广东省东莞市某中学2022-2023学年高一年级下册学期期中考试数学试题

广东省东莞市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知i为虚数单位，则复数玉_2在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法,

从全体队员中抽出一个容量为7的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人

数为（）

A.4B.3C.2D.1

3.如图，用斜二测画法所画的一个平面图形的直观图是一个边长为。的正方形

O'A'B'C.则原平面图形的周长为（）

A-10aB.8aC-6aD,4a

4.在V/8C中，NO为8C边上的中线，E为ND的中点.则丽国（）

3—3—

A.B.C.-AB^r'ACD.-AB+-AC

44444444

5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸民C的俯角分别为75。,30。，此时气球的

高度是60m,则河流的宽度8c等于（）

试卷第11页，共33页

A.240（V3-l）mB.180（V2-l）m

C.160（V2-l）mD.120（V3-l）m

6.卡夫拉金字塔（如图1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神

庙和狮身人面像，是世界上最紧密的建筑.从外侧看，金字塔的形状可以抽象成一个

正四棱锥（如图2）,事七中也=0，点心为8的中点，则。力，所成角的余弦值

AC

为（）

■A

■M.介X夕

Ml闺）

A.叵E；＞/6c5A/6D.瓜

4T'~24~,77

7.已知三棱锥s_/8c的四个顶点都在球0的球面上，且"=8C=2，

SB=AC=y/7'SC=A8=石，则球。的体积是（）

试卷第21页，共33页

A-jrB32>/2c4>/2D8及

八•、兀--------兀口•------7t-----兀

3333

8.已知在v/8C中，角4B,C所对的边分别为“，b,c,且c=5,点。为其外接圆

的圆心，已知的.就=12，贝IJ边”（）

A.5B.6C.7D.8

二、多选题

9.下列四个命题中正确的是（）

A.若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面

B.若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面

C.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线

D.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

10.为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五

个兴趣社团，该小区共有2000名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中

一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有8名，参加

A.这五个社团的总人数为100

B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%

C.这五个社团总人数占该小区老年人数的4%

D.从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%

11.在四8c中，角4B,C的对边分别为a,b,c,有如下命题，其中正确的是

（）

A•若sin2Z=sin28，则V/8C为等腰三角豚B,若sin/>sin8'则A>B

试卷第31页，共33页

c.若衣.无＞0，则V/8C是钝角三角形.D.若°3+63=03,则V/8C为锐角

三角形

12.已知圆锥的底面半径为1,高为G，S为顶点，A,8为底面圆周上两个动点,

A.圆锥的体积为立"

3

B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为工

2

C.圆锥截面£48的面积的最大值为G

D.从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为38

三、填空题

13.已知复数z满足目=],则卜_刈的最大值为——•

14.已知向量3在向量§方向上的投影向量为_2各，且历|=3,则展■=_.（结果用数

值表示）

15.如图1,一个正三棱柱容器，底面边长为1,高为2,内装水若干，将容器放倒，

把一个侧面作为底面，如图2,这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是—

试卷第41页，共33页

16.己知三棱锥P-48C的棱长均为4,先在三棱锥尸-48C内放入一个内切球O「

然后再放入一个球0?,使得球Q与球Q及三棱锥尸的三个侧面都相切，则球

O2的表面积为.

四、解答题

17.已知复数z=(2/++2〃?-3)/meR

(1)当加取什么值时，复数z是纯虚数；

(2)当复数z在复平面内对应的点位于第四象限时，求加的取值范围.

18.在斜三角形月8c中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足

asinA+4Z>sinCcos2z4=ftsin5+csinC•

⑴求角rA\的大小；

(2)若a=2,且8c上的中线/。长为由，求斜三角形/8C的面积.

19.在直角梯形A8CQ中，已知48//CO，/D/8=90°，AB=4,AD=CD=2,对

角线/C交8。于点。，点M在48上，且满足。

试卷第51页，共33页

⑴求加.前的值；

(2)若N为线段/C上任意一点，求丽.砺的最小值.

20.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射

线/C为湿地两边夹角为120。的公路(长度均超过2千米)，在两条公路

AB,/C上分别设立游客接送点"，N,从观景台尸到N建造两条观光线路

PM,PM测得/M=2千米，/N=2千米•

(1)求线段"N的长度；

(2)若ZMPN=60°,求两条观光线路PM与尸N之和的最大值.

