2023-2024学年上海市普陀区数学九年级上册期末考试试题（含解析）

2023-2024学年上海市普陀区数学九上期末考试试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个

全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,

大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（）

2.已知点（一1,yi）、（2,y2）、（7t,y3）在双曲线y二一巴二1上，则下列关系式正确的是（）

x

A.yi>yi>y3B.yi>y3>y2C.y2>yi>ysD.y3>yi>yi

3.如图，PA,尸5分别与。。相切于A、B两点.直线EF切。。于C点,分别交出、尸3于E、F,且E4=l.则△PEF

的周长为（）

A.1B.15C.20D.25

4.已知的半径为6cm,点P到圆心。的距离为6cm,则点P和。的位置关系是（）

A.点P在圆内B.点尸在圆上C.点尸在圆外D.不能确定

5.如图，在平面直角坐标系中，RtAABO中，ZABO=90°,OB边在x轴上，将AABO绕点B顺时针旋转60。得到ACB

D.若点A的坐标为（-2,2百）,则点C的坐标为（)

A.（B1）B.（1,V3）C.（1,2）D.（2,1）

6.下列二次根式能与百合并的是（）

A.£B.y/8C.V12D.y/l5

7.下列事件是必然事件的是（）

A.若C是A3（AB=1）的黄金分割点，则=

B.若H工有意义，则x>2

C.若。=防涉=屈，则。>方

D.抛掷一枚骰子，奇数点向上的概率是,

2

8.如图，AB为。O的直径，CD为。O上的两个点（CD两点分别在直径AB的两侧），连接BD,AD,AC,CD,

若NBAD=56。，则NC的度数为（）

A.56°B.55°

C.35°D.34°

9.如图，将一边长为4的矩形纸片折叠，使点。与点B重合，折痕为EF,若EF=2小,则矩形的面积为（）

G

A.32B.28C.30D.36

k

10.在同一直角坐标系中，一次函数），=丘—攵与反比例函数y=—（%。0）的图象大致是（）

x

11.如图，AB是。。的直径，CD是。O的弦，如果NACD=35。，那么NBAD等于（)

C.55°D.65°

X+1X,

------<-----1

12.若不等式组彳32无解，则加的取值范围为（）

x<4m

A.m<2B.m<2C.m>2D.m>2

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，四边形ABC。内接于。，若NA=8O。，ZC=

14.若+2mx-l=0是关于x的一元二次方程，则m的值是,

15.如图，A8C与△4)3中，ZABC=ZADB=90°»NC=ZABD,AC=5,AB=4,AO的长为.

16.如图，若AA8C内一点P满足NH4C=NPCB=ZP84,则称点P为AABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔

点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔

点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知AABC中，CA=CB,NACB=120°,P为AABC的布罗

卡尔点，若PB=3,则Q4+PC=.

17.已知某个正六边形的周长为6,则这个正六边形的边心距是.

18.某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x,则可

列方程—.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，AB是。O的直径，BC是。O的弦，直线MN与。O相切于点C,过点B作BDJLMN于点D.

（1）求证：ZABC=ZCBD；（2）若BC=46，CD=4,则。O的半径是.

k

20.（8分）如图，在平面直角坐标系工。》中，一次函数y=3无+2的图象与丁轴交于点4,与反比例函数丁=-一（女工0）

x

在第一象限内的图象交于点8,且点8的横坐标为1.过点A作ACJ.），轴交反比例函数y=勺k（左。0）的图象于点C,

X

连接3C.

（1）求反比例函数的表达式.

（2）求AABC的面积.

21.（8分）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现,

在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件.

（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？

(2)当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？

22.(10分)如图，已知反比例函数尸4的图象经过点Z(4,m),四，x轴，且△/加的面积为2.

X

⑴求A和勿的值；

(2)若点C(x,y)也在反比例函数尸人的图象上，当一3WM—1时，求函数值y的取值范围.

