数学竞赛专题讲座七年级第7讲-一元一次方程(含答案)

第七讲一元一次方程早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程．虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性．一元一次方程〔linearequationwithoneunknown〕是代数方程中最根底的局部，是后续学习的根底，其根本内容包括：解方程、方程的解及其讨论．解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程．当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，继续求解时，一般要对字母系数、进行讨论：1．当时，方程有惟一解；2．当时，方程无解；3．当时，方程有无数个解．如果其他人也像我一样不迷信权威，持久而深入地探索数学真理，那么他们也将做出我所做的发现．——C．F．高斯C．F．高斯〔1777-1855〕，著名的德国数学家，在代数、几何和近代数论等数学领域中做过许多开创性的工作．例题讲解【例1】(1)关于的方程和有相同的解，那么这个解是．(北京市“迎春杯”竞赛题)〔2〕如果，那么＝．(江苏省竞赛题)思路点拨(1)设法建立关于a等式，再解关于a的方程求出a的值；(2)恰当地解关于n的一元一次方程．链接：对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是通法，后者是技巧；前者是根底，后者是机智．只有真正掌握一般步骤，才能“熟能生巧”．方程的解是方程理论中的一个重要概念，解题中要学会从两个方面去应用：(1)求解：通过解方程，求出方程的解进而解决问题；(2)代解：将方程的解代入原方程进行解题．【例2】当时，关于的方程有无数多个解，那么等于()．A．B．C．D．不存在(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨将代人原方程，整理所得方程，就方程解的个数情况建立a的等式．【例3】是否存在整数k，使关于的方程；在整数范围内有解?并求出各个解．思路点拨把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k．【例4】解以下关于x的方程．(1)；()(2)；(3)．思路点拨首先将方程化为的形式，然后注意每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论．【例5】都是质数，并且以为未知数的一元一次方程的解是1，求代数式的值．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用代解法可得到的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．链接：同一个方程在不同的数集范围内求解，其解集往往是不同的．对于含字母系数的方程，我们不但可讨论方程根的个数，而且还可以探求解的性态，如整数解、正数解，负数解，解这类问题，常常要用到整数知识、枚举、分类讨论等方法。解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行；(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母；(3)当分母中含有小数，可用分数的根本性质化成整数；(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作一个整体进行变形．【例6】1900年，奥地利科学家兰德斯坦纳〔1868-1943〕将人的血液分为A型、B型、AB型和O型四种类型．此后，输血就成为临床上实际可行的重要治疗措施，输血时，应以输入同型血为原那么，也就是每种血型的人可以给自己同血型的人输血．但在没有同型血而又情况紧急时，A型和B型的人可以给AB型的人输血，O型的人可以给各种血型的人输血．〔1〕根据题意，利用ABO血型之间在输血时的相互关系填写下表〔要求：用“+”或“—”填入相应的空格处〕：献血者红细胞〔含凝集原〕受血者血清〔含凝集原〕A型〔抗B〕B型〔抗A〕AB型〔无〕O型〔抗A、抗B〕A型〔A〕—+—+B型〔B〕+—+AB型〔A、B〕+—+O型〔无〕————注：“+”表示有凝集反响，“—”表示无凝集反响．〔2〕一个O型血的人需要紧急输血，现有18人献血，与A型血发生凝集者为9人，与B型血发生凝集者为7人，与A、B型血都发生凝集者和都不发生凝集者共有8人，求献血者中的候选人是几个人？〔2007年北京市上地实验学校期末试题〕思路点拨〔1〕略；〔2〕根据血清原理，设其中一种血型的人数，用含有未知数的代数式表示其他血型人数，不难求解．【例7】如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？根底训练一、根底夯实1.x=-1是关于x的方程7x3-3x2+kx+5=0的解,那么k3+2k2-11k-85=______.2.计算器上有一个倒数键,能求出输入的不为零的数的倒数(注:有时需先按或键,再按键,才能实现此功能,下面不再说明).例如,输入2,按下键,那么得0.5,现在计算器上输入某数,再依以下顺序按键:--,在显示屏上的结果为-0.75,那么原来输入的某数是_______.(第17届江苏省竞赛题)3.方程(20x+50)+(5+2x)-(4x+10)=0的解为______;解方程｛[(x-3)-3]-3｝-3=0,得x=_______.4.关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无数多个解,那么a=_____,b=_____.(“希望杯”邀请赛试题)5.和方程x-3=3x+4不同解的方程是().A.7x-4=5x-11B.+2=0C.