21.如图，在棱长为4的正方体中，后是。口上的动点，尸是8的

(1)求三棱锥B-AB[E的体积；

(2)若E是。0的中点，求证：BF〃平面4筑k・

试卷第61页，共33页

22•如图，四边形。为正方形，平面，〃，

/BeED^LABCDFBED4B=ED2尸8=2•

⑴求证：4。平面BDEF;

(2)求8c与平面AEF所成角的正弦值,

试卷第71页，共33页

参考答案:

1.B

【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的坐标作答.

【详解】复数篁_2在复平面内对应的点(-2,3)在第二象限.

故选：B

2.A

【分析】根据分层抽样运算求解.

【详解】由题意可知：男运动员应抽的人数为7x」^=4.

56+42

故选：A.

3.B

【分析】由直观图还原可得原图形，结合斜二测画法求边长，再求其周长即可.

【详解】由直观图还原得到原图形如下，

由斜二测画法可得8C=0/=0W="，08=208=2缶，^OA=90°.

所以N8=JCM2+O炉=3"'℃=3“'

所以四边形0/8C的周长为2(〃+3a)=8°，即原平面图形的周长为8a.

故选：B.

4.A

【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】因为V/8C中，为8c边上的中线，E为/£＞的中点，

答案第11页，共22页

所以砺=或+方=_g而+^=_gx；（而+码+布=；万一;刀,

故选：A.

5.D

【分析】先求得/c=120,在v/BC中利用正弦定理即可求解•

s、I,HF1—rzn^-^CB=30°60EI

【详解】由题可得，所rr以sin30°=W，则ZC=120

AC

在V/BC中'N84C=75°-30°=45°'N4BC=105°'

y[6+5/2,

sinZ.ABC=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos450+cos60°sin45°=

4

BC-CBC—12°5C=120(V3-l)

由正弦定理可得sinNA4c一sinN/8c,即夜一"+夜,解得’)

3―4

故选：D.

6.C

【分析】找出“的平行线且与CE相交，并以此构造一个三角形，再根据几何关系求出三

角形的三边，最后用余弦定理即可求解出“，CE所成角的余弦值.

【详解】如图设点尸为中点，连接£/，设ZC=2,则"=2五，

答案第21页，共22页

在ASBC中，根据余弦定理可知:

|55|2+|BC|2-|sc|2幽+,c『-|EC「

cos/SBC=

2-\SB\-\BC\—~2-\EB\-\BC\

仅可+(可一(2可(可+(万卜］阿

2.(2号的一2.(V2).(72)

IfCl=V3\EF\=42

解得，

根据余弦定理可知©osNFEC=回f+|EC『-|FCf=S/6,

2-\EF\-\EC\24

因为EFi/SA,所以8$/尸£'。为“，CE所成角的余弦值.

故选：C.

7.D

【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为凡b,c，确定/+〃+/=8,

得到球半径，计算体积得到答案.

【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a,b,c,如图所示：

答案第31页，共22页

s

a2+b2=5a2+b2+c2=8。R_yja2+h2+c2

=6

22

则，a+c=7故球的半径2

b2+c2=4

故体积为37t尤=/.

33

故选：D

8.C

【分析】取NC的中点。，得到OOL4C,利用向量的数量积可得,02-工02=12,即可求

22

解.

【详解】设4C的中点为。，因为点。为其外接圆的圆心，

所以。1=O8=OC,连接由三线合一得：ODVAC,

贝।质.％=（而+丽）•就=而.就=；回+网.®_叼=J呵一;网2=12

即儿2_42=]2,由c=5,解得"7

22

故选：C.

答案第41页，共22页

a

9.ABC

【分析】由公理2及推论判断A、B、C选项，由直线的位置关系判断D选项.

【详解】公理2的推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确；

公理2的推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确；

空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理2的推论1：直线与直线外一点确

定一个平面，这空间四点共面，所以选项C正确；

若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误.

故选：ABC

10.BC

【分析】A选项，根据参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的10%,求出五个

社团的总人数：B选项，求出参加太极拳社团的人数占五个社团的总人数的百分比，从而

求出脱口秀社团的人数占五个社团总人数的百分比；C选项，用五个社团总人数除以2000

求出百分比；D选项，来自脱口秀社团和来自舞蹈社团的概率之和为结果.

