2023年初升高数学讲义之二次函数的最值

初升高之二次函数的最值

资料编号:202308090806

本节衔接概况

在初中阶段，我们已经详细研究了二次函数的图象及其性质，并且利用二次函

数的性质解决了一些实际问题，如最值问题.面对一个实际问题，我们可以建立一

个目标函数,这个目标函数如果是一个二次函数，那么我们通过对目标函数配方,

把目标函数由一般式化为顶点式后，就可以获得目标函数的最值以及取得最值的

条件，从而获得实际问题的最佳方案.然而，我们在求二次函数的最值时，遇到的往

往是具体函数，且自变量的取值范围是全体实数，在高中阶段，问题就变得复杂了,

我们遇到的二次函数不再是具体函数，是含有参数的,并且给出的自变量的取值范

围是被限定在某一个范围之内的，这时候求二次函数的最值，要综合考虑抛物线的

开口方向、对称轴以及自变量的取值范围与对称轴的相对位置关系等等.因此，我

们有必要对二次函数的最值在这里做一个拓展学习,以适应高中的学习.

函数的最值

函数的最大值与最小值统称为函数的最值.

研究函数的最值要先确定函数的定义域,即自变量的取值范围.对于同一函数,

定义域不同,函数的最值也不同.

y=x+I,函数的定义域为R,函数无最大值和最小值，若-IWXWI,则函数的最大

值为2,最小值为0;再比如反比例函数y=女,既无最大值也无最小值，但若1WxW

x

6,则函数的最大值为2,最小值为;;还比如二次函数丁=——x+i=(x-；J+1,

13I3

当X=5时,函数有最小值a,无最大值，若XW2,则当X=5时,函数有最小值7,

当x=2时,函数有最大值3.因此，在研究或讨论函数的最值时，一定要先明确自变

量的取值范围.

从“形”的角度来看，函数的最大值或最小值就是其图象上最高点或最低点的

纵坐标，而最高点或最低点的横坐标就是函数取得最大值或最小值的条件.

二次函数的最值

二次函数的最值与其图象的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围有关.

我们研究的是自变量的范围是全体实数的二次函数的最值和自变量的范围是

部分实数的二次函数的最值.

自变量的范围是全体实数的二次函数的最值

对于二次函数夕=以2+&+°("0),通过配方我们可以把一般式化为顶点

式:八1》+2丫+”0(g0),其图象的对称轴为直线x=-2,顶点坐标为

V2aJ4a2a

'h4ac-b2

、2。’4a)

(1)当。＞0时,二次函数有最小值为Wn=处左，此时X=-2.函数无最大

4a2a

值；

(2)当。＜0时,二次函数有最大值为Kax=%二且，此时*=-2.函数无最小

4a2a

值.

例题讲解

例1.求下列函数的最大值或最小值：

12

(1)y--X1-2x+3;(2)y———x2+2x-6.

53

分析在求具体二次函数的最值时，通过配方把一般式化为顶点式，即可确定二次

函数的最值以及取得最值的条件.

1

解=

5--2x+3=-(x-5)2-2

...当x=5时，函数取得最小值，最小值为=-2；

(2)八一二2+21=一彳一，一？

3312)2

...当X=|时，函数取得最大值，最大值为Bax=-1

例2.设关于x的二次函数y=2x2-4px+3P的最小值为/(p).

(1)求/(p)；

(2)当「为何值时J(p)有最值，其最值是多少？

解：(1)y=2x2-4px+3p=2(x-p)2-2p2+3p

/(P)=-2p2+3。；

(2)•••/(p)=-2/+3p

•••/(〃)=—2(p—£|+|

49

二当p=I时J(p)有最大值，最大值为/(p)=-.

4omax

例3.已知3x+2y=12,求孙的最大值.

解：,?3x+2y=12

.・.y=6A——3x

2

xy==-1-x2+6x=--|(x-2)2+6

3

...当x=2/=6-]x2=3时，孙取得最大值为6.

例4.求函数y=——；的最大值.

1-x(l-X)

分析对于函数g(x)=J,若函数/(x)恒大于0,则当函数/V)取得最小值时,

/(X)

函数g(x)取得最大值，即当/(x)>0恒成立时,g(x)max=—i―-

/(Mmin

对于本题，我们要先说明函数/(X)的值恒为正数，再求出函数/(X)的最小值,

即可解决问题.