(a2+1)(x-3)=(3x+4)(a2+1)D.(7x-4)(x-1)=(5x-11)(x-1)6.a是任意有理数,在下面各题中(1)方程ax=0的解是x=1(2)方程ax=a的解是x=1(3)方程ax=1的解是x=(4)方程│a│x=a的解是x=±1结论正确的个数是().A.0B.1C.2D.3(江苏省竞赛题)7.方程x-[36-12(x+1)]=x-2的解是().A.B.-C.D.-8.关于x的一次方程(3a+8b)x+7=0无解,那么ab是().A.正数B.非正数C.负数D.非负数9.解以下关于x的方程:(1)ax-1=bx;(2)4x+b=ax-8;(3)k(kx-1)=3(kx-1).10.a为何值时,方程+a=-(x-12)有无数多个解?无解?二、能力拓展11.方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解为_______.12.关于x的方程9x-3=kx+14有整数解,那么满足条件的所有整数k=_______.(“五羊杯”竞赛题)13.+4(+)=1,那么代数式1872+48·()的值为_________.14.假设(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且有惟一解,那么x=_____.15.有4个关于x的方程：(1)x-2=-1(2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1)(3)x=0(4)x-2+=-1+其中同解的两个方程是().A.(1)与(2)B.(1)与(3)C.(1)与(4)D.(2)与(4)16.方程++…+=1995的解是().A.1995B.1996C.1997D.199817.a+2=b-2==2001,且a+b+c=2001k,那么k的值为().A.B.4C.-D.-4(第15届江苏省竞赛题)18.假设k为整数,那么使得方程(k-1999)x=2001-2000x的解也是整数的k值有().A.4个B.8个C.12个D.16个(第12届“希望杯”邀请赛试题)19.假设干本书分给小朋友,每人m本,那么余14本;每人9本,那么最后一人只得6本,问小朋友共几个?有多少本书?20.下边横排有12个方格,每个方格都有一个数字,任何相邻三个数字的和都是20,求x的值.(上海市竞赛题)三、综合创新21.如果a、b为定值,关于x的方程=2+,无论k为何值,它的根总是1,求a、b的值.(山东省竞赛题)22.将连续的自然数1～1001按如图的方式排列成一个长方形阵列,用一个正方形框出16个数,要使这个正方形框出的16个数之和分别等于:(1)1988;(2)1991;(3)2000;(4)2080.这是否可能?假设不可能,试说明理由;假设可能,请写出该方框16个数中的最小数与最大数.(2002年河北省竞赛题)12345678910111213141516171819202122232425262728…………99599699799899910001001答案：1.-105.2.设原来输入的数为x,那么-1=-0.75,解得x=0.23.-;904.、-5.D6.A7.A8.B9.(1)当a≠b时,方程有惟一解x=;当a=b时,方程无解;(2)当a≠4时,方程有惟一解x=;当a=4且b=-8时,方程有无数个解;当a=4且b≠-8时,方程无解;(3)当k≠0且k≠3时,x=;当k=0且k≠3时,方程无解;当k=3时,方程有无数个解.10.提示:原方程化为0x=6a-12.(1)当a=2时,方程有无数个解;当a≠2时,方程无解.11.10.512.10、26、8、-8提示:x=,9-k│17,那么9-k=±1或9-k=±17.13.2000提示:把(+)看作一个整体.14.1.515.A16.B17.B18.D提示:x=为整数,又2001=1×3×23×29,k+1可取±1、±3、±23、±29、±(3×23)、±(3×29)、±(23×29)、±2001共16个值,其对应的k值也有16个.19.有小朋友17人,书150本.20.x=521.提示:将x=1代入原方程并整理得(b+4)k=13-2a,此式对任意的k值均成立,即关于k的方程有无数个解.故b+4=0且13-2a=0,解得a=,b=-4.22.提示:设框中左上角数字为x,那么框中其它各数可表示为:x+1,x+2,x+3,x+7,x+8,x+9,x+10,x+14,x+15,x+16,x+17,x+21,x+22,x+23,x+24,由题意得:x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+…x+24=1998或1999或2000或2001,即16x+192=2000或2080解得x=113或118时,16x+192=2000或2080又113÷7=16…余1,即113是第17排1个数,该框内的最大数为113+24=137;118÷7=16…余6,即118是第17排第6个数,故方框不可框得各数之和为2080.提高训练1．是关于的一元一次方程，那么关于的一元一次方程的解是________．2．如图是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数，那么：〔1〕、的关系是：__________；〔2〕当时，______．〔四川省中考题〕3．〔1〕方程的解是______．〔广西竞赛题〕〔2〕在有理数范围内定义一个运算“※”其规那么为※=，那么方程※〔※2〕=的解为________．(重庆市竞赛题)4．假设方程是关于的一元一次方程，那么代数式的值为〔〕．A．1或B．1C．D．2〔广西竞赛题〕5．关于的方程的解满足，那么的值为〔〕．A．B．1C．或D．或6．对任意四个有理数、、、，定义新运算：，，那么〔〕．A．B．C．3D．4〔希望杯竞赛题〕7．假设是方程的解，那么=______．8．是以为未知数的一元一次方程，如果，那么