【详解】参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的10%,故总人数为

8旬0%=80,A错误；

参加太极拳社团的人数为12,占五个社团的总人数的100%=15%,

所以脱口秀社团的人数占五个社团总人数的1一30%-10%-15%-25%=20%,B正确;

答案第51页，共22页

这五个社团总人数占该小区老年人数的*xl00%=4%,C正确；

2000/0/0

从这五个杜团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为2。%+25%=45%,

D错误.

故选：BC

11.BCD

【分析】根据诱导公式化简，即可判断A；根据正弦定理即可判断B；根据向量的数量积

的定义即可判断C；将等式变形为1=(与3+(与〈(与2+(与，即可判断D.

CCCC

【详解】A：由sin2Z=sin23，得2/=28或24=1800-28,

得4=3或/+8=90°，所以四5C为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

B：由sin/>sin8，得2AsinZ>2Rsin8(及为V/8C外接圆半径)，

由正弦定理得“力,所以R，故B正确；

C：由式而>0,得就灰<0,即国国cosC<0,即cosc<。，

又0<C<180°，所以角C为钝角，则粗8c为钝角三角形，故C正确；

D：由。—,知c最大.则(与3+(2)3=1,W(-)3+(-)3<(-)2+(-)2,

CCCCCC

所以1〈(与2+(2)2,即/+，2>巴所以角C为锐角，

CC

又角c最大，所以V/8C为锐角三角形，故D正确.

故选：BCD.

答案第61页，共22页

12.AC

【分析】对于A：直接求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的

圆心角即可判断；对于C：先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，然后可判断;

对于D：利用圆锥的侧面展开图可求解判断.

【详解】对于A：因为圆锥的底面半径为1,高为百，所以体积

K=-S/i=-7txl2xV3=^^,故A正确；

333

对于B：设圆锥的母线为/,则/=万前邛+网2=2,

设圆锥的侧面展开图的圆心角为由弧长公式得：用=2门，即20=2万，解得：占,

故B错误；

对于C：显然当圆锥截面”8为轴截面时.，其面积最大，此时s=_L.2r.〃=、2-6=E,

22

故C正确；

对于D：由B可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，

所以从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为4,故D错误；

故选：AC

13.4

【分析】设z=a+6i(a,beR),则/+〃=］且-14641.结合复数的几何意义可得

|z-3i|=710-66，即可求解♦

【详解】设复数z=a+6i(a,beR),则/+/=1，且-14641.

答案第71页，共22页

|z-3i\=\a+(b-3)i|=^a2+(b-3)2=^-b2+(b-3)2=d"6b,

当6时，10-6/)取到最大值16，

所以|z_3，卅=Vt6=4.

故答案为：4.

14--18

【分析】首先根据投影公式求得micos(展方=-6,再代入数量积公式，即可求解.

【详解】因为向量3在向量5方向上的投影向量为_2$，且I很1=3，

所以旧"后=4，所以同cosSBf

则=|G|•|B|.cos〈I,B)=-6x3=-18•

故答案为：_18

3

15.-/1.5

2

［分析］根据水的体积与棱柱体积的关系得出结论.

【详解】棱柱的体积公式是产=s力，其中s是q底面积，万是高.

在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，所以这个三棱柱的底面积是原来

三棱柱底面的工，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的工(高一样)，所以水的体积

44

是大三棱柱体积的士，那么图1中水面的高度是棱柱高的士，即为之.

442

答案第81页，共22页

故答案为：I.

22几

16.—711——

33

【分析】由等体积法求得内切球a半径，再根据比例求得球a的半径，则问题可解.

【详解】如图所示：

依题意得S^BC=gX4X4Xsin60。=4百

ABC4_4_8后_46

底面的外接圆半径为24=嬴羽=耳=亍=耳=亍,

T

所以展334A半=竽，

所以与物=Svw=S.c=；x4x4xsin6(r=4G

设球O,的半径为R，所以Vp_ABC=VOrPAB+匕…+VOi.PBC+VO.ABC

答案第91页，共22页

则苧44Gx4).火，得R聋,

设球a的半径为'，则二=这二0二r,又夫=巫得/=旦

RR36

02

所以球的表面积为S=4兀

故答案为：:2兀.

