北京市丰台区2022-2023学年高二上学期期中练习数学（A卷）（解析版）

丰台区2022-2023学年度高二第一学期期中练习

数学（A卷）

第I部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被

抽到的可能性为（）

111

A.—C.-----

101005000

【答案】B

【解析】

【分析】根据每个个体被抽到可能性都是相同的，即可计算得答案.

【详解】由题意可知了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况,

从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的,

100_1

故可能为

5000^50

故选：B

2.已知空间向量α=（0,1,3）,B=（X,y,l）,若。〃力，则孙Y的值分别为（）

A.ɪ,0B.0,3C.3,0D.0,ɪ

33

【答案】D

【解析】

【分析】利用得到α=∕l伙/INO）,即可计算求解.

忒=0尤=0

［详解】由allb，得α=λb{λ≠0）＞故T=λy,解得＜J

3=2H=W

故选：D

3.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M="甲元件故障"，N="乙元件故障”，则表示该

段电路没有故障的事件为（）

甲乙

--------1I~II—

A.MuNB.MuNC.MCND.MN

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件，得出甲、乙两个元件的故障情况，即可得出结果.

【详解】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件而和耳同时发生，即事

件而CH发生.

故选：C.

4.在空间直角坐标系。孙Z中，点(1,-2,3)关于X轴对称的点为()

A.(1,2,-3)B.(-1,2,-3)C.(-1,-2,3)D.(-1,2,-3)

【答案】A

【解析】

【分析】利用点M(X,χz)关于X轴对称的点的坐标是Z)即可得出.

【详解】关于X轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，点(1,-2,3)关于X轴

对称的点为(1,2,-3).

故选：A.

5.在长方体ABCD-AIBCQ中，AB=a.AD=b，A4l=c，点M为AQl中点，则CM等于

()

1.--1---1-1-

A.~(x—b+cB.ci—b+cC.—aH—b—cD.—ci—bH—c

22222

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.

【详解】连结AMAC，如图，

因为AC=A8+AO=a+力，AM=万AQ=/=,

所以CM=CA+AM=-AC+Λ4∣+AM=-(a+b)+c+；b=-a-gz?+c.

故选：A.

6.在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量

为50,将所有数据分组整理后，绘图如下，以下结论中正确的是()

五

⅛<

而g

^

γ

^

理

卬

γ彘

⅜

/

观看场数

A,图中数值为26

B.估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人

C.估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数

D.样本数据的第90百分位数为5

【答案】C

【解析】

【分析】由频率和为1求W,根据条形统计图计算观看比赛不低于3场的人数、中位数、平均数，百分位

数判断各选项.

【详解】由题意8%+10%+m%+26%+l()%+6%+2%+2%=l,加=36,A错；

不低于3场的人数约为3000×(l-8%-10%)=2460,B错；

由已知得中位数是3,

平均数是Iχ8%+2χlθ%+3χ36%+4χ26%+5χlθ%+6χ6%+7χ2%+8χ2%=3.56,C正确;

由条形图，观看场数不大于5的百分比为90%,因此第90百分位数是5.5,D错.

故选：C.

7.已知平面a=其中点6(1,2,—1),向量"=(1,1,-1),则下列各点中在平面α内的是

()

A.(3,2,1)B.(-2,5,4)C.(-3,4,5)D,(2,-4,8)

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，对选项逐一求出4P,再判断〃•4P是否为O即可.

【详解】因为6(1,2,-1),"=(i,ι,T)

对于A,PnP=(3,2,1)-(1,2,-1)=(2,0,2),故P=2+0-2=0,即〃_LqP,故选项A中的点

在平面α内，故A正确；

对于B,兄尸=(—2,5,4)—(1,2,—1)=(—3,3,5),故〃.用。=一3+3-5=-5,即〃P不互相垂直，故

选项B中的点不在平面戊内，故B错误；

对于C,々P=(—3,4,5)—(1,2,—1)=(T,2,6),故〃•4P=-4+2—6=—8,即〃,4户不互相垂直，

故选项C中的点不在平面α内，故C错误；

对于D,F^P=(2,-4,8)-(1,2,-1)=(1,-6,9),故”/P=I-6—9=-14,即”不互相垂直，故

选项D中的点不在平面α内，故D错误.

故选：A.

8.如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体，观察它

与地面接触的面上的数字，设该数字为X.若设事件人一5为奇数“，事件3=''x为偶数"，事件C="x

为3的倍数”，事件。="x≤3",其中是相互独立事件的是()

A.事件A与事件8B.事件8与事件C

C.事件A与事件。D.事件C与事件Z)

【答案】B

【解析】

【分析】分别写出A,B,C,。包含的样本空间，根据相互独立事件满足的乘法公式，即可判断.

