2023年高考数学理一轮复习教学案第3章3-1导数的概念及其意义导数的运算

第三章导数及其应用

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算

【考试要求】

1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.

2.通过函数图象，理解导数的几何意义.

3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（形如共分+份）

的导数.

【知识梳理】

I.导数的概念

（1）函数y="）在X=Xo处的导数记作/（Xo）或y'Ix=ltg.

∆y^yUo+∙χ)-/Ce)

(xo)=lim妈)

ʌr-θ∆x∆x

（2）函数y=∕（x）的导函数

AT+∆Λ∙)-∕(X)

(X)=Iim

ALO∆x

2.导数的几何意义

函数y=yU）在X=Xo处的导数的几何意义就是曲线y=∕3）在点P（Xo,ZUO））处的切线的斜率,

相应的切线方程为y—/Uo）=f（Xo）（X―初）.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

«x）=C（C为常数）/(X)=Q

Kr)=J√z(αWQ,且Q≠0)/(x)=axa~l

Xx)=sin%f(X)=COSX

J(x)=cosxf(X)=­sinX

yU)=∙(q>O,且4≠l)f,(x)=av∖na

7U)=e'fQO=至

/㈤=看

fix)=IOgdm>0,且〃≠1)

（）：

J(x)=∖nx/X=

4.导数的运算法则

若//（X）存在，则有

[/（A∙）±g（x）]'=£（幻±女'（X）；

[/(x)g(x)]'=£(X)R(X)+∕U)g'(x)；

_J"(X)g(x)-Ax)g'(X)

(g(x)WO)；

[g(χ)F

[c∕(x)]'=Cf(x).

5.复合函数的定义及其导数

复合函数y=7U(χ))的导数和函数y=_A〃)，"=g(χ)的导数间的关系为y'x=y',l∙u'x,即)'对

X的导数等于y对u的导数与“对X的导数的乘积.

6.定积分的性质

(I)J侬/(x)dx=灯做x)dMk为常数).

(2)∕S∣∕∣(x)9(X)JdX=J舫(X)dr±J法(X)dx.

⑶JUr)CU=JXr)<k+J版x)dΛ(其中a<c<b).

7.微积分基本定理

一般地，如果y(x)是区间[”,可上的连续函数，并且P(X)=AX),那么ʃ纽X)dx=F⑸一区”),

这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼茨公式.

为了方便，常把尸S)一尸⑷记成尸(X)∣2,即J饮X)Ck=F(X)E=F3)—F(a).

【常用结论】

1.区分在点处的切线与过点处的切线

(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一-条.

(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.

「-f'()

2加1d1.=加产X阿¥°)・

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1炉Qb)是函数y=∕(x)在X=XO附近的平均变化率.(X)

(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(X)

(3/(沏)=g。)]'∙(X)

(4)若HX)=Sin(—X),则，(X)=CoS(一无).(X)

【教材题改编】

1.函数yU)=e*+:在x=l处的切线方程为

答案y=(e-l)x÷2

解析f'W=ev-^Σ.

：.f(l)=e-l,

又式l)=e+l,

切点为(1,e+l),切线斜率k=/(l)=e-l,

即切线方程为y-(e+l)=(e—l)(χ-l),

即y=(e-l)x÷2.

2.已知函数於)=jdnx+ox2+2,若，(e)=0,贝∣J〃

宏享一1

口呆e

解析/(X)=1+lnx+2ax9

・"(e)=20e+2=0,Λα=-p

3.若7U)=ln(l-x)+eL",则/。)=.

答案ɪ-e'ɔ'

χ-1

题型一导数的运算

例1(1)(2022・济南质检)下列求导运算正确的是..(填序号)

1

X(InX)2；

②(x2eAy=2x+e-v;

④(L5=1+£

答案①④

解析U=一舟(In切

~x(InX)2,故①正确；

ɑ2e)=(x2+2x)ev,故②错误;

[cos(2x-=-2sin(2x一故③错误；

(犬―=1+£,故④正确.

