山西省长治市第十九中学2022年高二数学理期末试题含解析

山西省长治市第十九中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.an是实数构成的等比数列，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}中

(

)A.任一项均不为0

B.必有一项为0

C.至多有有限项为0

D.或无一项为0，或无穷多项为0参考答案：D略2.下列说法中错误的个数为

（

）

①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；

④与是等价的；⑤“”是“”成立的充分条件.

A

2

B

3

C

4

D

5参考答案：C3.设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面是平行四边形，则这样的平面（

）A．不存在

B．有且只有1个

C．恰好有4个

D．有无数多个参考答案：D略4.已知圆C1：，C2：，动圆C满足与C1外切且与C2内切，若M为C1上的动点，且，则的最小值为（）A．

B．

C．4

D．参考答案：A5.已知E、F分别为正四面体ABCD棱AD、BC的中点，则异面直线AC与EF所成的角为

()A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：B6.下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理即可判断出．【解答】解：A．平面α⊥平面β，过α内任意一点在α内作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β，利用面面垂直的性质定理可知，当此点在交线上时，此垂线可能不在平面α内，故不正确；B．平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β，由A可知正确；C．平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，由线面垂直的判定定理可知正确；D．平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ，线面垂直的判定定理可知正确．故选：A．7.复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：B8.圆心为，且过点的圆的方程为

A、

B、

C、

D、参考答案：A9.双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.参考答案：C略10.上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是（

）A.24 B.12 C.20 D.22参考答案：B【分析】先排体育课，再排语文、数学、英语，由乘法原理，计算可得答案。【详解】由题意，先排体育课，在第三、四节中安排体育课，有中排法，再将语文、数学、英语排在剩下的3节课中，由有中排法，由乘法原理可得，共有中不同的排法。故答案选B【点睛】本题考查组合、排列数公式的运用，处理此类问题时，要先分析有特殊要求或受限制的事件或元素。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是________．参考答案：略12.复数的值是.参考答案：－1略13.现有3本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好是一本语文书和一本数学书的概率是．参考答案：

【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出所有的基本事件个数和符合条件的基本事件个数，使用古典概型的概率计算公式求出概率．【解答】解：方法一：从3本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本有C42=6种不同的抽取方法，而取出的书恰好是一本语文书和一本数学书，共有C31×C11=3种不同的抽取方法，∴取出的书恰好是一本语文书和一本数学书的概率是P==，方法二（列举法），3本不同的语文书即为a，b，c，数学书记为s，随机取出两个，共有ab，ac，as，bc，bs，cs共6种，其中恰好是一本语文书和一本数学书为as，bs，cs共3种，∴取出的书恰好是一本语文书和一本数学书的概率是P==，故答案为：．14.已知命题p：“函数在R上有零点”，命题q：函数f（x）=在区间（1，+∞）内是减函数，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为．参考答案：[，1]【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，根据若p∧q为真命题，取交集即可．【解答】解：函数在R上有零点，即﹣=m2﹣+有解，令g（x）=﹣≤﹣，故m2﹣+≤﹣，解得：≤m≤2；故p为真时：m∈[，2]；函数f（x）=在区间（1，+∞）内是减函数，则m≤1，若p∧q为真命题，则p真q真，故，故答案为：[，1]．15.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在抛物线上，则面积的最小值为________．参考答案：1【分析】通过三角形的面积公式可知当点P到直线AB的距离最小时面积最小，求出与直线2x﹣y﹣2＝0平行且为抛物线的切线的直线方程，进而利用两直线间的距离公式及面积公式计算即得结论．【详解】依题意，A（﹣2，0），B（0，﹣2），设与直线x+y+2＝0平行且与抛物线相切的直线l方程为：x+y+t＝0，联立直线l与抛物线方程，消去y得：y2+4y+4t＝0，则△＝16﹣16t＝0，即t＝1，∵直线x+y+2＝0与直线l之间的距离d，∴Smin|AB|d1．故答案为：1．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，数形结合是解决本题的关键，属于中档题．16.在等腰RtABC中，在线段斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率是

。参考答案：17.函数y=8x2-lnx的单调递增区间是____▲____.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣x2﹣1，x∈R（1）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；（2）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=ex﹣x﹣1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣2x，∴k=f′（0）=1，又f（0）=0，切点坐标为（0，0），故所求切线方程为：y=x；（2）证明：令φ（x）=f（x）+x2﹣x=ex﹣x﹣1，φ'（x）=ex﹣1，由φ'（x）=0，得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥﹣x2+x．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．19.(本小题满分10分)已知点A,B的坐标分别是直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为（1）

求动点M的轨迹方程；（2）

若过点的直线交动点M的轨迹于C,D两点，且点N为线段CD的中点，求直线的方程。参考答案：（1）设

即(2)

直线的方程为20.(本小题满分12分)△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，∠ADC＝150°，求AC的长及△ABC的面积。

参考答案：解：在△ABC中，∠BAD＝150°－60°＝90°，

∴。……3分

在△ACD中，…………6分

………………8分

……12分

略21.已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；（选做）z对应的点在直线x+y+3=0上．参考答案：【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念．【分析】（1）由m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i为实数，可得，解出即可；（2）由z是纯虚数；可得=0，m2+2m﹣3≠0，解得m即可；（3）z对应的点位于复平面第二象限；可得＜0，m2+2m﹣3＞0，解得m即可；（4）由于z对应的点在直线x+y+3=0上，可得+（m2+2m﹣3）+3=0，解得m即可．【解答】解：（1）∵m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i为实数，∴，解得m=﹣3；（2）∵z是纯虚数；∴=0，m2+2m﹣3≠0，解得m=0或m=2；（3）z对应的点位于复平面第二象限；∴＜0，m2+2m﹣3＞0，解得m＜﹣3或1＜m＜2．（4）∵z对应的点在直线x+y+3=0上．∴+（m2+2m﹣3）+3=0，解得m=0或．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用要根的判别式、