新高考2023届高考数学二轮复习练习 第23讲证明数列不等式学生版

第23讲证明数列不等式

一.解答题(共47小题)

1.(2021•浙江月考)设等差数列｛/｝的前为S,,,已知出=4,S4=20.

(1)求数列｛α,,｝的通项公式

2

(2)记数列｛%+*｝的前〃项和为7；,求证：Tn<n+n+^

2.(2021春•江油市校级期中)等比数列｛%｝的前"项和为S,,已知对任意的〃eN*,点(n,S„),

均在函数y=6'+r3>0且b,厂均为常数)的图象上.

(1)求r的值；

(2)当6=2时，记加=巳里("cN*),求数列｛2｝的前〃项和

也

(3)由(2),是否存在最小的整数机，使得对于任意的“eN，,均有3-2T“<*,若存在，

求出加的值，若不存在，说明理由.

3.(2021春•兰山区校级月考)等比数列｛",,｝的前〃项和为S,,,已知对任意的"cN*,点

均在函数y=b'+"6>0且bwl,b,r均为常数)的图象上.

(1)求厂的值；

(2)当6=2时，记4=2(bg3%+l)5EN"),证明：对任意的〃∈N*,不等式

叱1Λ±1∙.,Λ11>G成立.

b∖b2hn

4.数列｛4,,｝的前〃项和为S11,已知对任意的"cN+,点(〃,S“)均在函数y=6*-l(b>0且

b≠∖,b均为常数)的图象上.

(1)求证：｛α,J是等比数列；

(2)当6=2时，记"=2里SeN+),证明：数列也｝的前〃项和北<2.

4%2

5.(2021•临沂期中)等比数列｛%｝的前〃项和为S,，已知对任意"wN',点(〃3.)均在函

数y=2'+r(r为常数)的图象上.

(1)求「的值；

(2)记々="%("wN*),数列色｝的前〃项和为7；,试比较2S,与7；的大小.

6.已知二次函数仁1图象经过坐标原点，其导函数为/(x)=6x-2,数列｛〃,,｝的前〃项和

为，，点5，S,)("GN∙)均在函数y=∕(x)的图象上；又b∣=l,cn=∣(αn+2),且

2

l+2a2+2乜+…+2"-⅛π,l+2"Tbn=cn,对任意〃eM都成立，

1

(1)求数列｛α,J,也,｝的通项公式；

(2)求数歹U｛q,•4｝的前”项和T11；

(3)求证：(i)∕w(x+1)<(x>0)；(ι7)V^v-<—~-(πeJV*.n.2).

Ma：4(〃+1)

7./(χ)=-l×4-'+l+ft,等比数列｛%｝的前"项和为S,,，点勺5，S")(〃WM)均在函数

y=f(x)±..

(1)求6的值及数列｛%｝的通项公式；

(2)设6.=10氏(83、氏)，记数列也｝的前〃项和为7；,是否存在左eN*,使得

ZL+%+…+4</对任意〃eN.恒成立？若存在，求出力的最小值；若不存在，请说明

12n

理由.

8.已知q=JlX2+J2x3+J3χ4+...++1)(〃eN*),求证：D<%V+1户.

9.(2021•嘉兴模拟)设数列｛%｝的前〃项和为S”,已知q,⅛,SIl成等差数列，且%=邑+2,

〃∈N*.

(I)求数列｛〃〃｝的通项公式；

(II)i己“=~⅛,∕7∈N*,证明：⅛1+h2+...+b.,--------------,“GN*.

〃S；,244(2n-l)

γ~+2Y

10.(2021春•秀山县校级月考)设函数/(x)=>(l+x),g(x)=tz-------(a∈Λ).

1+x

(1)若函数〃(X)=/(x)-g(x)在定义域内单调递减，求α的取值范围；

⑵设〃eN*,证明：(1+2)(1+刍…(1+/•)<e%为自然对数的底数).

