新教材数学人教A版作业2-2第1课时基本不等式

第二章2.2第1课时A组·素养自测一、选择题1．下列不等式中正确的是(D)A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4abC．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)[解析]a＜0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．不等式a2＋eq\f(4,a2)≥4中，等号成立的条件是(D)A．a＝4 B．a＝eq\r(2)C．a＝－eq\r(2) D．a＝±eq\r(2)[解析]a2＋eq\f(4,a2)≥4，当a2＝eq\f(4,a2)，a2＝2，a＝±eq\r(2)时，等号成立．3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(D)A．10 B．25C．5 D．2eq\r(10)[解析]a＋b≥2eq\r(ab)＝2eq\r(10)，等号在a＝b＝eq\r(10)时成立，故选D．4．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)[解析]由x(3－3x)＝eq\f(1,3)×3x(3－3x)≤eq\f(1,3)×eq\f(9,4)＝eq\f(3,4)，当且仅当3x＝3－3x，即x＝eq\f(1,2)时取等号．5．已知x＜0，则x＋eq\f(1,x)＋2有(A)A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4[解析]x＋eq\f(1,x)＋2＝－[(－x)＋eq\f(1,－x)]＋2≤－2eq\r(－x·\f(1,－x))＋2＝0，当且仅当(－x)＝eq\f(1,－x)，x2＝1，x＝－1时等号成立．故选A．6．已知a＞0，b＞0，A＝eq\f(a＋b,2)，B＝eq\r(ab)，C＝eq\f(2ab,a＋b)，则A，B，C的大小关系为(D)A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A[解析]由基本不等式可知，A≥B，eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D．二、填空题7．当x＞1时，(x－1)＋eq\f(9,x－1)＋2的最小值为__8__．[解析]令t＝(x－1)＋eq\f(9,x－1)＋2，因为x－1＞0，所以t≥2eq\r(x－1·\f(9,x－1))＋2＝8，当且仅当x－1＝eq\f(9,x－1)，即x＝4时，t的最小值为8．8．已知a＞b＞c，则eq\r(a－bb－c)与eq\f(a－c,2)的大小关系是__eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－c,2)__．[解析]因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0．eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－b＋b－c,2)＝eq\f(a－c,2)．当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－c,2)．9．已知x＜0，则2x＋eq\f(18,x)的最大值为__－12__．[解析]因为x＜0，所以－x＞0．则2x＋eq\f(18,x)＝－[(－2x)＋eq\f(18,－x)]≤－2eq\r(－2x·\f(18,－x))＝－12，当且仅当－2x＝eq\f(18,－x)，即x＝－3时，2x＋eq\f(18,x)取得最大值为－12．三、解答题10．当x取什么值时，x2＋eq\f(1,x2)取得最小值？最小值是多少？[解析]x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2，当且仅当x2＝eq\f(1,x2)，即x＝±1时等号成立．∴x＝1或－1时，x2＋eq\f(1,x2)取得最小值，最小值为2．11．设x＞0，求证：x＋eq\f(2,2x＋1)≥eq\f(3,2)．[解析]∵x＞0，∴x＋eq\f(2,2x＋1)＝x＋eq\f(1,x＋\f(1,2))＝(x＋eq\f(1,2))＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－eq\f(1,2)≥2eq\r(x＋\f(1,2)·\f(1,x＋\f(1,2)))－eq\f(1,2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)．当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))．x＝eq\f(1,2)时取等号．综上所述，原式得证．B组·素养提升一、选择题1．不等式eq\f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(C)A．x＝3 B．x＝6C．x＝5 D．x＝10[解析]∵x＞2，∴x－2＞0，∴eq\f(9,x－2)＋(x－2)≥2eq\r(\f(9,x－2)·x－2)＝6，当且仅当eq\f(9,x－2)＝x－2，即x＝5时，等号成立，故选C．2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(B)A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2\r(3),3)[解析]由x2＋3xy－1＝0可得y＝eq\f(1,3)(eq\f(1,x)－x)．因为x＞0，所以x＋y＝eq\f(2x,3)＋eq\f(1,3x)≥2eq\r(\f(2x,3)·\f(1,3x))＝2eq\r(\f(2,9))＝eq\f(2\r(2),3)(当且仅当eq\f(2x,3)＝eq\f(1,3x)，即x＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立)．故x＋y的最小值为eq\f(2\r(2),3)．3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(ABC)A．ab＜1 B．1＜eq\f(a2＋b2,2)C．ab＜eq\f(a2＋b2,2) D．eq\f(a2＋b2,2)＜ab[解析]∵ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a≠b，∴ab＜1，又∵eq\r(\f(a2＋b2,2))＞eq\f(a＋b,2)，a＋b＝2，∴eq\f(a2＋b2,2)＞1，∴ab＜1＜eq\f(a2＋b2,2)．4．(多选题)下列结论正确的是(AD)A．当x＞0时，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2B．当x＞2时，x＋eq\f(1,x)的最小值是2C．当x＜eq\f(5,4)时，y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最小值为5D．当x＞0，y＞0时，eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2[解析]在A中，当x＞0时，eq\r(x)＞0，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x＞2时，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x＞2取不到1，因此x＋eq\f(1,x)的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x＜eq\f(5,4)，所以5－4x＞0，则y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－(5－4x＋eq\f(1,5－4x))＋3≤－2eq\r(5－4x·\f(1,5－4x))＋3＝1，当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD．二、填空题5．已知x＋3y＝1(x＞0，y＞0)，则xy的最大值是__eq\f(1,12)__．[解析]∵x＋3y≥2eq\r(3xy)，∴2eq\r(3xy)≤1，即xy≤eq\f(1,12)，等号成立的条件为x＝3y＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,6)．6．当x＞0时，若2x＋eq\f(a,x)(a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__18__．[解析]∵a＞0，且2x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(2x·\f(a,x))＝2eq\r(2a)，当且仅当2x＝eq\f(a,x)，即x＝eq\f(\r(2a),2)时，2x＋eq\f(a,x)取得最小值，∴eq\f(\r(2a),2)＝3，解得a＝18．7．已知3a＋2b＝1，a＞0，b＞0，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为__8＋4eq\r(3)__．[解析]∵3a＋2b＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(3a＋2b)＝8＋eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)≥8＋2eq\r(12)＝8＋4eq\r(3)，当且仅当a＝eq\f(3－\r(3),6)，b＝eq\f(\r(3)－1,4)时取到最小值．三、解答题8．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＞2；(2)eq\f(2xy,x＋y)＜eq\r(xy)．[证明](1)∵x＞0，y＞0，∴eq\f(x,y)＞0，eq\f(y,x)＞0，∴eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))＝2，∴eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2．由于当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．∴eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＞2．(2)∵x＞0，y＞0，x≠y，∴x＋y＞2eq\r(xy)，∴eq\f(2\r(xy),x＋y)＜1，∴eq\f(2\r(xy)·\r(xy),x＋y)＜eq\r(xy)，∴eq\f(2xy,x＋y)＜eq\r(xy)．9．已知实数a，b满足a＞0，b＞0，a＋b＝2，且eq\f(a2,a＋1)＋eq\f(b2,b＋1)≥m恒成立，求实数m的最大值．[解析]