ECF=CFE,

：.FE=CE,

设FE=FC=x,则¥=5二(12-x)?，

解得了=3，

24

/.g凶2,BF=BC-CF=13-凶

242424

'：FN//AC,

第20页共37页

143

•BFBNW~2TBN

BCAB1312

:.BN=143,

26

,:FB=FM,FN1BM,

.•.廓’=楸'=连＞,

26

：.BM=BN^MN^143,

13

J.AM^AB-BQ12-堂隆1,

13

综上所述，满足条件的4"的值为倔-1或1.

故答案为：726-1或1.

三.解答题（共6小题）

17.综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动.在△/比■中，ABAC

=90°,点〃在灰边上，将△/勿沿/〃翻折后得到△/被边熊和边4c重合时结束，边AE交

边6c于点F.

(1)如图1,当丝上8。时，求证：DE//AC.

A

(2)若NC=2N8,则NC=60。,NB=30°.(此结论在下面计算过程中可直接用.)

①如图2,当〃，和时，求N为。的度数.

②若折叠过程中，△外尸中有两个角相等，请直接写出此时N阴。的度数.

【答案】(1)证明见解答；

(2)60,30；

①/协Q15°；

②/胡。的度数为22.5°或45°.

【解答】(1)证明：以C=90°,AELBC,

第21页共37页

：.ZB+ZC=90°,ZG4MZC=90°,

：./B=/CAF,

由翻折可得：NB=/E,

:./CAF=/E,

:.AC"DE.

(2)解：•・•/以。=90°,

・・・NeN〃=90°,

VZC=2ZA

；・3N8=90°,

・・・/6=30°,

：.ZC=G0°,

故答案为：60,30.

①'：DEIBC,/E=/B=30°,

：./DFE=60°,

♦：/DFE=/BAF,

：.ZBAF=ZDFE-ZB=&0°-30°=30°,

由翻折可得：NBAgL/BAF=15；

2

②/DFE=/B+NBAFWNE；

当/&火=N&叨时，

•.•/«=30°,

.\ZW=A(180°-/£)=75°,

2

•：ZEFD=N映4BAF,

：./BAF=NEFD-4B=75°-30°=45°,

:.NBAgL/BAF=22.5。；

2

当NFDE=NE=3Q°时，

:.NDFE=18G°-ZFDE-Z£=120°,

：.ZAFB=180°-NDFE=60°,

:.点、F、C重合,

第22页共37页

，N班片工/物C=45°；

2

；./胡。的度数为22.5°或45°.

18.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.已知在平面内两点P、(小，力)，P2(即，%),其两

点间的距离八2=｛频1_*2)2+6172产.同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标

轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为I次-川或I汝-力I.

(1)已知/(-2,3),8(4,-5),试求从8两点间的距离；

(2)已知一个三角形各顶点坐标为1(-1,3)、B(0,1),。(2,2),请判定此三角形的形

状，并说明理由.

(3)已知4(2,1),在x轴上是否存在一点只使△力。为等腰三角形，若存在请直接写出点

户的坐标；若不存在请说明理由.

【答案】(1)10;(2)直角三角形，理由见解析；(3)尸(代，0)或(-依，0)或(4,

0)或(丝，0).

4

【解答】解：(1)•••/(-2,3),8(4,-5),

•••"=4(-2-4/+(3+5)2=10；

(2)直角三角形，理由如下：

•：A(-1,3)、8(0,1)、C(2,2),

/W=V(-1-0)2+(3-1)2=A/5>

AC=yl(-^2)2+(3-2)2=^/10，

BC=V(0-2)2+(l-2)2=遥1

:.A)+BE=Ad,

...△4回是直角三角形；

(3)存在，

,：A(2,1),

第23页共37页

fl4=V（0-2）2+（0-1）2=Vs，

当阵遥时，P（遥，0）或（-依，o）,

当4=4尸时，过点4作4U_x轴于。，

当用=尸0时，

设PA=PO=x,则PD=2-x,

■:A^=AlhP讥

4

，户也，0），

4

综上，P（Vs,0）或（-匹,0）或（4,0）或（立，0）.

4

19.己知在△4?。中，AB=AC,点。是边46上一点，ZBCD=NA.

（1）如图1,试说明必="的理由；

（2）如图2,过点6作坊L4G垂足为点反段'与切相交于点长

①试说明/及力=2/鹿的理由；

②如果△质是等腰三角形，求N4的度数.

图1图2备用图

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【答案】(1)说明过程见解答；

(2)①说明过程见解答；

②如果△叱是等腰三角形，/力的度数为45°或36°♦

【解答】解：(1)-：AB=ACf

：.ZABC=/ACB,

V是的一个外角，

:・/BDC=4A+/ACD,

/ACB=/BC>/ACD,4BCD=/A,

：2BDC=2ACB,

：.ZABC=ZBDC.