【详解】由题意可得A={l,3,5,7},B=[2,4,6,8},C={3,6},Z)={1,2,3},

AB=0,BC={6},AD={1,3},CD={3},

由古典概型概率公式可得：

P(4)=1P(8)=;,P(C)=；，P(O)=：，P(AB)=O,P(BC)=]2(A。)=；,P(CD)=ɪ

ZZ4oo48

所以P(AB)≠P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AD)≠P(A)P(D),P(CD)≠P(C)P(D),

故ACD错误，B正确.

故选：B

9.李明父亲从2022年1月开始，每月1日购买了相同份数的某一种理财产品，连续购买4次，并在5月

1日将持有的理财产品全部卖出.已知该理财产品的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且李明父

亲在本次投资中没有亏损，那么下列四个折线图中反映了这种理财产品每份价格（单位：万元）可能的

变化情况的是（）

每份价格（万元）

1月1日’2月1日’3月1日’4月1日‘5月1日"

1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日

1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日1月1日2月1日3月1日4月旧5月1日

【答案】C

【解析】

【分析】逐项分析选项中4次投资的总金额与卖出时收获的金额即可判断.

【详解】由于本次投资中没有亏损，所以需要计算判断4次投资的总金额与卖出时收获的金额，两者持

平，即为没有亏损，不妨设李明父亲每月只买1份理财产口，

对于A,4次投资的总金额为0.75+1+1.25+1=4（万元），卖出时收获的金额为4χ0.75=3（万元），显

然这属于亏本，故A错误；

对于B,4次投资的总金额为1+1.25+0.75+1.25=4.25（万元），卖出时收获的金额为4x1=4（万元），

显然这属于亏本，故B错误；

对于C,4次投资的总金额为1.25+1+0.75+1=4（万元），卖出时收获的金额为4χl=4（万元），显然这

属于没有亏损，故C正确；

对于D,4次投资的总金额为1.25+1+1.25+1=4.5（万元），卖出时收获的金额为4x1=4（万元），显然

这属于亏本，故D错误.

故选：C.

10.在空间直角坐标系。孙Z中，若有且只有一个平面ɑ,使点A（2,2,2）到α的距离为I,且点8。％0,0）

到a的距离为4,则心的值为（）

A.2B.1或3

C.2或4D.2-√ΠWc2+√17

【答案】B

【解析】

【分析】由点AB到平面。的距离是确定的且平面α只有一个，可得45,α,且AB两点在平面。同

侧，由此可得线段AB的长，从而求得加值，

【详解】因为有且只有一个平面ɑ,使点A（2,2,2）到夕的距离为1,且点仇见0,0）到C的距离为4,

所以ABLa,且A,B两点在平面C同侧，AB=4—1=3,

7（m-2）2+4+4=3.加=］或3.

若A8>3,则线段AB与平面α至少有下列两种位置关系，即平面α至少有两个.

若A8<3,由上面AB>3的图形知，A,B两点到平面α的距离的差的绝对值不大于AB,与已知矛

盾，即不存在平面α满足题意.

故选：B.

第∏部分(非选择题共no分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

IL某校学生共2OOO人，采用分层随机抽样抽取一个样本量为50样本，若样本中男生人数为20,则可

估计此学校女生人数为.

【答案】1200

【解析】

【分析】利用分层抽样比例相等得到关于女生人数的方程，解之即可.

【详解】设此学校女生人数为%,则样本中女生的人数为5()-20=3(),

由分层抽样比例相等得侬=土，解得X=1200,

5030

故估计此学校女生人数为12(X).

故答案为：1200.

12.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，若取出的产品全是正品的概率为0.85,则取

出至少有1件次品的概率为.

289

【答案】0.2775##——

400

【解析】

【分析】可用间接法，即用对立事件来求概率.

【详解】由己知得，取出2件产品中，1件次品也没有的概率为0.852=0.7225.

所以，取出至少有1件次品的概率为1-0.7225=0.2775.

故答案为:0.2775.

13.在长方体ABCD-A耳GA中，若AB=Ar>=1,AA=2,则直线A片与所成角的余弦值为

4

【答案】-##0.8

【解析】

【分析】因为AD"BG，所以直线A々与BG所成的角，即直线A耳与AA所成的角，在ABQl中用

余弦定理解三角形，得CoSNqA。即为所求.

所以直线ABl与BCl所成的角，即直线AB1与AD1所成的角，

又因为AB=A£>=1,AAI=2,所以做=AA=石，BQ=JL

5+5-24

在.ABQ］中，由余弦定理，cosZB1AD1=,

4

所以直线AB1与BC1所成的角的余弦为二.

4

故答案为：~■

14.已知空间向量α=(1,-2,3),则向量α在坐标平面OXZ上的投影向量的模是.

【答案】√W

【解析】

【分析】先求出投影向量，再求向量的模.