解：卜=匚自二针1匕

设/(x)=x2-x+l=(x-g)+:,则/(工)2：

3

4

...函数:、的最大值为,皿=与「=;=4

l-x(l-x)/(x)min23

4

点评新知在高中，对于函数/(x),/(a)表示的是与自变量x=a对应的函数值.

例5.已知二次函数y=/(x)的最大值为13,且/(3)=/(-1)=5,求该二次函数的

解析式.

分析由条件/(3)=/(-1)=5可知(-1,5),(3,5)两点在该二次函数的图象上，且

关于直线彳=二9=1对称,所以其图象顶点的横坐标为1,而顶点的纵坐标就是

2

函数的最大值13,因此我们可以把二次函数的解析式设为顶点式.

解：:/(3)=/(-1)=5

...该二次函数图象的对称轴为直线.产=】

•••函数的最大值为13

，其图象的顶点坐标为(1,13)

,可设该二次函数的解析式为y=a(x-炉+13

把(3,5)代入解析式可得:ax(3-球+13=5，解之得:a=-2

.•.该二次函数的解析式为y=-2(x-l)2+13=-2/+4x+ll.

例6.设函数/(x)=2/+3侬+2根.

(1)求函数/(x)的最小值g(M；

(2)当加为何值时,g(加)有最大值，最大值是多少?

解：(1)/(x)=2x2+3mx+2m=2^x+29,,

—+2m

8

9

/.g(用)=——4-2m;

8

2

8+8

(2):g(〃?)=--tn2+2〃？=--m——+9

889

r8\8

\1

^g一

g(z=l-一-

x979

即当加=号时,g(M有最大值色.

99

例7.已知二次函数/(幻=加/+(加-3卜+1,对于任意实数%,恒有/(%)</(〃?),

求常数〃?的值.

解：由题意可知:加<o且/(x)111ax=/(M

3

解之得:加=——(加=1>0舍去)

2

•••常数加的值为-3.

2

区间的概念及其表示

为了研究二次函数在给定范围内的最值的方便,这里给出区间的概念及其表

示.

设是两个实数，且。〈仇规定：

(1)满足不等式。<xW6的实数x的集合，叫做闭区间，表示为口㈤；

(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合，叫做开区间，表示为(q,b);

(3)满足不等式aWx<b或a<xWb的实数x的集合，叫做半开半闭区间，分别

表示为L，b),(a,b].

这里的实数a,6叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那

一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.

实数集R可以用区间表示为(-oo,+00)00”读作“无穷大”，“-00”读作“负无穷

大”,“+00”读作“正无穷大”.

区间的数轴表示(几何表示)

定义名称符号数轴表示

{x\a<x<b\闭区间

♦-------------A

3b

{x\a<x<b}开区间(a,b)

》<)

5A

<X</?}半开半闭区间[a,b)

,A

b

{x\a<x<Z))半开半闭区间(凡”

♦A

.b

把满足不等式x>a,x>a,x<b,xWb的实数x的集合，分别表示为

(a,+oo),[a,+oo),(-oo,/)),(-oo,ft].

定义符号数轴表示

—

x>a(a,+oo)

a-

x2a[a,+oo)

4

x<b(-8,»

b

xWb(-co,”—

』一

对区间的概念及其表示的理解

（1）区间用来表示连续的数集，并不是所有的集合都可以用区间来表示，如集合

{1,2,3}就不能用区间来表示.

（2）区间的左端点必须小于右端点.

（3）区间符号里的两个字母或数字之间用“，”隔开.

（4）在将连续的数集表示为区间时，包含端点的用中括号表示，不包含端点的，用

小括号表示.

（5）在用数字表示区间时，包含端点的，画成实心点，不包含端点的,画成空心点.

(6)若。为区间的左端点,b为区间的右端点，则把叫做区间的长度.区间的

长度必须大于0.(因为b>a)

(7)连续的数集既可以用集合表示，也可以用区间来表示.

自变量的范围是部分实数的二次函数的最值

对于二次函数/(x)=ax2+bx+c(aH0),当时,函数的最值不一定在

顶点处取得，此时，二次函数的最值取决于抛物线的开口方向、对称轴以及自变量

的值所属的区间.为了研究的方便,画简图是个好办法.