H.(2021春•阳江校级月考)设数列｛”,,｝满足4=2,a,,+1=^-»«„+1,〃=1,2,3,…，

(1)求白2，〃3，〃4；

(2)猜想出｛%｝的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；

1一3

(3)设数列｛“｝的前〃项和为7；,求证：Tn<-.

an4

12.(2012秋•济源校级期中)设数列｛αzl｝满足％=2%+1(〃…2),且q=l,bn=Iog2(¾+1)

(1)求数列｛qj的通项公式；

1Ti

(2)设数列｛—^｝的前〃项和为S〃，证明：Sπ<-.

她+24

13.(2007•崇文区一模)已知数列｛a,J中，q=；，。屋〃〃.1=4—ι一%(几∙2,〃£N*),数列｛4｝

2

满足"=，(〃€%.).

an

(I)求数列｛4｝的通项公式；

1T1

(II)设数列｛」一｝的前"项和为7；,证1明.

也4M+2

14.(2021春•绍兴期中)已知正项数列｛氏｝满足：αl=∣,⅛=¾.,⅛2),S“为数

列｛”,J的前〃项和.

(/)求证：对任意正整数〃，有之“2;

n2

(〃)设数列的前”项和为(,，求证：对任意"e(0,6),总存在正整数N,使得〃>N

时，Tn>M.

15.(2021•邯郸一模)已知正项数列｛4｝的前〃项和S,满足：6S.=6：+34+2(〃eN"),且

b1<2.

(I)求｛"｝的通项公式；

(II)设数列｛4｝满足：Q∣=2,%=(1+"!■)%_I(〃...2,且〃∈N*),试比较α〃与#"+］的大小,

并证明你的结论.

16.(2021•安徽三模)已知正项数列｛%｝的前〃项和为5,，且

∕=⅜⅛+%∙∙+"M)

①求生,a2,%；

②求数列｛q｝的通项公式4;

③若数列｛hn｝满足⅛l=l，2=bfl∣+L几.2),求证：

%

优<2+2(ga+：仇+：“+…+LaT)(〃…2)•

234n

17.(2021春•历下区校级期中)(1)已知α>6>0,m>0,比较。和竺竺的大小并给出

aa+m

解答过程；

(2)证明：对任意的〃eN+,不等式工工工…出口>而T成立.

2462n

18.(2021•盐城三模)(1)已知q>0也>0(ieN*),比较⅛-+%与鱼也2的大小,试将

α1a2a1+a2

3

其推广至一般性结论并证明;

1352n+1("+Ip

(2)求证：:r+[+2+...+(nwN*).

dC戏T

19.(2021春•枣庄校级月考)(1)已知加都是正数，且。<6,用分析法证明空巴>应；

b+tnb

(2)已知数列｛4｝的通项公式为%=U,∕ι∈N'∙利用(1)的结论证明如下等式：

11113

—+—+—+...+—<—.

«1a2a3an2

20.(2021•杭州期中)已知数列｛叫的前〃项和，满足3%+2S,,-l=0,且％=g∙

(I)求数列｛α,J的通项公式；

117

(H)设包=3〃S+1，证明：4+&+a+…+a<〃+ɪɪ.

21.(2021•沙坪坝区校级一模)已知数列｛α,｝的前〃项之积北满足条件：①｛工｝为首项为2

λn

的等差数列；②7；-?；=：.

(1)求数列｛4｝的通项公式见；

(2)设数列也｝满足4=口二一可，其前n项和为Stt.求证:对任意正整数〃，有0<S“<L

V〃+24

22.已知数列｛4｝中，S,,为｛%｝的前〃项和，an+λ=Sn-n+3>,neN',al=2.

(1)求｛〃“｝的通项公式；

(2)设“=--—SeN*),数列｛，｝的前〃项和为7；,求证：Tιι<-(π∈7√*).

Sn-n+233

23∙(2021∙宾阳县校级期中)已知公差不为0的等差数列｛%｝满足：％=1且％,%，须成

等比数列.

