上海国际中学2022-2023学年高二数学理上学期摸底试题含解析

上海国际中学2022-2023学年高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若log6a=log7b，则a、b、1的大小关系可能是（）A．a＞b＞1 B．b＞1＞a C．a＞1＞b D．1＞a＞b参考答案：D【考点】4H：对数的运算性质．【分析】利用换底公式、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：log6a=log7b，∴，∴1＜a＜b，或0＜b＜a＜1．故选：D．2.下列表述正确的是（

）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A．②④

B．①③

C.①④

D．①②参考答案：D根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.

3.复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：C【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.【详解】由复数的运算法则可得，则该复数在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知

,其中为虚数单位,则

(

)A.-1

B.1

C.2

D.3参考答案：B略5.一个棱锥的三视图如下图，则该棱锥的全面积(单位：)为

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D6.如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略7.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略8.已知等比数列满足，则（

）A．64 B．81 C．128 D．243参考答案：B略9.若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（

）A. B. C.4 D.12参考答案：B【分析】将平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.【详解】因为，所以，故选：B.【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.10.数列{an}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C． D．4n﹣1参考答案：C【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】首先根据a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，求出a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，两式相减即可求出数列{an}的关系式，然后求出数列{an2}的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+an=2n﹣1…①∴a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1…②，①﹣②得an=2n﹣1，∴an2=22n﹣2，∴数列{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+an2==，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图是“平面向量的数量积”的知识结构图，若要加入“投影”，则应该是在

的下位．参考答案：几何意义12.已知，则

。参考答案：13.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，……则按照以上规律，若，具有“穿墙术”，则n=_____．参考答案：9999分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.详解：，，，，按照以上规律，可得.故答案为：9999.点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．14.设点满足，则的最大值为

.参考答案：10 略15.过抛物线焦点的直线的倾斜角为，且与抛物线相交于两点，为原点，那么的面积为

．参考答案：略16.如图，在三棱锥中，底面，，，则与底面所成角的正切值为

．参考答案：17.抛物线y2=8x的准线方程是．参考答案：x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分10分)如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．(1)求证：；(2)当面积的最小值是9时，证明平面．

参考答案：（1）证明：连接，设与相交于点。因为四边形是菱形，所以。

又因为平面，平面为上任意一点，平面，所以（2）连．由（I），知平面，平面，所以．在面积最小时，最小，则．，解得由且得平面则，又由得，而，故平面19.如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC?BC=2AD?CD，转化为AD?CD=AC?CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．解答：证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD?CD=AC?CE，2AD?CD=AC?2CE，因此2AD?CD=AC?BC．…（10分）点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角及与圆有关的比例线段的知识．解题时，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．20.已知函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；（2）由（1）可知，f（x）的最小值为，a＞0，构造函数设，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．【解答】解：（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），而，∵a＞0，x＞﹣1，∴当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，∴函数f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）由（1）可知，f（x）的最小值为，a＞0．要证明，只须证明成立．

设，x∈（0，+∞）．

则，∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即．取得到成立．

设ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．取得到成立．因此，．21.（10分）有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．参考答案：方法二：（位置分析法）中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法，故共有·＝336×720＝241920种排法．方法三：（等机会法）9个人的全排列有种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是×＝241920种．方法四：（间接法）种．………………2分

故共有·＝2880种…………8分（5）方法一：（等机会法）9人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，故共有种排法．方法二：种．…………10分22.已知椭圆:的离心率为，且经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求（O为坐标原点）面积的最大值及此时直线l的方程.参考答案：（1）；（2）的最大值为，【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点，以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，根据列方程，得到的关系式.求出面积的表达式，利用配方法求得面积的最大