一、。0J

23.(10分)现有四张正面分别印有A、F、N和。四种图案，并且其余完全相同的卡片，现将印有图案的一面朝下,

并打乱摆放顺序，请用列表或画树状图的方法解决下列问题：

(1)现从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张卡片，求两次摸到的卡片上印有图案都是轴对称图

形的概率；

(2)现从中随机抽取-张，记下图案后不放回，再从中随机抽取一张卡片，求两次摸到的卡片上印有图案都是中心对

称图形的概率.

24.(10分)如图，府AABC中，ZABC=90。,以AB为直径作半圆O交AC于点D,点£为8C的中点，连接

DE.

(1)求证：是半圆。的切线；

(2)若NACB=60°,DE=2,求A0的长.

25.(12分)先化简，再求值：("2]2a-2b一其中a=3,b=-1.

\a-b)3a+3ba1-b1b

26.如图，一次函数yi=mx+n与反比例函数y2="(x>0)的图象分别交于点A(a,4)和点B(8,1),与坐标

轴分别交于点C和点D.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)观察图象，当x>0时，直接写出yi>yz的解集；

(3)若点P是x轴上一动点，当ACOD与4ADP相似时，求点P的坐标.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1,D

【分析】已知ab=8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面

积利用算术平方根求小正方形的边长.

【详解】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

每一个直角三角形的面积为：gab=gx8=4,

1,

4x—ab+(a—b>=25,

2

.-.(a-b)2=25-16=9,

.•.a-b=3,

故选D.

【点睛】

本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方

公式，本题属于基础题型.

2、B

【解析】分析：根据题意，可得这个反比例函数图象所在的象限及每个象限的增减性，比较三个点的纵横坐标，分析

可得三点纵坐标的大小，即可得答案.

详解:

E+1

・・,双曲线、=一一——中的・（k+i）<0,

X

・••这个反比例函数在二、四象限，且在每个象限都是增函数，且IV乃，

Ayi>0,yi<y3<0；

故有yi>ys>yi.

故选B.

点睛：考查了运用反比例函数图象的性质判断函数值的大小，解题关键牢记反比例函数y=幺（x#o）的性质：当k>o

x

时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、

四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大.

3、C

【分析】由切线长定理知，AE=CE,FB=CF,PA=PB=L然后根据4PEF的周长公式即可求出其结果.

【详解】解：•••丹!、尸8分别与。。相切于点4、B,

。。的切线E尸分别交融、PB于点E、F,切点C在弧48上，

：.AE=CE,FB=CF,PA=PB=4,

：./\PEF的周长=产后+后尸+尸/<,=24+尸5=2.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出4PEF的周长=PA+PB.

4、B

【解析】根据点与圆的位置关系进行判断.

【详解】的半径为6cm,P到圆心O的距离为6cm,

即OP=6,

...点P在。O上.

故选：B.

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设。O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P

在圆外od>r；点P在圆上od=r；点P在圆内odVr.

5、B

【解析】

作轴于“，如图,

•.•点A的坐标为（-2,26轴于点3,；.tanNB4C=—=373,

AB

••NA=30.，

VAABO绕点5逆时针旋转60。得到AC5。,

ABC=BA=273,OB=2,ZCBH=30，

在RfAQ?”中,C"=!BC=3G,

2

BH=辰H=3,

OH=BH-OB=i-2=l,

：.C（1,V3）

故选：B.

【点睛】

根据直线解析式求出点A的坐标，然后求出AB、OB,再利用勾股定理列式求出OA,然后判断出NC=30。，©D〃*轴

,再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出BE,利用勾股定理列式求出CE,然后求出点C的横坐标

,再写出点C的坐标即可.

6、C

【分析】化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答.

【详解】解：6的被开方数是3,而左哼、瓜=2丘、后是最简二次根式，不能再化简，以上三数的被开

方数分别是2、2、15,所以它们不是同类二次根式，不能合并，即选项A、B、D都不符合题意，配=26的被开

方数是3,与也是同类二次根式，能合并，即选项C符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式.

