河北省保定市2024届高三年级上册期末调研考试数学

2023-2024学年度第一学期高三期末调研考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位

号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处".

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔2B把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用格皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要

求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.集合4={,炉+工—6=0卜3={2,3},则AB=（）

A.0B.{2}C.{3}D.{2,3}

2.己知i为虚数单位，且力=l+i,则z-z=（）

A.lB.A/2C.6D.2

3.己知"为两条不同的直线，a,仅为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.al113,mHa,则初B.mc«,ncza,ml113,nil13,则。〃区

C.m±n,m±a,nil,则cr_L/?D.m±cr,mlIn,all/3,则〃_1_尸

/、2x+m,x<0_一

4.若=|是奇函数，则（）

以+1,%>。

A.m=-l,n=2B.m=1,〃=一2

C.m=l,n=2D.m=-1,〃=一2

5.已知锐角a的顶点在原点，始边在九轴非负半轴,现将角a的终边绕原点逆时针转2后，交以原点为圆心

3

的单位圆于点则cos。的值为（

,3用446+3勺SD0

A■♦

10101010

6.已知向量a=。为单位向量，且满足,+囚=卜—2a],则向量b在向量a方向的投影向量为（）

7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城

区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式

，1%、x—x

a——。—I-p

为y=—,当其中参数〃=1时，该函数就是双曲余弦函数COSh%=-------，类似地有双曲正弦

22

函数sinhx=^―（—.若设函数/（x）=sinhx-coshx,若实数x满足不等式/（3x-4）+/（x2）<o,则%的

取值范围为（）

D.(l,4)

V2y2

8.在椭圆一十=1（Q>Z?>0）中，F],尸2分别是左，右焦点,P为椭圆上一点（非顶点），I为APFR

a

若上返=’,则椭圆的离心率e为（

内切圆圆心,)

。△「片后丁

11

A.-B.-c正

32.3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4

B.数据11,19,15,16,19众数是19,中位数是15

C.数据0,1,5,6,7,11,12,这组数据的第70百分位数为7

D.对于随机事件A与5,若P（豆）=0.3,尸（叫A）=0.7,则事件A与5独立

sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的一1，纵坐标不变，再把图象向右平移上71个单位

长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数g（x）的图象，则关于函数g（x）,下列说法正确的

是（）

A.最小正周期为万上单调递增

2+0

时g(x)eD.其图象关于点

4'2

11.已知曲线C:?+（1—帆）丁2=1,则以下说法正确的是（）

A.若曲线。表示焦点在x轴上的椭圆，则0〈根（工

2

B.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是（2,2J5）

1—2m

J--------

D.若曲线。为双曲线，则浙近线方程为＞=土.'------x

m-1

12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖腌.如图，在四面体S-ABC中，△ABC是

直角三角形，ZB为直角，点E,尸分别是S3,的中点，且AELSC,SA=AB=2,SC=2瓜BC=4,

则（）

A.BCJL平面&LB

B.四面体S—ABC是鳖席

C.E是四面体S—A5C外接球球心

14〃

D.过A、E、歹三点的平面截四面体S-ABC的外接球，则截面的面积是一

3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆0：x2+y2=4,过作圆。的切线/,则直线/的倾斜角为.

14.保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首(歌曲可重复被抽取)，则高三1班和高三2

班抽到不同歌曲的概率为.

15.等差数列｛4｝前13项和为91,正项等比数列｛/?“｝满足伪=%，贝！Hog74+log7b2+…+1。87々3=■

二b

16.已知不等式e。》3依+2。对任意的实数x恒成立，则一的最大值为.

a

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

△ABC的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且QcosA+asinC=G。.

B

(1)求角。的大小；

(2)若NACB的角平分线交AB于点D,CD=4,AD=2DB,求a.

18.(12分)

在菱形ABC。中，AB=26,ZBCD=60°,E,尸分别为A3,的中点，将菱形A5CD沿3。折

起，使=M为线段3。中点.

(1)求NEMF大小；

(2)求直线AC与平面EF70所成角的大小.

19.(12分)

n+1

在正项数列｛a“｝中，％=3,且a。…氏=42.

(1)求证：数列［地］是常数列，并求数列｛4｝的通项公式;

⑵若止叱"31

、，记数列｛2｝的前〃项和为S,,,求证：-<sn<-.

