数学选修课件第章空间向量及其线性运算共面向量定理

数学选修课件第章空间向量及其线性运算共面向量定理汇报人：XX2024-01-13XXREPORTING2023WORKSUMMARY目录CATALOGUE空间向量基本概念与性质空间向量数量积与夹角公式空间向量在平面几何中应用空间向量在立体几何中应用空间向量在物理学中应用总结回顾与拓展延伸XXPART01空间向量基本概念与性质空间向量是空间中既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。空间向量定义空间向量可以用有向线段的起点和终点坐标来表示，记作$vec{AB}$或$vec{a}$，其中$A$为起点，$B$为终点。空间向量表示方法空间向量定义及表示方法空间向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即$vec{AB}+vec{BC}=vec{AC}$。加法运算空间向量与实数的乘法满足数乘的定义，即$kvec{a}$的方向与$vec{a}$相同（$k>0$）或相反（$k<0$），大小为$|k||vec{a}|$。数乘运算空间向量线性运算规则共面向量定理如果两个向量$vec{a}$和$vec{b}$不共线，那么向量$vec{c}$与$vec{a}$、$vec{b}$共面的充要条件是存在唯一一对实数$x$、$y$，使得$vec{c}=xvec{a}+yvec{b}$。共面向量性质共面向量具有传递性，即如果$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$是共面向量，那么$vec{a}+vec{b}$、$vec{b}+vec{c}$、$vec{c}+vec{a}$也是共面向量。共面向量定理内容例题1已知向量$vec{a}=(1,2,3)$，$vec{b}=(2,-1,2)$，$vec{c}=(1,1,1)$，判断$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$是否共面，并说明理由。解答1假设$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$共面，则存在实数$x$、$y$使得$vec{c}=xvec{a}+yvec{b}$。将向量坐标代入可得方程组典型例题分析与解答$left{begin{array}{l}x+2y=1典型例题分析与解答2x-y=13x+2y=1end{array}典型例题分析与解答\right.$解此方程组可得$x=\frac{5}{7}$，$y=\frac{1}{7}$，因此$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$共面。例题2：已知向量$\vec{OA}=(1,2,3)$，$\vec{OB}=(2,1,2)$，$\vec{OC}=(1,1,1)$，求点$A$、$B$、$C$是否共线，并说明理由。解答2：假设点$A$、$B$、$C$共线，则存在实数$k$使得$\vec{AB}=k\vec{AC}$。计算可得$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(1,-1,-1)$，$\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=(0,-1,-2)$。由于不存在实数$k$使得$(1,-1,-1)=k(0,-1,-2)$成立，因此点$A$、$B$、$C$不共线。典型例题分析与解答PART02空间向量数量积与夹角公式空间向量数量积是指两个向量的点乘，其结果为一个标量。空间向量数量积满足交换律、分配律和结合律，同时与向量的模和夹角有关。空间向量数量积定义及性质性质定义推导过程：根据空间向量数量积的定义和性质，可以推导出空间向量的夹角公式。具体推导过程涉及向量的模、数量积和夹角的三角函数关系。空间向量夹角公式推导过程应用举例：夹角公式在解决几何问题中具有广泛应用，如计算两平面夹角、判断两直线是否垂直等。通过举例可以深入理解夹角公式的应用方法。夹角公式在几何问题中应用举例典型例题分析与解答例题分析选取典型例题，分析题目中涉及的几何问题和已知条件，明确解题思路。解答过程根据已知条件和夹角公式，逐步推导解题过程，得出最终答案。PART03空间向量在平面几何中应用根据平面的点法式方程，可以直接写出平面的法向量。定义法一般式截距式将平面的一般式方程转化为点法式方程，从而求出法向量。根据平面在坐标轴上的截距，可以构造两个向量，这两个向量的叉积即为平面的法向量。030201平面法向量求解方法利用平面的法向量和点的坐标，可以判断点是否在平面上、点在平面的哪一侧或者点在平面上且位于某条直线上。点与平面的位置关系利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判断直线与平面是否平行、直线是否在平面上或者直线与平面相交。直线与平面的位置关系利用法向量判断点线面位置关系03求解步骤先求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角，最后根据二面角的实际情况确定其大小。01二面角的定义两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。