2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡湘府中学高二（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡湘府中学高二（上）入

学数学试卷

一、单选题（40分）

1.（5分）已知αeR,（l+67∕）i=3+i（i为虚数单位），则4=（）

A.-1B.1C.-3D.3

2.(5分)已知向量1=(3,-2),Z=(x,1)00),若，+2%)J.@—<)，则值I=()

A.√5B.√TθC.√17D.—

2

3.(5分)如图所示，在四面体。-ABC中，OA=a,OB=b,(⅛=六点”在OA上,

S.OM=2MA,N为BC的中点,则疝V=()

1→2→1→2→]一1ɪ.

A.-a--b÷-cB.-WQ+'b+]。

232

1→IT2T2→2-1→

C.—Q+-b——D.-α+-h--c

223332

4.（5分）在aABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6=3,«=√3,则C

=()

A.√3B.2√3C.3-√3D.3

T—>

5.（5分）在AABC中,若点。满足BD=3DC,点E为AC的中点，则ED=（）

5τITITIT3T1→5-IT

A.-AC-V-ABB.-AB+-ACC.-AC--ABD.-AC--AB

63444463

6.（5分）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭

活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要

求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估

计该地接种年龄的中位数为（）

A.40B.39C.38D.37

7.（5分）给出如下四个命题，正确的有（）

A.平行于同一个平面的两条直线是平行直线

B.垂直于同一条直线的两个平面是平行平面

C.若平面ɑ内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，则a〃B

D.若平面a,β,a∩0=/,过平面a内的任意一点作交线/的垂线，则此垂线垂直于平

面β

8.（5分）设aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c+2∕>=3m2sinC=3sinA,

则COSB=（）

12435

A・—B.-C.-D.一

334848

二、多选题（20分）

（多选）9.（5分）下面结论正确的是（）

A.若尸（A）+P（B）=1,则事件A与B是互为对立事件

B.若尸（AB）=P（A）P（B）,则事件4与B是相互独立事件

C.若事件A与B是互斥事件，则A与万也是互斥事件

D.若事件A与B是相互独立事件，则A与后也是相互独立事件

（多选）10.（5分）已知空间中三点A（0,1,0）,B（2,2,0）,C（-1.3,1）,则下

列说法正确的是（）

A.应与晶是共线向量

-*2^5^∖[S

B.与力B同向的单位向量是（一^一，y,0）

→→∙y∕55

C.AB和BC夹角的余弦值是K

11

D.平面ABC的一个法向量是（1,-2,5）

（多选）11.（5分）已知加，〃是互不重合的直线，a,B是互不重合的平面，下列四个命

题中正确的是（）

A.若m〃a,m∕∕β,α∏B=",则

B.若粗〃〃，∏ca,则加〃a

C.若W-La,n±β,∕n±n,贝IJa-Lβ

D.若，”J_a,a∕∕β,则〃〃β

（多选）12.（5分）在BC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,下面四个结论正确

的是（）

A.a=2,A=30°,则aABC的外接圆半径是4

ab

B.若一-=—,则A=45°

CosASinτB

C.若a2+X<c2,则AABC一定是钝角三角形

D.若AV8,则COSAVCOS5

三、填空题（20分）

13.（5分）已知随机事件A,B互斥，且P（A+B）=0.8,P（A）=0.3,则P（B）=.

14.（5分）在4A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=60°,bsinC=√3,

且4A8C的面积为2√1则6=.

15.（5分）已知之+:+2：=1,且IZl=Bl=2,I+=1,则向量之与了的夹角

为.

16.（5分）已知aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.角8为钝角.设AABC的

面积为S,若4bS-a（⅛2+c2-a2）,则sinA+sinC的最大值是.

四、解答题（70分）

17.（Io分）已知复数Zl=X-2i,Z2=l-yi,其中i是虚数单位，x,y为实数.

（1）若X=-I,y=l,求IZl-Z2∣的值；

（2）若Z］=z∕,求X,y的值.

18.（12分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市

共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分

制）按照［50,60）,［60,70）,…，［90,100］分成5组,制成如图所示频率分直方图.

（1）求图中X的值；

（2）求这组数据的平均数和中位数；

（3）已知满意度评分值在［50,60）内的男生数与女生数的比为3：2,若在满意度评分

值为［50,60）的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

19.（12分）已知平面向量Zb,c,且Z=（—2,1）.

（1）若αIlc,且∣c∣=25,求向量C的坐标；

（2）若b=（3,2）,求云在b方向的投影向量（用坐标表示）.

20.（12分）在ZXABC中,a,h,C分别为角A,B,C的对边，且2sinB-sinC=2sinAcosC.

（1）求A；

（2）若T（csinA=4V5,求a的取值范围.