：.CD=CB：

(2)①・"_L47,

:./BEC=9G0,

:・/CBE%ACB=90°,

设/鹿=a,则乙4徵=90°-a,

AZACB=ZABC=ZBDC=9Q°-a,

：.ZBCD=1800-ZBDC-ZABC=180°-(90°-a)-(900-a)=2a,

：.ZBCD=2ZCBE；

②TN药。是△吸的一个外角，

：.ABFD=ACBE^ABCD=a+2a=3a,

分三种情况：

当BD=BF时,

"BDC=4BFD=3a,

VZACB=ZABC=ZBDC=90°-a,

A90°-a=3a,

:.a=22.5°,

:・/A=/BCD=2a=45。；

当庞=加'时，

:・/DBE=/BFD=3a,

■:/DBE=/ABC-/CBE=900-a-a=90°-2a,

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.".900-2a=3a,

a=18°,

：.ZA=ZBCD=2a=36°；

当FB=FD时,

：.4DBE=/BDF,

"：NBDF=ZABO/DBF,

，不存在FB=FD,

综上所述：如果△叱是等腰三角形，//的度数为45°或36°.

20.在等腰直角三角形力欧中，/ACB=90°,4C=6G点0为直线力6上一个动点，绕点C将射线

"逆时针旋转45°,交直线45于点0.

图1图2备用图

在图1中，将绕点C逆时针旋转90°得到4区垢连接第，

■：NACRNBCg45°,NAC4NBCM,

，乙必g45°=ZPCQ,

又,：CP=CM,CQ=CQ,

:,△PCgXMCQ.

请阅读上述过程，并完成以下问题：

(1)得出四△，械%的依据是②(填序号).

①SSS

②必S

③A4s

®HL

⑵在以上条件下，如图2,当点〃在线段窗的延长线上时，求证：PG=AF+B@.

(3)在等边三角形/6C中，6C=2,点户为射线物上一个动点，将射线CP绕点、C逆时针旋转30°

交直线为于点0,将△如&绕点。逆时针旋转60°得到△8必，连接，图，当附为直角三角形

时，请直接写出力户的长.

第26页共37页

【答案】(1)②；

(2)证明过程见解答；

(3)愿-1或蓊+2

【解答】(1)解：•••推理过程中判定的条件是两边和夹角对应相等,

得出△△(%总的依据是SAS,

故答案为：②；

(2)证明：如图1,将△加T绕点C逆时针旋转90°得到△身心连接,第

N/&=45°-ZPCA,

:.ZBCg9Q°-(45°-ZPCA)=45°+ZPCA,

,：/PCA=ABCM,

:.乙MCQ=4BCQ-4BC44BCQ_/AO=45°+Z.PCA-NA窃=45°,

Z.MCQ=Z.PCQ,

又,：CP=CM,CQ=CQ,

：./\PCQ^/\MCQ{SAS},

：.QM=QP,

,：ZACB=90°,AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=A5°,

处仁乙班C=135°,

...NQ5Q90°,

:.MG=B而+B4,

又,：AP=现,QM=QP,

:.Pd=A^+Bd；

(3)分两种情况：①如图2,当/浏@=90°时，

第27页共37页

c

又・・・N烟=60°,

:./QBM=1200-60°=60°,

:.BM=LBQ,QM=MBM,

2

设用=BM=a,则BQ=2a,PQ=QM=^3a,

:・AQ=PQ-PA=Ma-a=Ma-a,

•:AB=A/BQ,AB=2,

；・-a+2a=2,

・，.-1，

即心的长为我-1；

②如图3,当NMQB=900时，

又TN烟=60°,

・・・/例三120°-60°=60°,

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：.BM=2BQ,QQMBQ,

设则园=」a,Qi/="?=退_a,

22

AQ—x-2/l-x,

2

,:BA=BQ-AQ,

“1/V3so

.•x—x-(x-^~x)=2'

.,•^=2V3+2；

综上所述，心的长为百-1或K6+2.

21.已知是等边三角形.

(1)如图1,点，是边的中点，点尸为射线/C上一动点，当△口)「是轴对称图形时，AAPD

的度数为15°或60°或105°；

(2)如图2,〃比1，点〃在49边上，点尸在射线"上，豆DC=DF,作用口〃1于G,当点，

在A?边上移动时，请同学们探究线段4。，AC,4尸之间有什么数量关系，并对结论加以证明；

(3)如图3,点尸在比延长线上，连接"；〃为"上一点，AD=BC,连接协交/C于£,若然

=2〃，DF=n,直接写出线段双的比值为1.

AF~7~

【答案】(1)15°或60或105°:

(2)AC^AIAAF.证明过程见解答；

(3)A.

7

【解答】(1)解：当△口人是轴对称图形时，其一定是等腰三角形，

•••△/8C是等边三角形，

；.N4g60°,

•.•〃是四边的中点，

:.CD平-分乙ACB,

：.AACD=ABCD=^,

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当