02法向量的夹角与二面角的关系两个平面的法向量的夹角（或其补角）就是这两个平面所成的二面角的平面角。利用法向量求解二面角大小例题1已知平面α的一个法向量为n=(2,3,-1)，平面β的一个法向量为m=(-1,-2,3)，则α与β所成锐角的二面角的余弦值为____。分析根据两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角的关系，我们可以先求出两个法向量的夹角余弦值，再根据二面角的实际情况确定其大小。解答首先计算两个法向量的点积n·m=2*(-1)+3*(-2)+(-1)*3=-11，然后计算两个法向量的模|n|=√(2^2+3^2+(-1)^2)=√14，|m|=√((-1)^2+(-2)^2+3^2)=√14，所以cos<n,m>=(n·m)/(|n|*|m|)=-11/(√14*√14)=-11/14，因为α与β所成锐角的二面角的余弦值为正数，所以答案为11/14。典型例题分析与解答PART04空间向量在立体几何中应用利用已知条件直接求出法向量。直接法设出法向量，利用已知条件列出方程组，解出待定系数。待定系数法利用两个非零向量的叉积求解法向量。叉积法立体图形中法向量求解方法

利用法向量判断立体图形位置关系平行关系如果两个平面的法向量平行，则这两个平面平行。垂直关系如果两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直。夹角关系两个平面的夹角等于它们的法向量的夹角。体积求解利用法向量和基向量的数量积求解三棱锥的体积。表面积求解利用法向量和基向量的数量积求解平面图形的面积，进而求出立体图形的表面积。利用法向量求解立体图形体积和表面积例题1已知三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AC=BD=AD=BC=2√2，求三棱锥A-BCD的体积。分析此题考查利用空间向量求解三棱锥的体积。首先，需要确定三棱锥的四个顶点在空间中的位置，然后求出底面BCD的法向量和顶点A到底面BCD的距离，最后利用三棱锥体积公式求解。解答设O为BD的中点，连接AO、CO。由于AB=CD=2,BD=2√2，所以AO⊥BD,CO⊥BD。以O为原点，OB、OC、OA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。则A(0,0,√2),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0)。设平面BCD的法向量为n=(x,y,z)，则n·BC=0,n·CD=0。解得n=(1,1,0)。又因为AO⊥平面BCD，所以点A到平面BCD的距离d=|AO|=√2。所以三棱锥A-BCD的体积V=1/3*S△BCD*d=1/3*1/2*|BC|*|CD|*sin∠BCD*d=2/3。典型例题分析与解答PART05空间向量在物理学中应用力01在力学中，力是一个向量，其大小和方向可以用空间向量表示。例如，一个物体受到的合力可以表示为多个力的向量和。速度02速度是描述物体运动快慢和方向的物理量，可以表示为空间向量。在直线运动中，速度向量与运动方向相同或相反；在曲线运动中，速度向量始终与物体的运动轨迹相切。加速度03加速度是描述物体速度变化快慢和方向的物理量，也可以表示为空间向量。加速度向量与速度变化量的方向相同，大小等于单位时间内速度的变化量。力学中力、速度和加速度等物理量表示方法VS利用空间向量的加法运算，可以将多个力合成为一个合力，或将一个合力分解为多个分力。这对于解决力学中的平衡问题和动力学问题非常有用。运动学问题利用空间向量可以方便地描述物体的运动状态，如位置、速度和加速度等。通过向量的运算，可以解决诸如追及、相遇、碰撞等运动学问题。力的合成与分解利用空间向量进行力学问题建模和求解电场强度是描述电场中某点电场大小和方向的物理量，可以表示为空间向量。电场强度向量与正电荷在该点所受电场力的方向相同，大小等于单位正电荷所受的电场力。磁感应强度是描述磁场中某点磁场大小和方向的物理量，也可以表示为空间向量。磁感应强度向量与磁场中小磁针N极所指的方向相同，大小等于单位面积上穿过的磁感线的条数。电场强度磁感应强度电磁学中电场强度、磁感应强度等物理量表示方法利用空间向量进行电磁学问题建模和求解利用空间向量的加法运算，可以将多个电场或磁场叠加为一个合场，这对于解决电磁学中的复杂问题非常有用。电场和磁场的叠加洛伦兹力和安培力是电磁学中的重要概念，它们都是向量。利用空间向量的点乘和叉乘运算，可以方便地计算这两个力的大小和方向。洛伦兹力和安培力的计算PART06总结回顾与拓展延伸空间向量线性运算空间向量可以进行加法、减法、数乘等线性运算。加法遵循平行四边形法则或三角形法则，减法为加法的逆运算，数乘则是向量与实数的乘法运算。空间向量基本概念空间向量是三维空间中具有大小和方向的量，用有向线段表示。空间向量的模是其长度，方向由起点指向终点。共面向量定理若三个向量共面，则它们可以表示为其中两个向量的线性组合。该定理在解决空间向量共面问题时具有重要作用。本章知识点总结回顾空间向量在计算机图形学中用于表示三维模型中的顶点、法线、纹理坐标等信息，是实现三维图形渲染的基础。计算机图形学在物理学中，空间向量用于描述力、速度、加速度等物理量，可以方便地进行力的合成与分解、运动学分析等。物理学