山东省烟台市师范学院附属中学高二数学理期末试题含解析

山东省烟台市师范学院附属中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：D【考点】等比数列的性质．【分析】由首项和公比的值，根据等比数列的前n项和公式表示出Sn，让其等于126列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126，化简得：2n=64，解得：n=6．故选D【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道基础题．2.已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案： C【考点】对数值大小的比较．【分析】判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．【解答】解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故选：C．3.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于 A．

B．或2

C．2

D．参考答案：A略4.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A.8 B.15 C.18 D.30参考答案：A【分析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果．【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果，故选：A．【点睛】本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．5.有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176,196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（

）A.006 B.041 C.176 D.196参考答案：B【分析】求得抽样的间隔为10，得出若在第1组中抽取的数字为6，则抽取的号码满足，即可出判定，得到答案.【详解】由题意，从200人中用系统抽样的方法抽取20人，所以抽样的间隔为，若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足，其中，其中当时，抽取的号码为36；当时，抽取的号码为176；当时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中，故选B.【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的抽取方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.下表是某厂1—4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程式＝－0.7x＋a，则a等于()

A．10.5

B．5.15

C．5.2

D．5.25参考答案：D7.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()A．异面

B．平行

C．相交

D．不确定参考答案：B略8.“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：D取，则，但，故；取，则，但是，故，故“”是“”的既不充分也不必要条件，选D.9.设x、y、z＞0，，，，则a、b、c三数（

）A.都小于2 B.至少有一个不大于2C.都大于2 D.至少有一个不小于2参考答案：D【分析】利用基本不等式计算出，于此可得出结论.【详解】由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，若a、b、c三数都小于2，则与矛盾，即a、b、c三数至少有一个不小于2，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知数列，则是这个数列的（

）A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项参考答案：B解：数列即：，据此可得数列的通项公式为：，由解得：，即是这个数列的第项.本题选择B选项.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(文)函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则实数a的取值范围是__________．参考答案：a≤0

略12..函数的最小值为________.参考答案：4略13.函数f（x）=x﹣3lnx的单调减区间为．参考答案：（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣3lnx，x＞0，∴f'（x）=1﹣=，令＜0，则0＜x＜3，故答案为：（0，3）．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．14.用数学归纳法证明：，当时，左边为__________．参考答案：等式的左边是以1为首项，为公比的等比数列的前项的和，观察当时，等式左边等于,故答案为.15.袋中有个球，其中有彩色球个．甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的顺序依次从袋中取球，每次取后都放回，规定先取出彩色球者为获胜．则甲、乙、丙获胜的概率比为

.（以整数比作答）参考答案：9:6:416.已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程=bx+a必过点．参考答案：（1.5，4）【考点】线性回归方程．【分析】要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．【解答】解：∵，=4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）故答案为：（1.5，4）17.若y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，则a=

，b=

．参考答案：﹣，﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数的极值点处的导数值为0，列出方程，求出a，b的值．【解答】解：f′（x）=+2bx+1，由已知得：?，∴a=﹣，b=﹣，故答案为：﹣，﹣．【点评】本题考查了导数的应用，考查函数极值的意义，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)

袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．参考答案：解：X的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝×＝，第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝××＝，第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝×××＝，第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝××××＝，所以X的分布列为X12345P

19.某酱油厂对新品种酱油进行了定价，在各超市得到售价与销售量的数据如下表：单价x（元）55.25.45.65.86销量y（瓶）9.08.48.38.07.56.8

（1）求售价与销售量的回归直线方程；（，）（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/瓶，为使工厂获得最大利润（利润=销售收入成本），该产品的单价应定为多少元？相关公式：，．参考答案：（1）．（2）6.75元【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质，求得为使工厂获得最大利润（利润=销售收入成本），该产品的单价.【详解】解：（1）因为，，所以，，从而回归直线方程为．

（2）设工厂获得的利润为元，依题意得当时，取得最大值故当单价定为6.75元时，工厂可获得最大利润．【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查实际应用问题，考查运算求解能力，属于中档题.20.已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点R（x0，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）可以得到抛物线的焦点为，而根据点到直线的距离公式得到，而由p＞0即可得出p=2，从而得出抛物线方程为y2=4x；（Ⅱ）容易求出R点坐标为（1，2），可设AB：x=m（y﹣1）+1，，直线AB方程联立抛物线方程消去x可得到y2﹣4my+4m﹣4=0，从而有y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4．可写出直线AR的方程，联立y=2x+2即可得出，而同理可得到，这样即可求出，从而看出m=﹣1时，|MN|取到最小值，并且可得出此时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，得p=2，或﹣6（舍去）；∴抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）点R（x0，2）在抛物线C上；∴x0=1，得R（1，2）；设直线AB为x=m（y﹣1）+1（m≠0），，；由得，y2﹣4my+4m﹣4=0；∴y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4；AR：=；由，得，同理；∴=；∴当m=﹣1时，，此时直线AB方程：x+y﹣2=0．【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点坐标，以及点到直线的距离公式，曲线上的点的坐标和曲线方程的关系，过定点的直线方程的设法，以及直线的点斜式方程，韦达定理，弦长公式，复合函数的单调性，要清楚函数的单调性．21.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“函数

为上的偶函数”为事件，求事件的概率；（Ⅲ）求的分布列和数学期望参考答案：解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为、、；依题意得——4分，所以学生小张选修甲的概率为0.4——5分（Ⅱ）若函数为上的偶函数，则=0

…………6分（Ⅲ）依题意知，

————10分，则的分布列为02P∴的数学期望为

…………12分22.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+=，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意得=，+=1，a2=b2+c2．解出即可得出；（Ⅱ）由题意得点Q（2，0），设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（