2023版高考数学一轮总复习检测4-4解三角形

4.4解三角形

一、选择题

1.(2022届河北神州智达省级联测,3)在aABC中，ZA,ZB,ZC的对边分别为

a,b,c,∕B=135°,b=√T^,C=8,则a=()

A.2B.√6C.3D.2√6

答案B由余弦定理得b2=a2+c2+√2ac,即15=^+7^+3,解得a=√^(舍负).故选B.

2.(2021江西九江重点中学调研,4)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

A=60°,a=2√6,b=4,则B=()

A.45°或135°B.135°

C.45oD.以上都不对

答案C依题意,得及」所以SinB一愣哮又因为0。<B<180°,所以B=45°或

sιn60Sln夕2√62

135°,又因为a>b,所以A>B,即B<60°,所以B=45°,故选C.

3.(2022届北京一零一中学统练一,3)ΔABC中，若c≈2acosB,则4ABC的形状为()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.锐角三角形

答案B由题意得sinC=2sinAcosB,

所以Sin(A+B)=2sinAcosB,

所以sinAcosB-sInBcosA=O,即Sin(A-B)=0,

因为ʌ,B,C是三角形内角，所以A=B.

所以aABC为等腰三角形.

4.(2022届豫南九校联考(二)，7)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

asinB+3bcosA=0,则tanA=()

A.3B」C.-ɪD.-3

33

答案D由asinB+3bcosAzz0,结合正弦定理得SinASinB+3SinBCOSA=0,即

SinB(SinA+3CoSA)=0,因为0<B<π,所以sinB≠0,所以sinA+3cosA=0,所以tanA=-3.故选D.

5.(2022届四川南充调研,5)在aABC中，已知b=40,c=20,C=60o,则此三角形的解的情况是

()

ʌ.有一解

B.有两解

C.无解

D.有解但解的个数不确定

答案C在AABC中，b=40,c=20,C=60o.由正弦定理得-⅛"⅛ΛsinB^½^^√3>l,

Sinnsinec20

与sinB≤l相矛盾，；.ZB不存在，即满足条件的三角形不存在,故选C.

6.(2022届河北邢台“五岳联盟”10月联考,4)4皿(：的内角48,(：的对边分别为迫,1),3已

知(a+b)(sinA-sinB)=csinC+b(l+cosA)∙sinC,贝(]CoSA=()

A—B.--C.-i-I).-

3333

答案A由题意及正弦定理可得(a+b)(a-b)=c2+bc(l+cosA),整理得a2=b4c2+bc(l+cosA),

因为a2=b2+c2-2bccosA,所以-2CoSA=I+cosA,解得CoSA=

7.(2022届陕西名校联盟10月联考,9)在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对

边,ʌɪʌ,b+c=2a,ΔΛBC的面积为2窝,则aABC的周长为()

Λ.6B.8C.6√2D.6√3

答案C因为人千段£2禽,所以gbcsing=2√5,即bc=8.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c~8,又知b+c=2a,.∙.a2=(b+c)2-2bc-8=4aJ24,解得a=2√^,

所以b+c=4√2.故三角形的周长l=a+b+c=6√∑故选C.

8.(2022届江苏徐州期中，9)已知4ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足

cos2Λ-cos^B+cos^C=l+sinΛsinC,且sinΛ+sinC=l,贝IJ<ʌABC的形状为()

A.等边三角形

B.等腰直角三角形

C顶角为120。的非等腰三角形

D.顶角为120°的等腰三角形

答案D因为CoS%-cos2B+cos2C=l+sinAsinC,所以sin2A+sin^C-sin⅛=-sinAsinC,由正弦

定理可得/ejj-ae,所以牛也所以c。SB=T,因为0°<B<180°,所以B=120°,所以

Iac22

A+C=60o,

2

由5]仙+5]。01得51.仙+5门(60°-A)=l,t⅜sinA+sin60ocosA-cos60°SinA=I,即

TSinA+苧CoSA=I,所以Sin(A+60°)=1,因为A为三角形的内角,所以A=30°,则C=30°,所以

ΔABC是顶角为120°的等腰三角形.故选D.

9.(2022届百师联盟9月一轮复习联考(一)，10)如图，设aABC的内角∕BAC,ZB,/ACB所对

的边分别为a,b,c,若b2=ac,ZB=^-,D是aABC外一点,AD=3,CD=2,则四边形ABCD面积的最大

值是()

A.竿+6B.竿+6

C亭4D.⅛4

62

答案B因为COSNB二什-b⅛c,所以a2+c2-ac=ac,则(a—c)'O,a=c,又NBW,所以

Zac23

AABC是等边三角形.在AADC中，由余弦定理可得AC2≈AD2+CD2-2AI)∙CDcosD,由于AD=3,CD=2,

所以bJ13T2cosD,所以S四研

2

ABCD=SAABC+SAAC[)^bsi∏γ+∣∙6sinD斗l√+3sinD4(13-12CoSD)+3SinD=6sin(沙彳)+厚,所以四

边形ABCD面积的最大值为毕+6,故选B.

10.(2022届广东深圳福田外国语高级中学调研,7)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中

记载了著名的海伦公式,利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边长分别为

a,b,c,则其面积S=√p(p-a)(p-⅛)(p-c),其中p=^(a+b+c).现有一个三角形的边长a,b,C满

足a+b=7,c=5,则此三角形面积的最大值为()

A.17√21B.y√21

C.5√6D.”

