2023-2024学年湖北省武汉市孔埠中学高三数学理模拟试卷含解析

2023年湖北省武汉市孔埠中学高三数学理模拟试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知集合仲"，"-3-2VXV叫若孙川=0,则。的取值范围为

().

A.B.aW-2C.

D.。<一2

参考答案：

B

・.M={xxW：a]AT={x-2<x<0}

由"n"-0,得aS

故选B.

2.集合A={x|xWa},B={1,2},AAB=?，则a的取值范围为()

A.(-8,1)B.(1,+8)C.(2,+8)D.(-8,2)

参考答案：

A

【考点】交集及其运算.

【分析】由已知可得a<l,且a<2,进而得到a的取值范围.

【解答】解：•••集合A={x|xWa},B={1,2},

若ACB=?,

则a<l,且a<2,

综上可得：ae(-8,1),

故选：A

3.已知巾ER,则“。=0”是“f(x)=sin(2x+。)为奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案:

A

考点：充要条件.

专题：简易逻辑.

分析：由f(x)=sin(2x+6)为奇函数，可得6=k兀+叮，keZ,即可判断出.

解答：解：f(x)=sin(2x+6)为奇函数，贝IJ6=kn+冗，keZ,

・・・“6=0”是“f(x)=sin(2x+6)为奇函数”的充分不必要条件，

故选：A.

点评：本题考查了充要条件的判定方法、三角函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能

力，属于基础题.

4.

22

M-r+--=1(。＞＞0)口口

椭圆/旷的左右焦点分别为耳•玛，P为椭圆M上任一点，且

而•三的最大值的取值范围是31],则椭圆M的离心率的取值范围是()

】11企D团

A［了22,~2c中L"，）

参考答案:

答案：B

n

5.函数/口)=4^(收+砂(其中工＞□,的图象如图所示，为了得到

g(x)=sm3x的图象，只需将/仁》的图象

nn

A.向右平移a个单位长度B.向左平移彳个单位长度

兀it

C.向左平移五个单位长度D.向右平移叵个单位长度

参考答案：

D

6.

ab

设平面向量a,b,c均为非零向量，若向量‘百M讶，则以的取值范围是

2

A.也3}B.@!C.91231D,Q3]

参考答案：

答案：D

7.已知全(1,2),b=(m,1),且Z1E,则m的值为()

A.2B.-2C.1D.-1

参考答案：

B

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出.

【解答】解：：aJ_b,...a・b=m+2=0,解得m=-2.

故选：B.

rC=loglX

8.若。=2)，5=\,贝ij占〉c”是的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

参考答案：

B

略

9.定义：引其中6为向量了与后的夹角，若|112,|5卜5,

ab-6,则I3X61=（）

A.-8；B.8；C.-W或8；D.6

参考答案：

B

略

10.已知Fl=2,同=6,F+'L1,则向量［与b的夹角

为（）

2n5/r

A.3B.6C.

nn

6D.3

参考答案：

B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

、之0

,y-xMO匕j

11.若实数X、y满足不等式⑵->-220,则777的取值范围

是

参考答案：

略

12.己知数列｛a“｝满足/=】

贝！Jan=

参考答案:

【分析】

=

由递推公式得■,又能得到再求出几项，这样可以猜想数列的通项公

式，再由数学归纳法证明.

n

a.4««4~二

【详解】由n+l,可得2,

B—1,_

a.a,iO/L«...I=-----(*.3

且n,两式作差得,

JSR-1n2-»2+l1,小1

4-=——二一----=-----------=------(几2)・.・公=_

nilHAQ+1)HA+1),,2,3

猜想’一片，现用数学归纳法证明：

当R=1时，显然成立；

假设当上("M)时成立，即，k

11

==

当行—时，、*—(*♦!)上♦】，即冏=上)1时，也成立，

1

。—一

综上

13.已知曲线C由抛物线y'8x及其准线组成，则曲线C与圆(x+3)?+y2=16的交点的个数

为—,

参考答案：

4

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】分别求出抛物线y?=8x及其准线与圆(x+3)，式=16的交点的个数，即可得到结

论.