21.（12分）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙

三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是"甲、

丙两个家庭都回答错误的概率是：⅛,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是"若各家庭回

答是否正确互不影响.

（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

22.（12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是平行四边形，NABC=I20°,

AB=I,BC=4,PA=√15,M,N分别为BC,PC的中点，PD±DC,PM±MD.

(I)证明：ABYPM-,

(II)求直线AN与平面PDW所成角的正弦值.

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡湘府中学高二（上）入

学数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（40分）

1.（5分）已知46R,（l+az）i=3+i（i为虚数单位），则α=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【解答】解:因为（l+αi）i=3+i,BP-a+i=3+i,

由复数相等的定义可得，-α=3,即α=-3.

故选：C.

若则由=(

2.（5分）已知向量］=（3,-2),I=Q,I)(X>0),α+2b)1(a-b),)

A.√5B.√10C.√17D.—

2

【解答】解：•••向量，=(3,-2),b=(x,1)(x>0),(α+2∂)l(α-h),

(a+2b)∙(a—b)=a2—2b2+a∙b=(9+4)-2(x2+l)+(3X-2)=0,

；.x=3或一(舍去)，

贝!j∣b∣=yjx2+1=V10>

故选：B.

3.(5分)如图所示，在四面体O-ABC中，OA=a,OB^b,鼠=二点M在OA上,

S.OM=2MA,N为BC的中点，则疝V=（）

2→1-1→

B.-WQ+'b+zC

1→IT22→2-1→

C.-a+-b—D.-a+-h--c

22332

【解答】解：连接OM

TITIT

是BC的中点，：.0N=^OB+^0C,

'：0M=2MA,：.OM=^0A,

r→

：TTT]T]T∑T2→11→

.MN=ON-OM=^乙OB+^乙OC-^D0A=-∣ɔα+∣wfe+乙∣c,

故选:B.

4.（5分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为4,b,c,且B=&b=3,α=√3,则C

=（）

A.√3B.2√3C.3-√3D.3

【解答】解：在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=*b=3,a=√3,

利用余弦定理：b2=a2+c2-2accosB,

整理得：9=3+c2-√3c,

解得c=2√5或-W（负值舍去），

所以。=2次.

故选:B.

5.（5分）在AABC中，若点。满足的=3∕⅛,点E为AC的中点，则前=（）

5Tl-ITlT3TIT5-1-

A.-AC+-ABB.-AB+-ACC.~AC--ABD.-AC--AB

63444463

【解答】解：ED=EC+CD=^AC+^CB=^AC（AB-AC}=^AB+^AC,

故选：B.

6.（5分）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭

活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要

求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估

计该地接种年龄的中位数为（）

A.40B.39C.38D.37

【解答】解：由频率分布直方图得：

[18,36）的频率为：（0.013+0.023+0.034）X6=0.42,

[36,42）的频率为：0.04X6=0.24,

,估计该地接种年龄的中位数为：36+0¾442×6=38∙

故选：C.

7.（5分）给出如下四个命题，正确的有（）

A.平行于同一个平面的两条直线是平行直线

B.垂直于同一条直线的两个平面是平行平面

C.若平面ɑ内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，则a〃B

D.若平面a,β,a∩β=/,过平面a内的任意一点作交线/的垂线，则此垂线垂直于平

面B

【解答】解：A.平行于同一个平面的两条直线平行，相交或异面，故A错误；

B.垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质知，故B正确；

C.若平面a内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，a〃B或相交，故C错误；

D.反例：若平面a_Lp,a∩β=Λ当过平面a内的点在交线/上作交线/的垂线，则此

垂线不一定垂直于平面B，故。错误；

故选：B.

8.（5分）设aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c+2b=3a,2sinC=3sinΛ,

则COSB=（）

【解答】解：由2sinC=3sinΛ及正弦定理可得2c=3a,

32

由c+2b=3a,得一Q+26=3α,则b=彳。,

24

22

α2+c2-b2。2+(狗■■停α)_43

所以cos8=

2ac2a∙∣a-48'

故选：C.

二、多选题(20分)

(多选)9.(5分)下面结论正确的是()

A.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是互为对立事件

B.若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与8是相互独立事件

C.若事件4与8是互斥事件，则A与万也是互斥事件

D.若事件A与8是相互独立事件，则A与万也是相互独立事件

【解答】解：对于A：例如a,b,c,d四个球，选中每个球的概率一样，P(A)为选中

a、6两个球的概率：0.5,P(B)为选中从C两个球的概率：0.5,P(A)+P(B)=1,

但A,B不是对立事件.故A错误；

对于B,若P(A8)=P(A)P(B),则事件A与B是相互独立事件，故B正确；

对于C,假设一个随机事件由A、B、C、。这4个彼此互斥的基本事件构成，则事件Z中

含有事件3、C、D,事件豆中含有事件A、C、D,则A与否不互斥，故C错误；

对于。，若A与8相互独立，则A与耳，8与彳，彳与否都是相互独立事件，故。正确，

故选：BD.