答案D

Va+b=7,c=5,.*.p-"11'-6,ΛS2=6×(6-5)×(6-b)(6-a)=6[ba-6(b+a)+36]=6(ba-6)≤6X

26

[(T)^]=V)当且仅当b=a时取等号，.∙.S≤孚即三角形面积的最大值为孚

3

二、填空题

11.（2022届昆明质检（一），15）已知a,b,c分别为aABC的内角A,B,C的对边,若

bsin2A-asinB=0,2b=c,则当的值为

答案y

解析由bsin2A-asinB=2bsinAcosA-asinB=0及正弦定理，得CoSAJ■,即'二一［又2b=c,

22be2

则a⅛2,即a邛c,所以当当.

42SinC2

12.（2022届黑龙江六校联考，15）在AABC中，a,b,C分别是内角A,B,C所对的

边,3c=4b,a=√13,A=60°,则AABC的面积为.

答案3√5

解析由CoSA岑士及已知得卢罟得b2+c2-bc=13,又3c=4b,∙∖b=3,c=4,MABC的面

2be22be

积S=^bcsinΛ=i×12×v=3√3.

13.（2022届山东烟台莱州一中开学考，14）在AABC中，已知C=120o,sinB=2sinA,且ZkABC

的面积为2时,则AB的长为.

答案2√7

解析设角A,B,C的对边分别为a,b,c.由sinB=2sinΛ及正弦定理可得

b=2a,SAiωdabsinC=∣aX2aXg=2V5,.∖a=2,b=4,由余弦定理用导

cM+16-2×2×4×（-1）=28,Λc⅛√7.

三、解答题

14.（2022届北京牛栏山一中10月月考,17）在AABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且

a=l,b=2.

（1）若c=√2,求Z∖ABC的面积S;

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知,使AABC存在且唯一确定,并求SinA的值.

条件①:B=2A;

条件②:A+B=∣;

条件③:C=2B.

22

⅛j）⅛f-∕1\da+e-⅛^1+2-41√2

解析⑴COSB_2ac7x=kT

4

因为B∈(O,π),所以sinB=VT-cos¾=^φ∙,

所以aABC的面积SWaCSinBWX1×√2×4^∙

2244

(2)选择条件①.

a]_2_2

由品和B=2A,得,因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=l,因为

sinzfSin力sin2√42sin∕fcosJ

A∈（0,页），所以COSA∈（7,1）,所以AABC不存在.

选择条件②.

由和A+BA

Sin力SinB3

W-½=~~~―,——,整理得5sinA=√3cosA,又sin2A+cos2A=l,且sinA>0,cosA>0,

S】n/fSin(y-A)^c0s∕f-∣sinJ

所以sinʌɪɪ,

因为bsinA=ɔy<a<b,所以AABC有两解，

又A+B4,所以B为锐角，所以AABC唯一.SinA岑.

314

选择条件③.

由7⅛1和C=2B,得U丁—二。/因为Be（°，“），所以sinB∙O∙所以c=4cosB,

由b2=a2+c2-2accosB,W4=l÷16cos2B-2×1×4cos2B,用军得cosB=±-,

4

因为C=2B,所以B为锐角，故COSB邛,SinB邛，

所以sinC=2sinBcosB=^,cosC=2cos2B-lɪ-ɪ,

44

所以SinA=Sin(B+C)=SinBCoSC+cosBSinC=芈X(-9+4XF

4\4/44-等8.

15.(2022届合肥8月联考，18)已知aABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且

6sin。CSin8.

-------------=4a.

sin8sinC

(1)若a=2,求AABC外接圆的面积；

(2)若(b+a)(b-a)+c，6=0,求AABC的面积.

解析⑴由正弦定理及已知得'iSinJSinA,故SinAq又a=2,

。Sinjfeinc2

则4=2R,即R=2（R为AABC外接圆的半径）.

故aABC外接圆的面积S=πR2=4π.

5

(2)(b+a)(b-a)+c2+6=b2+c2-a"+6=0,i⅛b2+c2-a2=-6,贝!jcosA<0.由(])知sinA=∣,所以COSA二一弓.

因为Cc)SA勺士所以4⅛得bc=2√3,所以S&BCjbCSinAq义2禽

ZbcZZbcZ2ZZ

16.(2022届北京一零一中学统练一,18)在AABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

V3a=b(sinC+V3cosC).

(1)求角B的大小；

(2)若A《,D为aABC外一点,DB=2,CD=I,求四边形ABDC面积的最大值.

解析(1),.*V3a=b(sinC+√3cosC),

.".V3sinΛ=sinB(sinC+√3cosC),

在ZXABC中,sinA=sin(B+C),

则V5sin(B+C)=sinBsinC+√3sinBcosC,

即禽CoSBSinC=SinBSinC,

VC∈(0,n),ΛsinC≠0,

ΛV3cosB=sinB,即tanB=d5,

VB∈(O,π),ΛB=^-.

⑵由题意可知,点A和点D在直线BC的两侧.在ABCD

中，BD=2,CD=1,.∙.BC2=1,22-2X1X2XCOSD=5-4COSD,：Bq,A=^,.∙.aABC为等边三角形，

∙*∙S△械WBC2Xsin-^=^-√3cosD,

,

又SABDCZ4BD∙DC∙sinD=sinD,

∙,∙SInlji彩丽=竽+SinD-√^cosD=^+2sin(θg),

当D-f,即D亭时，四边形ABDC的面积取得最大值,最大值为乎+2.

17.(2022届豫东豫北十校联考(二)，20)在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分另为

a,b,c,V3cosC+sinC=V3b且a=l.

(1)求AABC的外接圆的半径；

(2)求2b-c的取值范围.

解析(1)由V5cosC+sinC=√5b且a=l可得a(√3cosC+sinC)=V3b,根据正弦定理可得

V3sinB=V3sinΛcosC+s