湖南省株洲市平山中学高二数学理上学期摸底试题含解析

湖南省株洲市平山中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若的周长为8，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知求得b，可得椭圆长半轴长，再由隐含条件求得c，则椭圆离心率可求．【详解】由已知可得，椭圆的长轴长为，∵弦AB过点，∴的周长为，解得：，，，则，则椭圆的离心率为．故选：D．【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及简单性质，是基础的计算题．2.若，则“”是方程“”表示双曲线的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A略3.对于变量x，y有以下四个数点图，由这四个散点图可以判断变量x与y成负相关的是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】散点图．【分析】观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，是负相关，y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，是正相关．【解答】解：对于A，散点图呈片状分布，不具相关性；对于B，散点图呈带状分布，且y随x的增大而减小，是负相关；对于C，散点图中y随x的增大先增大再减小，不是负相关；对于D，散点图呈带状分布，且y随x的增大而增大，是正相关．故选：B．4.已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线，则(

)A．3

B．

C．

D．参考答案：C5.若集合，，则A∩B=（

）A.[2,3] B.[－3,2] C.(3,+∞) D.[3,+∞)参考答案：A【分析】求出的定义域，化简集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.6.若直线y=x+b与曲线有两个交点，则实数b的取值范围是（）A．（2，2） B．[2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）参考答案：B考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：曲线y=表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b的取值范围．解答：解：曲线y=表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分，如图所示，当直线与半圆相切时，b=2，∴直线y=x+b与曲线y=有两个交点，实数b的取值范围是[2，2）．故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．7.已知正项数列中，，，

，则等于（

）A．16

B．8

C．

D．4参考答案：D8.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是 A．680 B．320

C．0.68 D．0.32参考答案：D9.已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．7参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，根据抛物线的焦点弦公式，求得x1+x2=10，则线段AB的中点横坐标为，即可求得线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=2x的焦点F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=11∴x1+x2=10，∴线段AB的中点横坐标为=5，∴线段AB的中点到y轴的距离为5，故选：C．10.观察下列各式：…，则的末四位数字（

）A.8125 B.5625 C.3125 D.0625参考答案：A【分析】计算出的值，由此找到规律，进而求得的末四位数字.【详解】由于，末四位为，末四位的周期为，故，末四位和一样，为，故选A.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查分析问题的能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则_____________.参考答案：略12.已知函数，若存在，使得，则实数a的值为______．参考答案：【分析】函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0）≤，则f（x0）=，然后求解a即可．【详解】函数f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由KMN=-e，解得a=．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.已知函数f(x)=，则的值为

.参考答案：14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．参考答案：30°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．15.下面的程序输出的结果=

参考答案：1716.若两个非零向量,满足,则与的夹角为▲

．参考答案：略17.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是___________．参考答案：【分析】根据奇函数的定义求出函数的解析式，可得，可将对任意的均成立转化为对任意的恒成立，即可求解.【详解】由题意得：当时，，所以是上的增函数且为奇函数，的解析式为.由题意得成立，从而原不等式等价于对任意的均成立，即对任意的恒成立∴对恒成立∴.【点睛】本题主要考查利用奇函数求解析式的方法.解答本题的关键是利用转化思想，将对任意的均成立转化为对任意的恒成立.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求圆心为(1,1)，且与直线x＋y＝4相切的圆的标准方程．参考答案：解：

半径为

＝，

∴圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.略19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=1﹣nan（n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中数列{an}的通项公式成立．参考答案：【考点】数学归纳法；F1：归纳推理．【分析】（1）利用已知条件通过n=1，2，3，4，分别求出a1，a2，a3，a4；然后猜想an的表达式．（2）利用数学归纳法的证题步骤，证明猜想的正确性即可．【解答】解：（1）依题设Sn=1﹣nan可得a1=1﹣a1，即a1=，a2==，a3==，a4==；猜想an=．（2）证明：①当n=1时，猜想显然成立．

②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即ak=．

那么，当n=k+1时，Sk+1=1﹣（k+1）ak+1，即Sk+ak+1=1﹣（k+1）ak+1．又Sk=1﹣kak=，所以+ak+1=1﹣（k+1）ak+1，从而ak+1==即n=k+1时，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．20.（本题满分15分）在中，内角所对的边分别为已知，（Ⅰ）求角的取值范围；（Ⅱ）若的面积，为钝角，求角的大小．参考答案：（Ⅰ）由得即因为所以

……………3分由正弦定理，得故必为锐角。

……………4分又,所以

……………6分因此角的取值范围为

……………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）及得又因为,所以从而因为为钝角，故

……………11分由余弦定理，得故

……………13分由正弦定理，得

因此

……………15分21.(本题满分12分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；（2）求在上的最大值；（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？参考答案：（1）当时，，由题意得，解得；-----3分

（2）由（1），知，①当时，，由，得；由，得或；所以在和上单调递减，在上单调递增。因为，，，则在上的最大值为2.

②当时，，当时，；当时，在上单调递增；所以在上的最大值为.故当时在上的最大值为；当时在上的最大值为2.

----6分（3）假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，因为是以O为顶点的直角三角形，所以，

不妨设，则，且，即。（*）是否存在，等价于方程（*）是否有解。

若，则，代入方程的（*），得，此方程无实数解。当时，则，代入方程的（*），得，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，从而，则的值域为。则当时方程有解，即方程(*)有解。所以对于任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形的斜边中点在轴上。

-----------12分略22.已知数列{an}满足a1=，且anan+1+an+1﹣2an=0（n∈N）． （1）求a2，a3，a4的值； （2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归