【解答】解：圆的圆心坐标为(-3,0),半径为4,抛物线的顶点为(0,0),焦点为

(2,0),

所以圆(x+3)2+y2=16与抛物线y2=8x的交点个数为2.

圆心到准线x=-2的距离为1,小于半径，直线与圆有两个交点，

综上所述，曲线C与圆(x+3)?+y2=16的交点的个数为4.

故答案为：4.

14.如图，在中，已知4,。是边上一点，4D-10,XC-14,ZX7-6,

贝UAB-.

参考答案：

5>/6

15.设曲线y=在点(L1)处的切线与，工轴的交点的横坐标为卜

log为口Xj+log如n++log2012的值为

参考答案：

-1

--1,X<1

F

'，X>11

16.若函数f(x)二1X，,则函数y二|f(x)|-8的零点个数为.

参考答案：

4

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】利用分段函数，对x》l,通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x<

1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可.

处112

【解答】解：当x〉l时，X”=8,即lnx=8,

12

令g(x)=lnx-8X,xNl时函数是连续函数，

11_2_

g(1)=-8<0,g(2)=ln2-2=lnVe>0,

12

g(4)=ln4-2<0,由函数的零点判定定理可知g(x)Enx-^x,有2个零点.

Inx]

2—

(结合函数y=x与y=8可知函数的图象由2个交点.)

-^-1,x<0

X

<2

13x€[o,1)1

当X<1时，y=l2X,函数的图象与y=8的图象如图，考查两个函数由2

个交点,

1

综上函数y=|f(x)|-8的零点个数为：4个.

参考答案:

(2a,-a)U(-a,-4a)

【考点】R2：绝对值不等式.

【分析】把不等式转化为0<|x+a|<-3a,利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等

式的解集.

|巫［〉］

【解答】解：因为a<0,则关于x的不等式晨+a।,所以不等式0<|x+a|<-3a,

根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到-a的距离大于0并且小于-3a,

可知不等式的解集为：（2a,-a）U（-a,-4a）.

故答案为：（2a,-a）U（-a,-4a）.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.设函数/（XI=产"Ix।，，s.x+cos2A-4

⑴写出函数的最小正周期及单调递减区间；

⑵当工时，函数/（X）的最大值与最小值的和为5,求/（幻的解析式；

⑶将满足（II）的函数/1X）的图像向右平移丘个单位，纵坐标不变，横坐标伸长为原来

2

的2倍，再向下平移5个单位，得到函数g（x）,求g（x）图像与X轴的正半轴、直线

n

x=—

2所围成图形的面积.

参考答案：

...4.l+co$2x..万、,1

/(X)=—sin2x+-------+a=sm(y2x+—)+a+-

解：(I)2262,

—+2fer^2x+—^―+2JCJT—xS—+Jt?r

由262，得63

故函数的单调递减区间是后+杭f+团代”).

(2)V--<x<-.：.--<2x+-<—,：.--<sm(2x+-)<l

6366626

(1+&+3+(-[+4+—)=—

X€7甸时,

当原函数的最大值与最小值的和2222,

a-0,/(*)=sm(2x+?)+!

62

Psmxdx=-cosx|I

(3)由题意知曰#二沏*=1

略

19.(本大题满分13分)

已知｛。〃｝为递增的等比数列,且｛M。3,—£｛-10,-6,-2,0,1,3,4,

16).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)是否存在等差数列｛加｝,使得aibn+a2bn-l+a3bn-2+...an勿=2"+/-”-2对一切

〃GN*都成立?若存在，求出为；若不存在，说明理由.