7、D

【分析】根据必然事件是肯定会发生的事件，对每个选项进行判断，即可得到答案.

【详解】解：A、若C是AB（AB=1）的黄金分割点，则从。=苴二1；则A为不可能事件；

B、若五与有意义，则xN2；则B为随机事件；

C、若4=肪/=/，则a</?,则C为不可能事件；

D、抛掷一枚骰子，奇数点向上的概率是1；则D为必然事件；

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了必然事件的定义，解题的关键是熟练掌握定义.

8、D

【分析】利用直径所对的圆周角是90°可求得NA5O的度数，根据同弧所对的的圆周角相等可得NC的度数.

【详解】解：AB为。O的直径，点D为。O上的一个点

：.NADB=90°

ZBAD=56°

ZABZ）=34"

NC=ZA8£>=34°

故选：D

【点睛】

本题考查了圆周角的性质，熟练掌握圆周角的相关性质是解题的关键.

9、A

【分析】连接BO交E尸于O,由折叠的性质可推出5OLERBO=DO,然后证明乌△FBO,得到OE=OF,

设BC=x,利用勾股定理求BO,再根据△BOFSABC。，列出比例式求出x,即可求矩形面积.

【详解】解：连接3。交E尸于。，如图所示：

•••折叠纸片使点。与点3重合，折痕为EP,

：.BD±EF,BO=DO,

•••四边形A8CQ是矩形，

，AD〃BC

.,.ZEDO=ZFBO

在和△FBO中，

VZEDO=ZFBO,DO=BO,ZEOD=ZFOB=90°

/.△EDO^AFBO(ASA)

OE=OF=-EF-J5,

2

•.•四边形43。是矩形，

：.AB=CD=4,NBCD=90。,

设BC=x,

VBC2+CD2=V%2+42，

：.BO=t£-,

2

,.,ZB(7F=ZC=90°,NCBD=NOBF,

:.△B0Fs/\BCD,

.OB_OF

**BC-CD(

VX2+42£

即：一?一=R

―--4

X

解得：x=8,

ABC=8,

S矩形ABCD=AB,8C=4X8=32,

故选:A.

【点睛】

本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

10、C

【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k>0和kVO两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象,

然后与各选择比较，从而确定答案.

【详解】(1)当k>0时，一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：

(2)当kVO时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限.如图所示:

【点睛】

本题考查了反比例函数、一次函数的图象.灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，

在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想.

11、C

【分析】根据题意可知NA08=9O°、ZABD=ZACD=35°,通过与NABD互余即可求出的。的值.

【详解】解：•••NACE>=35°

:.ZABD^ZACD^35°

是。的直径

AZADB=9O°

：.ABAD=90°-ZABD=55°

故选：C

【点睛】

本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等、并且等于它所对的圆心角的一半，也考查了直径所对的圆周角为90

度.

12、A

【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得.

Y4-1X

【详解】解不等式一二<：;一1,得：x>8,

32

•••不等式组无解，

解得m<2,

故选A.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、100°

【分析】根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案.

【详解】•••四边形ABCD是。。的内接四边形，

二/。=180。—80A对00。-°=°.

故答案为：100。.

【点睛】

主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定理.

14、-2

【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为1.由这两个条件得到相应的关系式，再

求解即可.

【详解】解：由题意，得

m（m+2）-1=2且m-lrL

解得m=-2,

故答案为2

【点睛】

本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是

ax2+bx+c=l（且#1）.特别要注意际1的条件.

16

15、—

5

【分析】先证明△ABCsaADB,然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可.

【详解】•••ZA8C=408=90'，NC=ZABD,

/.△ABC-^AADB,

.ABAD

,・瓦一花’

VAC=5,AB=4,

•4_AD

.•—9

54

16

.*.AD=—.

5

故答案为：y.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条

件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.灵活运用相似三角形

的性质进行几何计算.

16、4百

【分析】作CHLAB于H.首先证明AB=6BC，再证明△PABS^PBC,可得黑=段=普=也，即可求出

PBPCBC

PA、PC.