(1)求数列｛α,,｝的通项公式可和前n项和S,,；

(2)证明不等式3--Lj+-S-+,+…+-5-<2」(九.2且〃wN*)

2n+lSiS2S3Snn

24.已知函数/(x)=/"x,g(x)=,(α为常数)

2X

(1)若方程e2∕">=g(x)在区间g,1］上有解，求实数。的取值范围；

(2)当α=l时，证明不等式g(x)<∕(x)<x-2在［4,+oo)上恒成立;

(3)证明：(Textranslationfailed),("∈N*)(参考数据：。2、0.693)

4

25.(2021•衡水校级模拟)已知函数/(x)=XCOSX-SinX(X>0).

(1)求函数/(X)在点弓,/(∣))处的切线方程;

(2)记/为/(X)的从小到大的第个极值点，证明：不等式

11117.小、

“建屋…+*<彳(""V

26.(2012•洛阳模拟)已知函数/(x)=∕"x-αv+Eq-IgCR).

X

(I)当α<g时，讨论/(x)的单调性；

(II)当α=0时，对于任意的n∈7√t,且〃..2,证明：不等式

11132〃+1

H------------1"...+------〉-----------------

/(2)/(3)/(77)42n(n÷1)

372fn-1

27.证明不等式：1+2+士+...+2~-<3.

593〃-2”

28.(2021春•辛集市校级月考)已知/(x)=(x+l)历(x+l).

⑺求函数/(x)的单调区间；

(Il)设函数g(x)=2x-——f(x),若关于X的方程g(x)=α有解，求实数α的最小值；

x+1

(III)证明不等式：ln(n+1)<1+,+,+-+L("EN∙)

23n

29.(2021•大庆一模)已知函数/(X)=1-QX+/〃X

(1)若不等式/(G∙0恒成立，则实数Q的取值范围；

(2)在(1)中，。取最小值时，设函数g(x)=x(l-/(x))-/x+2)+2.若函数g(x)在区

间［；,8］上恰有两个零点，求实数A的取值范围；

(3)证明不等式：2历(2x3χ4x...χ”)>∙^——型土^5∈N*且几..2).

n

30.(2021春•荔湾区校级月考)已知数列｛%｝的前“项和为S,,,a,=1,当〃..2时，

Sn=2Sn,l+I.数列｛4｝满足a+&-+…+%=2n-2+-ɪ-.

an%aι2^

(1)求数列｛α,,｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的通项公式；

(3)若数列他,｝的前〃项和为7；,求证：Sn...Tn.

31.(2021春•淮安期末)已知数列｛α,,｝的前"项和SM满足:S,=2(4-1),数列也｝满足:

5

对任意nwN.有Naibi=(w-<)∙2"+l+2.

/=I

(1)求数列｛α,,｝与数列他,｝的通项公式；

⑵设Q=%,数列也,｝的前N项和为7；,证明：当"…6H寸，n∖2-Tn∖<∖.

32.(2009秋•沙坪坝区校级月考)[x]表示不超过X的最大整数，正项数列｛凡｝满足q=l,

“Mi_1

l

-aa2~∙

n-l-,,

(1)求数列｛α,｝的通项公式凡;

222

(2)求证：a2+α,+...all>ɪ[ɪog,n](/;>2)；

(3)已知数列｛an｝的前〃项和为S,,,求证：当〃>2时，有

33.(2021•黄冈模拟)已知数列｛α,,｝满足an='一4∣-』〃•(2)”("...2,〃eN*),首项为％=3；

/?-1339

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记“=…”，数列也｝的前〃项和为?；，求证：加二±<7；<二；

3/7-2all93

(2y+i

(3)设数列匕｝满足G=LC向=上一c^+c„,其中人为一个给定的正整数，

24

求证：当“.4时，恒有ς,<l.

34.(2021•桃城区校级模拟)设公差不为0的等差数列｛q｝的前"项和为S,,,等比数列也,｝

的前”项和为北,若即是力与。4的等比中项，¾=12,alhl=a2b2=1.

