四川省成都市大塘中学2022年高二数学理期末试题含解析

四川省成都市大塘中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知

(

)

A.-15

B.-5

C.-3

D.-1

参考答案：A略2.直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意可得3（1﹣2a）﹣2=0，解方程可得．【解答】解：∵直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，∴3（1﹣2a）﹣2=0，∴，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和直线的垂直关系，属基础题．3.已知集合M={﹣1，0，1，5}，N={﹣2，1，2，5}，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{1，2，5} C．{1，5} D．φ参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】找出两集合的公共元素即可得到两集合的交集．【解答】解：∵M={﹣1，0，1，5}，N={﹣2，1，2，5}，∴M∩N={1，5}．故选C4.用数学归纳法证明命题：1+2+3+…+n2=时，则从n=k到n=k+1左边需增加的项数为（）A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．n2﹣n+1参考答案：C【考点】数学归纳法．【分析】根据等式1+2+3+…+n2=时，考虑n=k和n=k+1时，等式左边的项，再把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2++k2，当n=k+1时，等式左端=1+2++k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2，所以增加的项数为：（k+1）2﹣（k2+1）+1=2k+1即增加了2k+1项．故选：C5.从甲、乙5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数为（

）A.8

B.20

C.36

D.48参考答案：D6.将一条线段任意分成三段,这三段能构成三角形三边的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知双曲线的左、右焦点为F1和F2，在左支上过点F1的弦AB的长为10，若2a=9，则△ABF2的周长为（）A．16 B．26 C．21 D．38参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义可得AF2+BF2=28，△ABF2的周长是（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB，计算可得答案．【解答】解：由双曲线的定义可得AF2﹣AF1=2a，BF2﹣BF1=2a，∴AF2+BF2﹣AB=4a=18，即AF2+BF2﹣10=18，AF2+BF2=28．△ABF2（F2为右焦点）的周长是（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB=28+10=38．故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2=28是解题的关键．8.在直角坐标平面内，A点在(4，0)，B点在圆(x–2)2+y2=1上，以AB为边作正△ABC（A、B、C按顺时针排列），则顶点C的轨迹是（

）（A）圆

（B）椭圆

（C）抛物线

（D）双曲线的一支参考答案：A9.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于()．参考答案：A略10.有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】82：数列的函数特性．【分析】由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，即可得出．【解答】解：，，，，（），，，，，…，由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设全集U=R，若，，则______.参考答案：{1,2}【分析】求出集合B中函数的定义域，再求的集合B的补集，然后和集合A取交集.【详解】，,故填.【点睛】本小题主要考查集合的研究对象，考查集合交集和补集的混合运算，还考查了对数函数的定义域.属于基础题.12.如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是．参考答案：【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；数形结合；综合法；直线与圆．【分析】设=k，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，如图示：从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=r=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k=tan∠EOC==，即为的最大值．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．13.若双曲线x2﹣y2=1右支上一点A（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2=1，即（a+b）（a﹣b）=1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，从而得到a+b的值．【解答】解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2=1，即（a+b）（a﹣b）=1．∵A（a，b）到直线y=x的距离为，∴d=，∴|a﹣b|=2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b=2．∴|a+b|×2=1，a+b=，故答案为．14.若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为．参考答案：【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】设l与α所成角为θ，由sinθ=|cos＜＞|，能求出l与α所成角的正弦值．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），设l与α所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴l与α所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15.得，则推测当时有

参考答案：略16.已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为

参考答案：17.已知椭圆（a＞b＞0）的焦距是2c，若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则该椭圆离心率的取值范围是．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用已知条件建立关系式，通过变换再利用椭圆离心率求出结果．解答：解：已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距是2c，则：b2=a2﹣c2若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则：a﹣c＜2b＜a+c整理得：则：即：解得：①式恒成立②式解得：由于椭圆离心率：0＜e＜1所以：故答案为：点评：本题考查的知识要点：椭圆的离心率的应用，三角形的三边关系的应用．属于基础题型三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C﹣AB1E的体积．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取AB1的中点G，联结EG，FG，由已知条件推导出四边形FGEC是平行四边形，由此能证明CF∥平面AB1E．（2）由=，利用等积法能求出三棱锥C﹣AB1E的体积．【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG∵F，G分别是棱AB、AB1的中点，∴又∵∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，∵CF不包含于平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E．（2）解：∵AA1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥CB，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥面ACE，∴点B到平面AEB1的距离为BC=2，又∵BB1∥平面ACE，∴B1到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，即为2，∴===．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.定义在上的函数满足:对任意都有,且.(1)求,的值；(2)若当时,有,判断函数的单调性,并说明理由参考答案：解:(1)令,则,所以.令,则,则.(2)令,则,则.因为当时,有,所以对于,,又当时,有.设任意实数,,即,故是上的增函数.略20.（7分）光线从点射出，到轴上的B点后，被轴反射到轴上的C点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，求BC所在直线的方程.参考答案：略21.如图，在三棱锥B-ACD中，，，，.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)求直线BD与面ABC所成角的正弦值.

参考答案：

…………6分……8分22.如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．参考答案：考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF；（2）利用（1）中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理．解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=，发现AG2+BG2=AB2，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG∴DE⊥AD，又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG，而PB?平面P