【详解】当α=(l,-2,3)以坐标原点为始点时，其终点A(I,-2,3)在坐标平面QXZ上的投影坐标为(1,0,3),

所以向量a=(l,-2,3)在坐标平面QXZ上的投影向量Z=(1,0,3)，a'=√l2+02+32=√10.

故答案为：√io

15.如图，在棱长为2的正方体ABC。一ABlGA中，E为的中点，JF为线段Ba上的动点.给出

下列三个结论:

①三棱锥F-AAE体积为定值；

②存在唯一点F使EFJ.QF；

③点E到直线AD1的距离是述.

2

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③.

【解析】

【分析】根据线面平行的判定，线面垂直的判定，结合已知条件，对每个选项进行逐一判断，即可选择.

【详解】对①：因为BG//2A2AU面A。E,故可得BG〃面ADtE,

又点尸在BCl上运动，故点尸到平面AAE的距离为定值，又4ADE的面积为定值，

故F-AAE的体积为定值，①正确；

对②：若点EG重合，因为AG，面G4BC,∙u面G46C,则。GD'，即RF；

若点尸不与G重合，过点E作BG的垂线，记垂足为尸，如下所示：

因为ABJ_面BCG4,EFU面BCG四，故可得所J_A6,又EF：LBC

BCI,ABu面ABCl9,BCleAB=B,故EF_1_面A5C∣O∣,又Z)IFU面ABCl〃，

故EFJ.D/；

综上所述：使的点尸不唯一，故错误;

22

对③：在aA"E中，AE=^AB+BE=√5-AD1ɪ√2AP=2√2,

5+8-9√iθ

又*=JQA2+4斤+旦炉=3,COS"E=ADLX

蓝2×2√2×√5^10

3√W则点E到AR的距离为SinNAAEXAE=述，故③正确.

则SinNDIAE=

10

故答案为：①③.

【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行，线面垂直的判定和性质，处理问题的关键是熟练的应用判定

定理和性质定理，属综合中档题.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知空间向量α=(2,-2,1),b=(2,-l,4),c=(x,5,2).

(1)若aJ_c，求x；

(2)求∣3α-2b∣;

(3)若向量C与向量α,6共面，求实数X的值.

【答案】(1)4(2)3√5

26

(3)——

7

【解析】

【分析】(D根据向量垂直的性质直接求解；

(2)根据向量的模长公式计算求解；

(3)根据向量共面的应用直接求解即可.

【小问1详解】

解：Qj_C，

，QC=O，

即(2,-2,1)(乂5,2)=0,

.∙.2x-10+2=0,

解得x=4∙

【小问2详解】

解：3〃-2b=（6,—6,3）—（4,—2,8）=（2,—4,—5）,

222

.∙.∣3α-2⅛∣=λ∕2+（^）+（-5）=3√5.

【小问3详解】

解：•：向量C与向量α,b共面，

/•设C=Za+χ∕b（∕l,4∈R）,

X=2Λ+2χz

，＜5=-24—//,

2=Λ+4//

[26

X=-------

7

22

解得｛2=-------，

7

9

[//=7

26

.*.X=------.

7

17.从2名男生（记为A∣,4）和2名女生（记为四，鸟）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每

人被选到的可能性相同）.

（1）请写出该试验的样本空间Q;

（2）设事件M为“选到1名男生和1名女生”,求事件〃发生的概率；

（3）若2名男生4,4所处年级分别为高一、高二,2名女生与，鸟所处年级分别为高一、高二,设事件N

为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N发生的概率.

【答案】（1）｛（4,4），（'瓦），（4,82）,（&，4）,（4,82）,但,修）｝

⑶⅛

【解析】

【分析】（1）根据题意把所有的可能结果列出即可；

（2）由（1）知在所有得可能结果中数出事件〃发生的结果,求出概率即可;

（3）由（1）知在所有得可能结果中数出事件N发生的结果,求出概率即可.

【小问1详解】

解:由题知,样本空间Q为｛（4,4）,（4，耳）,（4,82）,（4,4）,（4,82）,（练员）｝；

【小问2详解】

由（1）知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件M得结果数有4个，

42

故电））=不

OJ

【小问3详解】

由（1）知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件N得结果数有3个，

故々N）=W.

o2

18.如图，已知直三棱柱ABC-4与¢，AClBC,AC=BC=∖，AA=2,点。为AC的中点.

（1）证明：AB∣〃平面BG。；

（2）求直线ABl与平面BCQ的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

21

【解析】

【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论，将问题转化为点A到平面BG。的距离，再利用等体积法即可求得所求.