参考答案：

(1)解：•••｛加为递增的等比数列，其公比为正数

又｛。1，痣，痣卜=｛-10,—6,~2,0,1,3,4,16｝

=a3-4,a5=162分

o1"—2

故巧

,｛即｝的通项公式为4.7"4

分

(2)解：假设存在满足条件的等差数列｛尻｝,其公差为d

当〃=1时，6Z1Z?1=1,又。1=1,/./?!=1

当〃=2时，a也+a2bl=4,即"+2加=4,:.bz=26

分

故〃=比一4=1,bn=b\+(n—1)J=n8

分

下面证明

当加=〃时，a\bn+a2bn-x+a^bn-i+...+anbi=2"+1一〃一2对一切〃GN*

都成立

设S”=a\bn+a2bn-i+a3bn-2+...+anb\

即S"=lx〃+2x(〃-1)+22x(n—2)+23x(n—3)+...++2"-?x2+2”一我1①

2Sn=2x〃+22x(n—1)+23x(n—2)+24x(n—3)+...++2"-lx2+2”xl

②10分

S=-x+2+7+?+“•+2*T+丁=_n+_——»2**-n-2

②一①得:"1-2

...存在等差数列｛况｝，使得。仍"+。2尻—1+a3bn-2+...+anbi=2"+i—”―2对一切

〃6N*都成立

13分

另解：假设存在满足条件的等差数列｛为｝，其公差为d,则

17+—+?*+•••+尸'+厂七①

2＞现+2'a+2＞忆+”.+尸4+74②6分

②—①得：+〃+网+…+7'd+2"48分

.rq-b,+d(2"-2”(4+d)7-M-q-d皤分

他+d・2

|d-l

解得：4=1,d=i,:.bn=n

故存在等差数

列｛况｝，使得。1加+。2加―1+a3bn-i+...+anb\=2"】一〃一2对一切

〃GN*都成立13分

/,、+ax+b)zAox

C/(JT)«=---------------------.(a>O.xeR)

20.设X=3是函数.d的一个极值点。

（1）求a与占的关系式（用。表示5）,并求/（M）的单调递增区间;

,、_（225.r

（2）设*'>4",若存在”.必6［0用使得|/（山）・8（。）1<1成立，求实数4

的取值范围。

参考答案：

..、e3(xJ+ax+4)....tf3(-x2+2x-ax+a-i)

•••/(X)=——；——-.(X€2?)/\x)=—i------；----------

1)@,e

.，入©'(4+2x3-3a+a-b).

3---------?---------=0b-……(3分)

；a>0f

f(\_+2x-ax+3a+3)

r>ua

令/⑴=-|px-(2-a)x-(3+l)a<0

解得：-l-a<x<3,

所以/(x)的单调递增区间是:「1-a3]；....................(6分)

（2）由（1）可得，函数/（”在［°，3］上单调递增，在［3,4］上单调递减,

&（x）=〃3）…6,且/（0）=心+犷</（4）=

函数/（力在“€t0,4l的值域为〔一（如+3""+6］,……（8分）

H（x）=（/+%，>o

又4

g（x）在［04］上单调递增，故

"经储+Q）J

g（x）在xe［0,4］的值域为［4\4）」，........（10^）

若存在/.马€［0.4］使得|」®）-g（4）I<I成立,

等价于I九（X）-L（x）|<1或Ig.（X）-&（X）|<I,……（13分）

+乏”+6

又ks5u

r.25

(a2+—)—(a+6)<1

443

于是：I”>°，解得:0<a<一

2；(15分)

定)

所以实数。的取值范围是：-.........................(17分)

21.已知G1=2,1b1=1,(2a-3b)'(2a+b)=9.

(I)求向量a与b的夹角e；

(II)求Ia+bI及向量a在a+b方向上的投影.

参考答案:

【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角.

【分析】(I)将已知等式展开转化为两个向量的模压机数量积的计算问题，利用数量积

公式求6;

(II)根据投影的定义，利用数量积公式解答.

【解答】解：(I)因为&=2,1b1=1,(2a-3b)>(2a+b)=9.

-22—•—*

所以4a-3b-4a'b=9,即16-8cos。-3=9,

1

所以cos9=2,

因为0e[0,JT],

所以3；

(II)由(I)可知''Mal|E|cosm'=1,

—♦—•—♦—2—•—♦—•—♦/—•2~♦2J—

所以a・(a+b)=a+a・b=5,|a+b|=Va+b+2a*b=V7,

1•(W+E)二5二如

所以向量W