17.(1)m~一~-；(2)-3<w<--.

22

【分析】(1)根据实部为零，虚部不为零得到方程，解得即可；

(2)依题意可得12万-加-1>°,再解一元二次不等式组即可；

m2+2m-3<0

【详解】⑴当0/_加_1=0时，解2〃乙加-1=0得加=1或加=」，解

w2+2/n-302

〃/+2"-3片0得相且"--3,即时，复数'为纯虚数.

2

(2)当复数~在复平面内对应的点位于第四象限时，p毋一机一1>°,解2/_〃?_1>0得

m2+2m-3<0

…或…；，解/+2……<L所―

18.⑴人;

答案第101页，共22页

⑵百

【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角A的大小;

（2）根据为"。为8。上的中线得历=g（而+就），结合余弦定理求出庆=4,进而求

出面积.

【详解】（1）因为asinA+46sinCcos2^=bsinB+csinC9

所以由正弦定理可得:/+4加尤/=从+~

即4bccos2A=h2+c2—a21

所以2cos2/=b+'----=cosA，

2bc

又4工4，所以cosA=—f

22

所以4g

（2）因为'。为S0上的中线，所以而=g（而+就），

-■21/—————\2

即/£>=w（/8+/C）,

所以4而之=在2+2万％+就2,

即12=c2+26c8s4+从'

所以12=〃+Z?c+c?①，

答案第111页，共22页

由余弦定理可得：a=b2+c2-2bccosA，

所以4=〃+c，2—6c②

①-②得jc=4，

所以S7ABe=sinN=G.

19.⑴⑵二

318

【解析】(1)以方，而为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基底的

运算；

(2)先确定”的位置，即翔=」在，再令|丽卜，，从而将丽♦丽表示成关于'的二

6

次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.

【详解】⑴在梯形/BCD中，因为AB〃CD'4B=2CD'所以/O=2O「

^RD=(AO+OM)-BD=AdBD+OMBD=AdBD=2记而

-3

2_:.___2___2-___

=-(AD+DC)(AD-AB)=-(AD'-DCAS)

2Q

=-(4-2x4)=--；

⑵令屈=4荔,AM^=AAB^=A^(AD-AB)=-^AB2=-\6Z=--

，3

i-1-►

则；I二七，BPAM=-AB,

66

丽.丽=丽•(丽—屈)=新2_丽.柘=丽2_府冈西卜cos45。

答案第121页，共22页

=而2-'X网X画Xcos45°=网2-孝网

令=£mH0<<2>/2-^Tj77X7JV2>/221

vII，火J'AN-MN=t-------t=（t-------）------'

3618

所以当|亦卜午时，",丽有最小值-专

【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化

归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化

为函数的最值问题.

20.（I为百千米

（2）4百千米

【分析】（1）在V/MN中，利用余弦定理运算求解：

（2）在“MN中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得

PM+PN=4y/3sm^a+^＞进而可得结果.

【详解】⑴在VZMV中，由余弦定理得，MN?=AM?+AN?-2AM-ANcosNMAN，

BPW2=22+22-2X2X2X^-^=12,可得MN=2®,

所以线段MN的长度千米.

（2）设ZPMN=ae（0,g），因为N"PN=（,所以

答案第131页，共22页

*NPMNMNPMPN

在中，由正弦定理得

sin4MPNsinZ.PNMsinZ.PMN

MN2G

因为sinNMPN=­n

sin-

3

所以PM=4sin4PNM=4sinPN=4sinNPA/N=4sina

因此PM+PN=4sin--aj+4sina=cosa+—sina+4sina

3)

=6sina+25/3cosa_71

a+—

【、।兀兀57r

因为0<a<三,所以一<a+一<—

3666

所以当a+会,即a弋时，PM+PN取到最大值动千米.

2-噂

（2）证明见解析

【分析】（1）由正方体的性质可知平面，即点E到平面的距离为4,

最后根据锥体的条件公式计算可得.

（2）连接48交1用于点加，连接瓦0，EF,QC，即可得到四边形ME总是平行四边

形，从而得到BF//ME，即可得证.

【详解】（1）解：在正方体力8cD-48|G0中，平面/8与4