)164

20.（12分）

已知抛物线C：x1=2py（p>0）的焦点为歹，准线交y轴于点E,点H，若的面积为

1，过点〃作抛物线。的两条切线切点分别为N.

（1）求0的值及直线肱V的方程;

（2）点3是抛物线弧上一动点，点3处的切线与分别交于点C,D,证明：一=—.

\CH\m

21.（12分）

杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，

蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员，在

训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀

的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，

当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组

吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第九步台阶的概率为乙（0W〃W8）,记4=1.

（1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第X阶，求X的分布列；

（2）（i）求证：数列｛匕―/J（1"W7）是等比数列；

（ii）求队员赢得吉祥物的概率.

22.（12分）

己知函数/；以2.

（1）若/（x）在（0,y）上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若/（X）有两个极值点分别为石，％2（再<尤2），当4〉1时，证明：\+2%2>2+1.

高三期末调研数学试题参考答案

一、选择题

12345678

BDDADCAB

二、选择题

9101112

ACDABABDABD

三、填空题

57r43

13.—（或写为150。）14.-15.1316.——In3

652

四、解答题

17.【解】（1）由百ccosA+〃sinC=及正弦定理,

可得6sinCeosA+sinAsinC=A/3sinB.

因为sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAsinC=J^sinAcosC.

又sinA>0,所以sinC=GcosC,则tanC=G，

JT

又Ce(O,»),所以C=§.

(2)：CD为NACB的平分线，AD=2DB,

—BCd

设点。到BC和AC的距离为d,则以色=3---------=—,

S*LAC.d5

2

即—空・…〃「_c

即一'・・〃一/〃，乂・十口4BCD—°AABCJ

ACAD

.1Al.乃1/.»17.71r\32

..—x4x^xsin——F—x4x«xsin—=—x6zxZ?xsin—,贝可有3。=——a，

2626232

.,.a=2g或a=0(舍去)，所以〃二2，§\

(2)方法2：・・・CD为NACB的平分线，AD=2DB,由内角平分线性质定理，b=2a,

又：C=工由余弦定理AB2=K。，3=工，

32

又,：AD=2DB,：.BD=Ba,又：CD=4,

3

...在中，cz2+—=16,：.a=2yf3.

3

18.【解】(1)方法1：由已知得三棱锥A—BCD为正四面体，棱长为2君,

又,：E,M,尸分别为AB,BD,CD中点

EM=MF=6

又,：AF=BF=3,：/=而

VEM2+MF2=EF2,:.EM工MF,：.NEMF=90。

方法2：取BC中点N,连接DN

VAN±BC,DN±BC,ANDN=N

，平面AM),BC_LAD

又,：EMHAD,MFUBC

C.EMLMF,.\ZEMF=90°

方法3：为3£>中点，ND，平面AMC,

平面AMCJ_平面BCD,平面AMC平面38=。/,

...过A作AO，。/,则AO_L平面BCD,

以0为坐标原点，00所在直线为x轴，过。作C。垂线为y轴，04所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系.

B(1,-A/3,0),£>(1,6,0),C(-2,0,0),A,0,2码

EM=1AD-1(1,-73,-2A/2),AfF=|BC=!(-3,73,0)

EMMF=1(-3+3)=0,：.EM±MF,：.ZEMF=9Q°

(2)•••加为8口中点，；.3，&),CM±BD,

ND,平面AMC,...平面AMC,平面BCD,平面AMC］平面500=。/,

.•.过A作AO，。/,则AO,平面BCD,以。为坐标原点，0M所在直线为x轴,

过。作CD垂线为y轴，04所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.