【小问1详解】

连结BC交BG于。，连接。。,

因为在直三棱柱ABC-AEel中，侧面BBCC是平行四边形,

所以。是BC的中点，又因为。为AC的中点,

所以0Z）∕∕A8∣,又因为OOU平面BCQ,AB∣U平面BCQ,

故A4〃平面BcQ；

【小问2详解】

由（1）知AB∣〃平面BCQ,

所以直线ABl与平面BG。的距离等价于点A到平面BCiD的距离，不妨设为/?,

因为AClBC,AC=BC=I,所以SA8c=gAC∙5C=;,CD=-AC=-,则

BD=√BC2+co2=./!+ɪ=—,

V42

又因为。为AC的中点，所以SAM=LSABC=L，

24

因为在直三棱柱ABC-ΛlB1C,中，CGJ•面ABC,故CGLCD5CC11BC,

22

所以在RtZiCCQ中，CC1=AA1=2,C1Dy∣CCl+CDɪ

22

在RtCGB中，BC1=y∣CCl+BC=√4+T=√5，

517.

BD'CD-BC；彳+4―51

所以在“BDel中，cosZBDC=,则

12BDCD

l2χ^χ√∏-√5×√I7

22

2

sinZBDC1=Jl-cosZfiDC1=,

Y√5×√17

故SBD-CDsinNBDCl=1√5√∏2√21√21

BoG=gl—×----×---_-_-_-_V________________—_______.

222√5×√Γ7^4

所以由VG-ABD=匕-8CQ得?S"Ο∙CG=!SBCQ/,即J∙X2=也i/Z，解得fl=冬里,

334421

所以直线AB1与平面BClO的距离为2叵.

21

19.某校举办“奋进新征程”知识能力测评，共有IOOO名学生参加，随机抽取了100名学

生,记录他们的分数,将数据分成4组：［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］,并整理得到如下频率分布

(1)用分层随机抽样的方法从［80,90),［90,100］两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少

人；

(2)在(1)的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享

的学生成绩在区间［90,100］的概率；

(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估

计良好的最低分数线.(精确到1)

【答案】(1)3；2

⑵-

5

(3)83

【解析】

【分析】(1)先由频率分布直方图的频率求法求得［80,90),［90,100］两个区间样本中的学生人数，按照分层

抽样的方法即可求得结果；

(2)利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；

(3)根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为0.6时的区间左端点，即所

求最低分数线.

【小问1详解】

依题意,设区间［80,90)中应抽X人，区间［90,100］中应抽)人，得

成绩在［80,90)区间样本中的学生人数为：0.045×10×100=45;

成绩在［90,100］区间样本中的学生人数为：0.03x10x100=30；

所以一^—=二=上，解得x=3,y=2,

45+304530'

所以区间［80,90）中应抽3人，区间［90,100］中应抽2人.

【小问2详解】

由（1）得，不妨记区间［80,90）中3人为。,仇~区间［90,100］中2人为加，“，

则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为

ab,ac,am,an,ba,be,bm,bn,ca,cb,cm,cn,ma,mb,me,mn,na,nb,nc,nm共20件,

其中第二个交流分享的学生成绩在区间［90,100］（记为事件A）的基本事件为

am,an,bm,bn,cm,cn,mn,nm共8件,

Q22

故P（4）=£=—,即第二个交流分享的学生成绩在区间［90,100］的概率为一.

v72055

【小问3详解】

由频率分布直方图易得，［90,100］的频率为0.03x10=0.3,［80,100］的频率为

0.045x10+0.3=0.75,

所以成绩良好的最低分数线落在区间［80,90）中，不妨记为⅞,

故（90—%）x0.045+0.3=0.6,解得XO=83.333«83,

所以成绩良好的最低分数线为83.

20.某网络平台在2016~2021年销售某种产品的相关数据如下表所示：

年份201620172018201920202021

年销售件数（单位：万件）6691010a

年退货件数（单位：件）6562688077b

注：年退货率=年退货件数/年销售件数.

（1）从2016~2020年中随机抽取1年，求该年退货率不超过千分之一的概率；

（2）网络平台规定：若年退货率不超过千分之一，则该网络平台销售部门当年考核优秀.现有甲、乙两位

平台管理人员各从2016~2020年中随机抽取1年进行考查，若甲、乙的选择互不影响，求恰有一人选择

的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率；

（3）记该网络平台在2016~2018年，2019~2021年的年销售件数的方差分别为s；,S；.若请

写出。的最大值和最小值.(只需写出结论)

3

【答案】(1)-

5

⑵上

25

(3)"的最大值为11,。的最小值为9.

【解析】

【分析】(1)分别计算出2016,2017,2018,2019,2020年退货率，即可得出；

(2)甲、乙两位平台管理人员的选择相互独立，根据独立事件乘法公式计算；

(3)分别计算出s；,s；.列出不等式，即可解出。的取值范围.

【小问1详解】

分别记。“(〃=2016,2017,2018,2019,2020)表示“2016,2017,2018,2019,2020年退货率”.由已

知得：

651621681

a°'6^60∞0>1000'^20'7^60000>1000(^2018^90000<Tooo'

_80