(2)函数x幻的导函数为/(幻，若TU)=%2+/G)Sin

+

答案ST

郛OSX,

解析fω=2χ+f

•••/g)=⅜÷k©>

【备选】

1.函数y=sin2x-cos2x的导数y'等于()

B.cos2x÷sinx

C.CoSzr-Sin2x

D.26cos(2x+g)

答案A

解析y'≈2cos2x÷2sinIx

=2啦COS(2%一；).

2.(2022•全州模拟)已知函数/(x)=e*sinx+eAcoSX,则犬2021)一40)等于()

A.e202lcos2021B.e202lsin2021

C.^D.e

答案B

解析因为/'(x)=e*sinx+e"cosX,

所以火x)=e*sinx+曲k为常数)，

所以式2021)-7(0)=e202lsin2021.

思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用

运算法则求导.

⑵抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

跟踪训练1(1)若函数y(x),g(x)满足外)+xg(x)=/—1,且JU)=1，则/'(D+g'⑴等于

()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析当X=I时，y(i)+g(i)=o,

∙∙7U)=1,得g(i)=一ι,

原式两边求导，得/(x)+g(x)+xg'(x)=2x,

当x=l时，f(l)+g(l)+g'(1)=2,

得/'(D+g'(1)=2—g(D=2-(-l)=3.

⑵已知函数於)=ln(2χ-3)+4Ker,若/⑵=匕贝IJQ=.

答案e2

1_2

解析f,(x)=τ----^∙(2χ-3)z+ae∙v+0τ(e*)'=^-----+aex-axtλ,

j2χ-32χ-3

・・・/(2)=2+αe^^2—2枇-2=2一加一』1,

贝IJa=e2.

题型二导数的

几何意义

命题点1求切线方程

9Y—1

例2(1)(2021•全国甲卷)曲线尸大7在点(一1,一3)处的切线方程为.

答案5χ->∙+2≈0

解析y'=借+)'=2(Λ+[=虎7'所以VIL产(——2)2=5,所以切线

方程为y+3=5(x+1),即5x—y+2=0.

(2)已知函数;(X)=JdnX,若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=∕(x)相切，则直线/的方程

为.

答案X—y—1=0

解析Y点(0,—1)不在曲线√U)=xlnx上，

，设切点为(X0,yd).

又∕'(x)=l+lnx,

・,•直线/的方程为y+1=(1÷lnXO)X.

yo=XolnM),

解得XO=1,yo=O.

j,o+1=(1+lnXo)X0,

.∙.直线/的方程为y=x~∖f即χ-y-∖=0.

命题点2求参数的值(范围)

例3(1)(2022・西安模拟)直线y=丘+1与曲线危)=Hnx+b相切于点P(l,2),则2〃十8等于

()

A.4B.3C.2D.1

答案A

解析Y直线y=fcx+l与曲线犬犬)=HnX+/?相切于点P(l,2),

将尸(1,2)代入y=fcc+l,

可得攵+1=2,解得攵=1,

*∙*fiix)=cι∖nx+b,∙*.f'(x)=~,

由/⑴=f=l,

解得α=l,可得y(x)=lnx+b,

,/P(l,2)在曲线«x)=Inx+P上,

.∙√(l)=lnl+%=2,

解得6=2,故2α+b=2+2=4.

(2)(2022・广州模拟)过定点P(l,e)作曲线y=αejr(α>0)的切线,恰有2条，则实数a的取值范

围是.

答案(1，+o°)

解析由y'=aex,若切点为(Xo,aexn),

则切线方程的斜率α=y'lx=jto=ae">O,

，切线方程为y=4eλ>(X—xo+1),

又P(l,e)在切线上，

ae'°(2-χd)=e,

即募=e*(2—xo)有两个不同的解，

令φ(x)=e∖2-χ),

.'.φl(x)=(l—%)ev,

当χ∈(-8,1)时,φ'(χ)>0;

当Xe(1,+8)时，φ'(x)<0,

.∙,(X)在(一8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

•*.⅛>(x)max=。(1)=e,

又Xf—8时，9(χ)τ∙0;

X-+8时，φ{χ)-→—∞,

ΛO<∣<e,

解得α>l,即实数0的取值范围是(1,+∞).

