山西省太原市西山煤电集团公司第六中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

山西省太原市西山煤电集团公司第六中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（

）A．

B．和

C．

D．和参考答案：B略2.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=（）A．4 B．4 C．2 D．3参考答案：A【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】首先利用正弦和余弦定理转化出2（a2﹣c2）=b2，结合a2﹣c2=2b，直接算出结果．【解答】解：sinAcosC=3cosAsinC，利用正、余弦定理得到：解得：2（a2﹣c2）=b2①由于：a2﹣c2=2b②由①②得：b=4故选：A【点评】本题考查的知识要点：正、余弦定理的应用及相关的运算问题．3.已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）A．(2，) B．(2，) C．(2，－)D．(2，－)参考答案：C【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】根据点的直角坐标求出ρ，再由2=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得θ，从而求得点P的极坐标．【解答】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，即点P的极坐标为（2，），故选C．4.以下四个命题中，真命题的个数为①命题“”的否定是“”；②若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；③“”是“直线垂直”的充分不必要条件；④直线与圆相交于两点，则弦的长为．A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：C5.已知复数z在复平面内对应的点为(1,－2)，（i为虚数单位），则（）A.4 B.2 C.8 D.参考答案：D【分析】利用复数的几何意义及模长公式直接求解即可【详解】由题，故故选：D【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了计算能力，属于基础题．6.已知，，～。若，则的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B7.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A． B．或2 C．2 D．参考答案：A【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．【解答】解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故选A8.正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（

）A．结论正确

B．大前提不正确

C．小前提不正确

D．大前提、小前提、结论都不正确参考答案：C根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提是：是正弦函数，因为该函数不是正弦函数，故错误；结论：是奇函数，故错误.故选：C.

9.在等差数列中，公差为，且，则等于

（

）

A.

B.8

C.

D.4参考答案：C10.下列四个命题中的真命题为（） A．?x0∈R，使得sinx0﹣cosx0=﹣1.5 B．?x∈R，总有x2﹣2x﹣3≥0 C．?x∈R，?y∈R，y2＜x D．?x0∈R，?y∈R，yx0=y 参考答案：D【考点】全称命题；特称命题． 【专题】转化思想；综合法；简易逻辑． 【分析】根据和差角公式，结合正弦型函数的性质，可得sinx+cosx，进而判断出A的真假；令x=0，可判断B答案和C答案的真假，令x=1可判断D答案的真假． 【解答】解：∵sinx﹣cosx=sin（x﹣）＞﹣＞﹣1.5，故A错误； 当x=0时，x2﹣2x﹣3=﹣3＜0，故B错误； 当x=0时，y2＜x恒不成立，故C错误； 当x=1时，?y∈R，yx=y，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全称命题，特称命题，其中熟练掌握全称命题和特称命题真假判断的方法，是解答本题的关键． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角等于．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】利用两个向量数量积公式求出=3，再由两个向量的数量积的定义求出=6cosθ，故有3=6cosθ，解出cosθ的值，再由0≤θ≤π，可得θ的值．【解答】解：=（2，﹣2，4）﹣（2，﹣5，1）=（0，3，3），=（1，﹣4，1）﹣（2，﹣5，1）=（﹣1，1，0），∴=（0，3，3）?（﹣1，1，0）=0+3+0=3．再由||=3，||=，设向量与的夹角θ，则有=||?||cosθ=3?cosθ=6cosθ．故有3=6cosθ，∴cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=．故答案为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．12.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于

.参考答案：“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，则，，∵，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴黄金双曲线”的离心率e等于．

13.已知向量，使成立的x与使成立的x分别为

.参考答案：14.已知复数（为虚数单位），则复数z的虚部为

▲

．参考答案：-1

15.点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②∥平面；③；④平面平面.其中正确的命题序号是

.参考答案：（1）（2）（416.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．参考答案：0.817.孙悟空、猪八戒、沙和尚三人中有一个人在唐僧不在时偷吃了干粮，后来唐僧问谁偷吃了干粮，孙悟空说是猪八戒，猪八戒说不是他，沙和尚说也不是他。他们三人中只有一个说了真话，那么偷吃了干粮的是__________．参考答案：沙和尚【分析】用假设法逐一假设偷吃干粮的人,再判断得到答案.【详解】(1)假设偷吃干粮的是孙悟空,则猪八戒和沙和尚都是真话,排除(2)假设偷吃干粮的是猪八戒,则孙悟空和沙和尚都是真话,排除(3)假设偷吃干粮的是沙和尚,则只有猪八戒说的真话,满足答案是沙和尚【点睛】本题考查了逻辑推理的知识,意在考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列满足，.（1）求；（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.

参考答案：（1）（2），证明见解析.解析：解：（1）由条件，依次得，，，

…………6分（2）由（1），猜想.

…………7分下用数学归纳法证明之：①当时，，猜想成立；

………8分②假设当时，猜想成立，即有，

…………9分则当时，有，即当时猜想也成立，

…………13分综合①②知，数列通项公式为.

…………14分

略19.

（14分）如图,椭圆经过点,离心率,直线l的方程为.（1）求椭圆C的方程;（2）是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记、、的斜率分别为、、.问:是否存在常数,使得?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.参考答案：(1)由在椭圆上,得……………①.又得……..②由①②,得故椭圆C的方程为………………5分(2)设直线的方程为,由…………7分………………10分又将代入得,……………,,…………12分

故存在常数符合题意.……………………14分20.已知圆的极坐标方程为：.（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值.参考答案：（1）（2）最大值为6，最小值为2【分析】（1）将先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程。（2）由题可知圆的参数方程为（为参数），因为点在该圆上，所以，所以可得，从而得出答案。【详解】（1）由圆的极坐标方程为：可得，即所以直角坐标方程（2）由（1）可知圆的方程为所以圆的参数方程为，（为参数）因为点在该圆上，所以所以因为的最大值为，最小值为所以的最大值为，最小值为【点睛】极坐标与参数方程是高考的重要选修考点，学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值。21.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【专题】空间角．【分析】（1）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1，M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出．（2）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…∴．…（2）连结B1M，…因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的