(1)求凡,SIl与。;

nfn2

(2)若q,=[SjT.,求证：cl+c2+...+cn<'^).

35.(2021•柯桥区期末)设等差数列｛%｝的前刀项和为S,,a2=-3,SA=2(as+1),数列色｝

的前”项和为7；,满足A=-1,bn+l=TnTn+i｛n^N').

(I)求数列｛a“｝、也,｝的通项公式;

..√2

n

(11)记%=,n&N,证明：cl+c2+...+cll<~^^+ɪ)-

36.(2021•芜湖二模)已知数列｛α,,｝的前〃项和为S,,,且满足S“=1-4,(〃eN*).各项为正

数的数列｛"｝中,

6

(I)求数列｛α,J和也,｝的通项公式；

(2)设数列｛α也｝的前n项和为7；,求证：Tn<2.

37.(2021•温州期末)已知数列｛q,｝的前〃项和为S,,,满足α1=2,S,,+Sn+l=/+2(〃∈N').

(I)求｛%｝的通项公式；

(Il)设q为数列｛—1｝的前”项和，求证：对任意"€N",都有7；<3.

%

38.(2021•温州三模)已知正项数列满足q=l,α2=2,且对任意的正整数〃，1是a；

和a，的等差中项.

(1)证明：｛a2-。；｝是等差数列，并求｛4｝的通项公式；

(2)设〃=拿("cN*),S“为痣｝前〃项和，证明：Sn<2√2-4⅛,,+2(∕j∈7V,).

39.(2021•中原区校级月考)已知数列｛%｝满足叼=9,‰=8⅛-7.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)设a=疯［TgeM),将。的底数与指数互换得到4,设数列｛>｝的前“项和为刀,，

求证：τ<-.

"n20

40.(2021•浙江开学)已知数列｛%｝的前"项积为7；,al=|,且对一切N*均有

an^-a,,=Tn-Tn^.

(I)求证：数列为等差数列，并求数列｛a,,｝的通项公式;

号的前"项和为S,,,求证：S,,+lnT>∖.

(II)若数列n

41.(2021•台州模拟)已知数列｛《,｝,｛“｝的前〃项和分别为S“，Tn,且

S,=』4+3)也=匕&

"4”"l+52,,

(1)求数列｛4｝,也J的通项公式;

(II)求证：—n<T<ɪn+-.

1n714

42.(2021春•浙江月考)已知等比数列｛〃“｝的公比g>l,⅛a2+¾+¾=14,%+1是七，

%的等差中项，数列｛"｝满足：数列口,也,｝的前〃项和为“∙2".

7

(1)求数列｛4｝、砂“｝的通项公式;

+

(2)数列｛c,｝满足：c∣=3,cn+l=cn+—,πeN*,证明：cl+c2+...+cn>2∖neN'.

%2

43.(2021•浙江模拟)已知数列｛%｝的前〃项之积为7；,即7；,=CG•…∙g,且7；=10""叫，

4=lgcπ-1.

(1)求数列£｝,｛α,,｝的通项公式；

(II)设数列｛%｝的前〃项和为S.，⅛=⅛ΞΓξι,求证：对一切〃EN*,均有

111

—+—+...+—<3

瓦瓦bn

44.已知平面直角坐标系x°y,在X轴的正半轴上，依次取点∕∣,A2,A3,...Aιl(neN"),

并在第一象限内的抛物线炉=1x上依次取点与，与，Bi,瓦,SeN*),使得△

4一耳4∕∈N*)都为等边三角形，其中a为坐标原点，设第〃个三角形的边长为/(〃).

(1)求/(1),f(2),并猜想/(“)(不要求证明)；

(2)令%=9∕(")-8,记％为数列｛%｝中落在区间(9",户M)内的项的个数，设数列的前加

项和为鼠，试问是否存在实数2,使得2。，,对任意”?£"恒成立？若存在，求出2的取

值范围；若不存在，说明理由；

(3)已