(多选)10.(5分)已知空间中三点A(0,I,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下

列说法正确的是()

A.√1⅛与晶是共线向量

→2√5√5

B.与AB同向的单位向量是(一^―,—,0)

―Tʌ/55

C.AB和BC夹角的余弦值是——

11

D.平面A8C的一个法向量是(1,-2,5)

【解答】解：空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-b3,1),

与公不是共线向量，故错误;

对于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),.∙.Λ⅛A

→__

→AB2√5√5

对于3,AB=(2,1,0),T'=(-----,—,0),故B正确;

∖AB∖55

对于C,AB=(2,1,O),5C=(-3,1,1),

.∙.易和品■夹角的余弦值是：

cos<AB,BO=_孕'」£_="■底故C错误;

∖AB∖∖BC∖病历11

对于D,AB=(2,1,O),AC=(-1,2,1),

设平面ABC的法向量TI=（ɪ,y,z）,

则:.怨=2x+y=。，取X=I,得1=（1,-2,5）,故O正确.

.n∙ΛC=—%+2y÷z=O

故选：BD.

（多选）IL（5分）已知机，〃是互不重合的直线，α,B是互不重合的平面，下列四个命

题中正确的是（）

A.若加〃α,m∕∕βfα∏β=π,则加〃〃

B.若加〃〃，〃ua,则/n〃a

C.若m-La,∕ι±β,〃?_!_〃，则ot-Lβ

D.若“_1_。，a//β,则〃〃β

【解答】解：m,相是互不重合的直线，a,β是互不重合的平面，

对于A,若加〃a,小〃β,a∩β=小则由线面平行的性质得机〃小故A正确；

对于3,若加〃〃，〃ua,则加〃a或〃?ua,故8错误；

对于C,若加_La,mLn,则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得a_Lp,

故C正确；

对于£）,若机_La,m,Ln,a∕∕βf则〃〃β或〃uβ,故。错误.

故选：AC,

（多选）12.（5分）在aABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,下面四个结论正确

的是（）

A.a=2,4=30°,则aABC的外接圆半径是4

SQb

B.—,则A=45°

CosASinB

若/则一定是钝角三角形

C.+b2<c2,

D.若AV5,贝IJCOSAVCoSB

【解答】解：A.α=2,A=30°,设AABC的外接圆半径是R,则2R=岛=益市=4,

oL∏ΛΛ5IT*UU

解得R=2,因此不正确；

αbsiτιAsiτιB

B.-----=--,由正弦定理可得：:——=一一=1,ΛtanA=l,A∈(0°,180°)/.

CosASinBcosASinB

A=45°,因此B正确；

C.∖'c^+b1<c2,贝IJCoSC=吆券F<0,,C为钝角，.∙.A4BC一定是钝角三角形，

因此C正确；

D."：A<B,A,BE(0o,180o),ΛcosA>cosB,因此。不正确.

故选：BC.

三、填空题(20分)

13.(5分)已知随机事件A,B互斥，且P(4+8)=0.8,P(A)=0.3,则P(B)-0.5.

【解答】解：：随机事件A,B互斥,且尸(A+B)=0.8,P(A)=0.3,

：.P(B)=P(Λ+B)-P(A)=0.8-03=0.5.

故答案为：0.5.

14.(5分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,若B=60°,bsinC=√3,

且aABC的面积为2√5,则b=2遍.

bc^>∕3L

【解答】解：由正弦定理可得^=即CSinB=AinG则一C=√3,解得c=2,

SinBSinC2

又SAABc=,α%sinC=器α=2V5,解得α=4,

则由余弦定理可得川22则

=a+c-2accosB=16+4-2×4×2×∣=12,b=2√3.

故答案为：2b.

TTTTTT_>TT2TT

15.(5分)已知α+b+2c=0,且IaI=网=2,∣c∣=l,则向量α与b的夹角为.

【解答】解：已知α+b÷2c=0,

则-22=α+ð,

又而=BI=2,∣c∣=L

TTrTrTTTr

∣α÷h∣2=α2+2α•6÷h2=4c2=4,

即Q∙b=—2,

则COSVZb>=→=-≈-⅛=-1,

IQl网”'

又<a,b>e[0,π],

即Va,b>=ɪ,

故答案为：ɪ.

16.(5分)已知aABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c.角B为钝角.设aABC的

9

面积为S,若46S=α(⅛2+c2-<72),则SinA+sinC的最大值是二.