【备选】

1.已知曲线HX)=X3-X+3在点P处的切线与直线x+2y-l=0垂直，则P点的坐标为()

A.(1,3)B.(-1,3)

C.(1,3)或(一1,3)D.(1,-3)

答案C

解析设切点P(XO,yo),

f'(X)=3/一1,

又直线x+2y-l=0的斜率为一5,

：.f(XO)=3焉T=2,

,

.∙.就=1,,.x0=±l.

又切点P(XO,比)在y=√(χ)上，

.∙.yo=高一xo+3,

当XO=I时，涧=3；

当χo=-l时，yo=3.

.∙.切点尸为(1,3)或(一1,3).

2.(2022.哈尔滨模拟)己知M是曲线y=lnx+*+(l-α)x上的任一点，若曲线在M点处的

切线的倾斜角均是不小于:的锐角，则实数α的取值范围是()

A.[2,+∞)B.[4,+∞)

C.(一8,2]D.(-8,4]

答案C

解析因为y=lnx+*+(l-a)x,

所以y'=⅛+l-Λ,因为曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于:的锐角，

所以y'Ntang=I对于任意的x>0恒成立，

即5+x+l—α21对任意x>0恒成立，

所以又x+：》2,

当且仅当Λ=~,

即X=I时，等号成立，

故"≤2,所以α的取值范围是(一8,2].

思维升华(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参

数的方程：

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

⑵注意区分“在点尸处的切线”与“过点P处的切线”.

跟踪训练2(1)(2022・南平模拟)若直线y=x+m与曲线y=e*f相切，贝∣J()

A.机+〃为定值B.；加+〃为定值

C.m+%为定值D.m+5为定值

答案B

解析设直线y=x+w与曲线y=e「2"切于点(X°,eɪ0-2"),

因为y'=e'-2",所以e%-2"=ι,所以刈=2〃，

所以切点为(2",1),

代入直线方程得1=2〃+“，

即品+〃=/.

(2)若函数段)=lnx+2x2-ax的图象上存在与直线2χ-y=0平行的切线，则实数a的取值范

围是.

答案［2,+∞)

解析直线2x—y=0的斜率女=2,

又曲线兀0上存在与直线2x—y=0平行的切线，

：.f(x)=；+4x—α=2在(0,+8)内有解，

则α=4x+1-2,x>0.

又4x+^2yl4x-^=4,

当且仅当x=T时取.

—2=2.

的取值范围是［2,+∞).

题型三两曲线的公切线

例4(1)(2022•驻马店模拟)已知函数人X)=XlnX,g(x)=x2+"x(α∈R),直线/与兀V)的图象相

切于点A(l,0),若直线/与g(x)的图象也相切，则α等于()

A.0B.-1C.3D.-1或3

答案D

解析由y(x)=xlnx求导得/'(x)=l+lnx,

则/(l)=l+lnl=l,于是得函数./U)在点4(1,0)处的切线/的方程为y=χ一ι,

y=x-1,

因为直线/与g(x)的图象也相切，则方程组、2,有唯一解，即关于X的一元二次

.g(x)=ri+0x,

方程x2+(α-l)x+l=0有两个相等的实数根，

因此/=3—1)2—4=0,解得a=-1或α=3,

所以a=-∖或a=3.

(2)若函数,/(X)=X2-I与函数g(x)=Hnx-1的图象存在公切线，则正实数α的取值范围是

()

A.(O,e)B.(0,e]

C.(0,2e)D.(0,2e]

答案D

解析yu)=f—1的导函数r(x)=2x,g(x)=HnX-I的导函数为g'(x)=f.