B(l,-V3,0),£>(1,6,0),C(-2,0,0),A(0,0,2A/2)

EAf=|AD=|(1,-73,-2V2),MF=1BC=|(-3,A0)

设平面石/13法向量为〃=(%,y,z)

n-EM=0'曰x+—2\/2z=0

n-MF=0-3%+百y=0

令1=1,则丁=百，z=母，；.n=0,6,垃)

j2—4|=e

AC=^-2,0,-2A/2sin<9=cos",AC

―戈・瓦一2

・・・AC与平面EMF所成角为45°

n+2n+\

19.【解】(1)方法1:。1。2……

〃"+2

相除得Tr，即

+l

所以lgCi=lga"-即nlgafl+1=(n+l)lgan,

所以她旦=里生，所以电空=鉴幺=坨3

n+1n21

结合蜘"=眼，所以眼=如=坨3,即数列［纳］是常数列

n+1nn1n

所以lga〃=〃lg3=lg3",所以%=3〃

n+l

(1)方法2：,:a”…a“=a’,

72+1

两边取对数得，Igo,+lgtz2+lga,+......lga„lga“①

Yl

lgq+lg4+lg%+.......lgan_x=-lg%②

^4口in+1.npann.n—1,

①一②得.lgan=flgan_x,即耳lgan_x=三一lgan,

.•.地=』.所以叱=地

=lg3,即数列是常数列,

nn—1n1

所以lga〃=〃lg3=lg3",所以=3〃

)----------------------------------------------------------------------

n+1+1

"(«„-1)(«„+1-1)(3-l)(3"-l)2(3"-13"-1

cIf1111111

"2(3i—132-132-133-1'3,!-13,,+1-1)

S-1O______O<1

"2(3i-l3n+1-1)4

又因为S"=’—4(々一〕单调递增，所以S,2S]=a,

"42U-1)16

31

即二4S“〈一

164

11n

20.【解】⑴SAEFH=-\EF\xH=-p-^=l,所以p=2

即抛物线方程为C：x2=4y,H(l,-2)

方法1：C：y=—,y'=—＞

•4-2

设切点X。,；1,切线斜率为奇

r21

切线方程为＞一十=5/（》一/），此切线过7/（1,—2）

解得毛=-2,或玉＞=4,得两切点坐标Af（—2,1）,N（4,4）.

所以直线MV方程为x—2y+4=0

方法2：设加（石,％）,N（x2,y2）,在抛物线上，所以x；=4yrxf=4y2,

,一必=|x1(x-%1)

书=2(y+%)

切线方程分别为：《[n

产=2(y+%)

y-%=产(%-%2)

%=2(%-2)

又因为两切线相交于7/（1,-2〉即〃（%,％）,N（尤2,%）均在直线x=2（y—2）上,

%=2(%-2)'

即％—2y+4=0.

(2)方法1：设切点5(%，%)，(-2<<4)

2

r11Y2

可得过3点切线为：y—，-=：XB（X—XB）化简得y=—2-

由第一问方法知M（—2,1）,H（l,—2）点,可得直线方程为y=—%-1

联立解得C点横坐标xc=1xfi-l

同理由N,//坐标可得直线方程y=2x—4,可得。点横坐标%=3XB+2

1111

阴=1^三二四=上1=及结论得证

sif2_imi4f2.i

22

仁煞小减:…

方法2：<

B（x3,y3）,过B的切线y—%=3%3（］一%3），交HMy-Ji=1x1(x-x1)

得％=号区，同理x»=V产，

%+%3

|MC|=归一=2

|CH|\XH-%c|X]+x2xr+x3

22

xx+x2x2+x3

_%一-£)|_2-2_WE

|即

\X2~XD\x2+x3

2——W

-g=g

21

21.【解】（1）解：由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为一，爬两步台阶的概率为-

33

所以随机变量X可能取值为4,5,6,7,8

()：32

可得P（X=4）=,PX=5=Cxgx

81

PX=7=CX=

p(X=6)=C；，()>QJ|H

p(X=8)=

所以X的分布列:

X45678

16322481

P

8181818181

(2)解：(i)证明：n=\,即爬一步台阶，是第1次掷骰子，

21

向上点数不是3的倍数概率Pi=3，则Pi~Po=~~

到达第〃步台阶有两种情况：

①前一轮爬到第〃-2步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为gp,_2

2

②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为

12

所以。"=§4-2+§，..1("=2,3「一,7)

所以p,_p,i=_g(p,T—P"_2)("=2,3,…,7)

所以数列｛。卬―p,i｝(〃=1,2,…,7)是首项为—g,公比为—g的等比数列.

(此题也可用概率知识分别求出P1,Pz，...，P7具体值，再•,验证也可.)

(ii)因为数列｛p„-七_]｝是首项为