【解答】解：由题设，S=IacsinB,贝∣J,

人2_|_「2_∩2π

：.SinB=——诋—=cosA=sin(ɪ-4)，又B为钝角即A为锐角，

•∙B2—A=TT,即B=]+√4,又C—Ti-(A+B),

ΛcosB—CoSG+4)=—si九4且S讥B=sm(ɪ+4)=cosA9

而sinΛ+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA(1+cosB)+cosAsinB=sin2β-cos2B-cosB=1—

cosB—2cos2B=-2(CoSB+Q?+―,

19

当COSB=一了时，sinΛ+sinC的最大值为一.

48

9

故答案为：

四、解答题(70分)

17.(10分)已知复数Zl=X-2i,Z2=l-yi,其中i是虚数单位，x,y为实数.

(1)若X=-Ly=1,求IZI-Z2∣的值；

(2)若Zι=zg,求％,y的值.

【解答】解：(1)Vx=-1,y=l,

•∙zɪ~~-1-2i,Z2~^1-i,

ΛZi-Z2=-2-i,

ʌIzi-∑2∣=J(-2)2+(-1)2-√5.

,

(2)Vz1=∑2

Λx-2i=(I-yi)2,即％-2i=l-J-2yi,^∖^2-2y^9解得X=①V=1.

18.(12分)某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市

共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这IOO人根据其满意度评分值(百分

制)按照［50,60),［60,70),…，［90,100］分成5组,制成如图所示频率分直方图.

(1)求图中X的值：

(2)求这组数据的平均数和中位数；

(3)已知满意度评分值在［50,60)内的男生数与女生数的比为3：2,若在满意度评分

值为［50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

T频率

n”」组距

0.030^-----------k-4—

-rF∏

o.oιo------------I--------

0.005---］—

°\506()708()901〉褊意度评分值(分)

【解答】解:⑴由(0.005+0.01+0.035+0.030+x)XlO=L解得X=O.02.

(2)这组数据的平均数为55X0.05+65×0.2+75X0.35+85X0.3+95×0.1=77.

ς4∩

中位数设为m,则0.05+0.2+(/M-70)X0.035=0.5,解得m=ɪ.

(3)满意度评分值在［50,60)内有100×0.005×10=5人，其中男生3人，女生2人.记

为4,Ai,A3,B∖,Bi,

记“满意度评分值为［50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件4,

从5人中抽取2人有：AJA2>A］AT,,A∣B∣,A1B2，A2A3，A2B1，A2B2)A3B1，A3B2，B1B2

所以总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，

所以P(A)=ɪθ.

19.(12分)已知平面向量Zb,c,且3=(—2,1).

(1)若ZIl",且El=25,求向量工的坐标;

(2)若1=(3,2),求：在Z方向的投影向量(用坐标表示).

【解答】解：(1)设I=(X,y),a=(-2,1),

'：aHc,

.,.x--2y,

又ICl=25,

，/+)2=625,

Λy2=125,

Λy=÷5A∕5,

.∙.卜=-邛或卜=10噂,

[y=5√5{y=-5√5

：.c=(-10√5,5√5)∏g(10√5,-5√5);

(2)a∙b=—6÷2=—4,

→T__

.ab44√13

∖b∖值13

α在b上的投影向量为(-黄，—备).

20.(12分)½∆ABCΦ,a,h,C分别为角A,B,C的对边，且2sinB-sinC=2sinAcosC.

(1)求A；

1

(2)若56csinA=4b，求α的取值范围.

【解答】解：(1)VsinB=sin[π-(A÷C)]=sin(A+C)=SinACoSC+cosASinC,

XV2sinZ?-sinC=2sinAcosC,

Λ2(SinACoSC+cosASinC)-SinC=2sinAcosC,

Λ2cosAsi∏C-SinC=0,

V0<C<π,

，sinC≠O,

・1

..cosAΛ=2»

V0<A<π,

.∙.4=半

1.—jr

(2)-⅛csinA=4λ∕3,A=亍，

23

1y/3/~*

则-bcx^-=4√3,解得儿=16,

TT

由余弦定理可知，ɑ2=⅛2+c2-2bc*cosA=b2+c1-2⅛c∙cos-=⅛2÷c2-bc^2bc-bc=bc=

3

16,当且仅当8=c=4时，等号成立,

故/216,

V6Z>0,

.∙.424,

在AABC中，6+c>0恒成立，

V⅛+c≥2√hΞ=2√16=8,当且仅当匕=c=4时，等号成立，

故α<8,

综上所述，4的取值范围为[4,8).

21.(12分)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙

三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是三，甲、

4

丙两个家庭都回答错误的概率是二，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是:若各家庭回

答是否正确互不影响.

(1)求乙、丙两个家庭