2

设切线与人幻相切的切点为伽，n-l),与g(x)相切的切点为(加，a∖nm-↑)9

所以切线方程为y-(n2-∖)=2n(χ-n),

y-(a∖nm-I)=V(X一机),

即y=2〃x—〃2—1,y=~^-a+a∖nm-∖.

fɔa

所以Jm

2

I；?+1=a+1—qInm9

2

所以石ɪ=。—α∣nm,

由于4>0,所以温5=1—Innz,

即彳=加(1—∣nM有解即可.

令∕ι(x)=x2(l—InX)(X>0),

h'(X)=X(I—2InX),

所以恤)在(0,#)上单调递增，在(乖,十8)上单调递减，最大值为人(#)=1，

当Oa<e时，h(x)>O,

当x>e时，h(x)<O,

所以0<^≤∣,

所以0<αW2e.

所以正实数。的取值范围是(0,2e]∙

【备选】

1.若兀V)=InX与g(x)=f+办两个函数的图象有一条与直线y=x平行的公共切线，则。等

于()

A.1B.2C.3D.3或一1

答案D

解析设在函数./U)=InX处的切点为(x,y),根据导数的几何意义得到Z=I=1,

解得冗=1,故切点为(L0),可求出切线方程为y=x—1,此切线和gα)=x2+αr也相切,

故x2+ax=χ-1,

化简得到f+5-I)X+1=0,只需要满足/=(〃-1)~-4=0,解得。=-1或。=3.

2.已知曲线y=ej在点(X1，e*)处的切线与曲线y=ln%在点(12，In忿)处的切线相同，则(©

+1)(X2—D等于()

A.-1B.一2C.1D.2

答案B

解析已知曲线y=e"在点α∣,e*)处的切线方程为y—炉=e*(χ-χι),

即y=ex'X—ex,x↑+ex,,

曲线y=lnx在点(及，InM)处的切线方程为y—lnx2=:(χ-及)，即y=；x—1+In及，

=J_

由题意得《=汗

—eA,xi=—l+lnx2,

得X2=~~~

ex'

ev'-e"Xl=—l+lnx2=-1+ln=-1-%ι,

,ɪɪi+1_1

则rte1=-------XX=—

2A,

为一1e

所以『Ml,

所以mτ=M∣τ=集,

所以(1I+1)(X2—1)=-2.

思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线

上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用

两切线重合列方程组求解.

跟踪训练3(1)(2022•雅安模拟)已知定义在区间(0,+8)上的函数式入)=-2?+相，gM=-

3∖nχ-χf若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则用的值为()

A.2B.5C.1D.0

答案C

解析根据题意，设两曲线y=7U)与y=g(x)的公共点为(ɑ,b),其中q>0,

由火X)=-2/+相，可得/(x)=-4x,则切线的斜率为&=/3)=—4〃，

33

由g(x)=—3InX——可得g'。)=—；一1,则切线的斜率为A=g'L

3

因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以-4α=一£一1,

3

解得α=l或α=—1(舍去)，

又由g(l)=-1,即公共点的坐标为(1,—1),

将点(1,一1)代入KX)=_2x2+m,

可得;«=1.

(2)已知/U)=e'(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+2,直线/是/(x)与g(x)的公切线，则直线

I的方程为.

答案y=ex或y=x+l

解析设直线/与yU)=e∙r的切点为(xi,>'|),

则yι=e*',f(x)=ex,

"(x∣)=e”,

.∙.切点为(X1,ex'),

切线斜率k—er',

切线方程为y-ex'=ex,(x-ɪɪ),

即y=ex'∙x-χ∖ev'+er',①

同理设直线/与g(x)=lnx+2的切点为(X2,”)，

•∙y2=lnx2+2,

glU)=".