求二次函数/(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间［机,〃］上的最值分为以下三种情况：

(1)对称轴在区间的左侧

若》=一2<加，贝Uf(x)在区间［加,〃］上是增函数，最大值为/'(〃)，最小值为/'(/»);

2a

(2)对称轴在区间内

若加w—〃，则/(X)的最小值为随二匕，最大值为了(加)、/(〃)中的

2aV2aJ4a

较大者(或区间端点机，〃中与直线x=-2的距离较大的那一个端点所对应的函数值)；

2a

即最小值为="了，最大值为y(x)1rax=max{/(m),/(»)}.

V2aJ4a

(3)对称轴在区间的右侧

若x=-2>〃，则y(x)在区间［%〃］上是减函数，最大值为/■(/«),最小值为/,(«)-

2a

注意：当抛物线的对称轴在区间［%〃］上,即加〃时，函数的最小

2a2a

值在顶点处获得，为顶点的纵坐标，即/(x)rain==J函数最大值的

V2(774a

确定需要分为两种情况：

区间［九〃］的中点为二产(由中点坐标公式得到).

①当加W-2辽'±2时(即右端点〃距离对称轴较远)，函数的最大值为/•(〃)；

2a2

②当%〃时(即左端点机距离对称轴较远)，函数的最大值为/(加).

综上所述，二次函数的最大值为/(x)max=max{/(/»),/(«)}.

二次函数的最值的图象说明

具体见下面的表格:

y=ax2+6x+c4〉0a<0

1

b机+〃/V

m<---<----

2a2

当x=V时，取得J最小值

当X二〃时，取得最小值

当T时，取得最大值

当X="时，取得最大值

当》=，〃时，取得最小值当工="时，取得最小值

当》=〃时，取得最大值当》=加时，取得最大值

常见的题型分为以下四种:

(1)对称轴确定，区间确定(即定轴定区间)；

(2)对称轴确定,区间含参(即定轴动区间)；

(3)对称轴含参,区间确定(即动轴定区间)；

(4)对称轴含参,区间含参(即动轴动区间).

例题讲解

例&已知函数/(x)=——x+2,求满足下列条件时，函数/(x)的最大值和最小

值：

(1)xe[-1,0];(2)xe[0,1];(3)xe[1,2].

解：/(x)=--x+2=(x—；J+；,该函数图象开口向上，对称轴为直线x=g

(1)W1,0]

/(x)min=/(0)=2,/(4皿=/(T)=4；

(2)VxG[0,1]

，/(x)min=/(])=a,""'1™*=/(0)=/⑴=2；

(3)VXe[1,2]

•••=/⑴=2=/⑵=4.

例9.已知函数/(x)=x2-4x+l,当xe[a,a+2]时,求函数/(x)的最小值.

解：/(x)=/一4*+1=(》-2)2-3,该函数图象开口向上,对称轴为直线8=2

当a+2W2,即“W0时=/(«+2)=(«+2-2)2-3=a2-3;

当aW2<a+2,即0<aW2时,/(x/in=/(2)=-3;

当”>2时,/(x)min=/⑷=/—4a+1.

综上所述，当aW0时，函数/(x)的最小值为/_3;当0<aW2时，函数/⑴的最小

值为-3;当。>2时，函数/(x)的最小值为4a+l.

例10.若函数/(X)=/+G_1在区间k1,1]上的最大值为14,求”的值.

解：函数/(X)=/+ax-1图象开口向上,对称轴为直线x=-£

当一eo,即aW0吐/(x)max=/(-1)=l-a-l=14，解之得:a=—14;

当一最＜0,即a＞0时,/(x)max=/⑴=1+”1=14,解之得:4=14.

综上所述,a的值为14或-14.

例11.已知函数(加+；｝+:,是否存在实数加，使得当加WxW

m+2时，函数有最小值-5?若存在，求出加的值;若不存在，说明理由.

分析本题难度较高，属于对称轴和自变量的取值范围均含参数的最值问题.

解:函数y=(，一(加++1的图象开口向上,对称轴为直线x=2〃?+1.

①当加+2W2m+1,即团21时，当x=加+2时

Nmin=；(m+2)2+(m+2)+；=阳2-/H+^=-5

整理得:加？+2加-7=0

解之得:叼=一1+2我,%二一1一2五

m三1

・•m=