【详解】解：作CH_LAB于H.

VCA=CB,CH±AB,ZACB=120°,

.\AH=BH,ZACH=ZBCH=60°,ZCAB=ZCBA=30°,

ABC=2CH,

:.AB=2BH=2J"一(gBC)2=6BC，

,:/PAC=NPCB=NPBA,

...NPAB=NPBC,

.,.△PAB-»APBC,

.PAPBAB_巧

VPB=3,

•••PA=3百，PC=G，

；.PA+PC=4百，

故答案为：4^3•

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题.

17、3

2

【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出.

【详解】解：如图

作正六边形外接圆，连接OA,作OM_LAB垂足为M,得到NAOM=30。

V圆内接正六边形ABCDEF的周长为6

AAB=1贝!jAM二’,OA=1

2

因而OM=OA•cos30°=^^

2

正六边形的边心距是必

2

【点睛】

此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正多边形的性质是解题的关键.

18、720(1+x)2=1.

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长

率为X,根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入1万元，即可得出方程.

【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为X,

则2018的全年收入为：720x(1+x)

2019的全年收入为：720x(1+x)2.

那么可得方程：720(1+x)2=1.

故答案为:720(1+x)2=1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量X（1+增长率）.

三、解答题（共78分）

19、（1）见解析；（2）1.

【分析】（D连接OC,由切线的性质可得OCLMN,即可证得OC〃BD,由平行线的性质和等腰三角形的性质可得

NCBD=NBCO=NABC,即可证得结论；

（2）连接AC,由勾股定理求得BD,然后通过证得△ABCs/XCBD,求得直径AB,从而求得半径.

【详解】（I）证明：连接OC,

YMN为。。的切线，

.*.OC±MN,

VBD±MN,

，OC〃BD,

.*.ZCBD=ZBCO.

XVOC=OB,

.,.ZBCO=ZABC,

.,.ZCBD=ZABC.；

（2）解：连接AC,

在RtZkBCD中，BC=4遂，CD=4,

：.BD=yjBC2-CD2=8,

•；AB是。。的直径，

.•.ZACB=90°,

.,.ZACB=ZCDB=90°,

VZABC=ZCBD,

/.△ABC^ACBD,

.AB_CB0nAB4石

BCBD4758

.*.AB=10,

的半径是1,

故答案为1.

B

D

【点睛】

本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直

角三角形是解题的关键.

20'(Dy=—i(2)5»此=?

x4

【分析】(1)首先将点B的横坐标代入一次函数，得出其坐标，然后代入反比例函数，即可得出解析式；

(2)首先求出点A的坐标，然后分别求出AC、BD,即可求得面积.

【详解】(1)一次函数y=3x+2的图象过点8,且点8的横坐标为1,

y=3xl+2=5,

二点8的坐标为(1,5)・

k

点8在反比例函数y二2的图象上，

x

「.々=1x5=5,

二反比例函数的表达式为y=2；

X

(2)—一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，

..・当x=()时，y=2,

点A的坐标为(0,2),

ACJ.)，轴，

二点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2,

点C在反比例函数y=2的图象上，

X

当y=2时，2=2,解得x=*,

X2

过8作BO_LAC于。，贝！|3O=%-yc=5-2=3,

AABC2224

【点睛】

此题主要考查一次函数与反比例函数综合应用，熟练掌握，即可解题.

21、(1)每件童装应降价20元，(2)当x=15时,函数有最大值,即童装一天的销售利润最多为1250元.

【分析】(D表示出销售数量，找到等量关系即可解题，(2)求出二次函数的表达式，化成顶点式即可解题.

【详解】解：(1)设降了x元，则日销售量增加2x件，依题意得：

(40-x)(20+2x)=1200,

化简整理得：(x-10)(x-20)=0,

解得：x=10或x=20,

•••让顾客得到更多的实惠，

每件童装应降价20元，

(2)设销售利润为y,

y=(40-x)(20+2x),

y=-2(x-15)2+1250,

...当x=15时,函数有最大值，即童装一天的销售利润最多为1250元.

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，中等难度,建立等量关系是解题关键.

4

22、(1)4=4,。=1；(2)当一时，y的取值范围为一4WK—-.

3

【详解】试题分析：(1)根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式,

可求出k的值；

(2)先分别求出x=-3和-1时y的值，再根据反比例函数的性质求解.

一...............44

试题解析：(1),.,△AOB的面积为2,，k=4,.,.反比例函数解析式为y=—,YA(4,m),—=1；

X4

4

(2),当x=-3时，y=-j；

4

当x=-l时，y=-4,又•••反比例函数y=—在xV()时，y随x的增大而减小，...当-3WXW-1时，y的取值范围为-

X

4

4<y<--­

考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征.

23、（1）—；（2）—.

46

【分析】（1）先判断出是轴对称图形的字母，再画出树状图，得出所有可能的情况数和两次摸出的都是轴对称图形的

字母的情况数，利用概率公式即可得答案；

（2）先判断出是中心对称图形的字母，再画出树状图，得出所有可能的情况数和两次摸出的都是中心对称图形的字母

的情况数，利用概率公式即可得答案.

【详解】（1）在A、F、N、O中，是轴对称图形的字母有A、O,

画树状图如下：

由树状图可知，共有16种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两张卡片图案都是轴对称”的有4种情况,

分别为：（4A）（0、A）（A、0）（0、0）,

41

,两次摸到的卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为7=一.

164

（2）在A、F、N、O中，是中心对称图形的字母有N、O,

画树状图如下：

由树状图可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两张卡片图案都是中心对称”的有2种情况,

分别为（0、N）（N、O）,

21

两次摸到的卡片上印有图案都是中心对称图形概率为不=:.

【点睛】

本题考查用列表法或树状图法求概率，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不漏.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.

24、（1）见解析；（2）A£>=6

【分析】（1）连接OD、BD,由AB是直径可得NCQ8=9（）°,由点E是8c的中点可得8E=OE=CE,

ZDBE=NBDE,由OB与OD是半径可得NOB。=NODB,进而得到NA5c=NODE=90°,即可求证.

（2）有（1）中结论及题意得BE=£>E=CE=2,可得BC=4,由NACB=600可得NC3£>=30。，NC4B=30°,

可得8=2,AC=2BC=8,AD=AC-DC=6.

【详解】解：（1）证明：如图，连接OD、BD,

QA8是半圆。的直径

；.ZADB=NCDB=90°,

点E是BC的中点

；.BE=DE=CE

：.ZDBE=ZBDE

OB=OD

NOBD=/ODB

Z.OBD+ADBE=NODB+NBDE即ZABC=NODE=90°

：.OD±DE

OD是半圆。的半径

.♦.O£是半圆的切线.

（2）由（1）可知，ZADB=NCDB=90°,BE=DE=CE=2

：.BC=4,

VZAG?=60。

可得/CBD=30。

：.CD=2,

VZACB=60°,

：.ZCAB=30°,

AC=2BC=8,

【点睛】

本题考查含30。角直角三角形的性质和切线的判定.

“2a2+ab+2b24

25、----z-，~•

3a2-3从3

【分析】根据分式混合运算法则化简出最简结果，把a、b的值代入求值即可.

a2

盾#3+42(”初h

【详解】原式=诉二五区(a+b)(a-b)

a

2(。+b)ab

3(a-b)(a+b)(a-b)

2(a+b)23ab

3(a—与(a+b)3(a+b)(a-b)

_2a2+4ab+2b2-3ab

3(a-b)(a+b)

2。-+ab+2l>-

3(a+b)(a-b)

2a2+ab+2h2

3a2-3b2

18-6+8204

当a=3,b=-l时，原式=

27-121?3

【点睛】

本题考查分式的混合运算一化简求值，熟练掌握