∙"∙g'(X2)=*，

切点为(X2,加为+2),

切线斜率k=4,

,切线方程为y—(lnx2+2)=；(x—检)，

X2

即y='∙x+lnJC2+l,②

工2

由题意知，①与②相同，

C1

e*'=ξ-=X2=ef,③

、-x∣eA,+eʌ'=lnx2÷l,④

把③代入④有一汨eA|+e*'=-χι+1,

即(I-XI)(e"-1)=0,

解得XI=I或Xl=0,

当x∣=l时，切线方程为y=ex；

当Xl=O时，切线方程为y=x+l,

综上，直线/的方程为y=ex或y=x+1.

课时精练

1.(2022・阳江模拟)下列函数的求导正确的是()

A.(X-2)，=-2χ

B.(XeOSx)'=COSx—xsinx

C.(In10)z=.

D.(e2λ)'=2e，

答案B

解析。-2)，=-2χ-3,.∙.A错；

,

(ΛCOSX)=cosχ-χsinx9.*.B对；

(InIOy=0,JC错；

(e2x)/=2e2v,,D错.

2.(2022•黑龙江哈师大附中月考)曲线y=2cosx+sinx在(π,—2)处的切线方程为()

A.χ-y+π-2=0B.χ-y~π+2=0

C.x+y+兀Ι2=0D.x+y-兀+2=0

答案D

解析y,=—2sinx+cosx,

当x=π时，攵=-2sinπ+cosπ=—1,所以在点(π,—2)处的切线方程，由点斜式可得y+2

=-1×(χ-π),化简可得x+y—兀+2=0.

3.(2022・兴义模拟)已知y=/")是可导函数，如图，直线y=区+2是曲线y=∕(x)在x=3处的

切线，令g(x)=犹x),g'。)是g(x)的导函数，则g'⑶等于()

A.-1B.0C.2D.4

答案B

解析由题图可知曲线)，=段)在X=3处切线的斜率等于一；,

・"⑶=Y

：g(x)=加),

.∙.g'(x)=yU)+城(x),

.∙.g'⑶=A3)+3∕'⑶，

又由题图可知人3)=1,

Λg,(3)=l+3×(-∣)≈0.

4.直线y=4x与曲线V=X3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()

A.2√2B.4√2C.2D.4

答案D

∣>'=4x,

解析由3

解得X=—2或X=O或戈=2.

所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积应为

S=Jo(4χ-x3)dx=2

=(^2×22-∣×24)-0-4.

5.设曲线兀v)=αe'+b和曲线g(x)=cos∙y+c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则6

+c~a的值为()

A.0B.πC.-2D.3

答案D

解析*∙e∕(x)=aex,gf(%)=—piny,

：.f(0)=a,g,(0)=0,.∙,α=0,

又M(0,2)为火幻与g(R)的公共点，

,#0)=8=2,g(0)=l+c=2,解得c=l,

.*.Z?+c—a=2+1—0=3.

6.已知点A是函数yu)=f—lnx+2图象上的点，点JB是直线y=x上的点，则∣A3∣的最小值

为()

A.√2B.2

C.半D竽

答案A

解析当与直线y=x平行的直线与的图象相切时，切点到直线y=x的距离为IABl的最小

解得X=I或X=—舍去)，

又JU)=3,

lɪ-3|

所以切点C(l,3)到直线y=x的距离即为IABl的最小值，即IABlmin='[2_Ij^=

7.已知函数人X)的图象如图,/(X)是火x)的导函数,设“=A3)-∕(2),则下列结论正确的是()

A.f'(2)<f,(3)<d

B.f'(2)<a<f'(3)

C.f'Q)<a<f'(2)

D.a<f(3)<∕(2)

答案C

解析。=的一©=督手，

表示曲线上两点A(2,.人2)),8(3,犬3))连线的斜率，

由图知，曲线切线的斜率越来越小，

"⑶3(2).

8.(2022•固原模拟)设点P是函数火x)=2er-/(0)x+/(1)图象上的任意一点，点P处切线

的倾斜角为α,则角α的取值范围是()

A∙[θ,用B.0,I)U停,W)

c∙(?⅞)D∙[θ,≡)u[y,π)

答案B

解析∙.,Λx)=2et-/(0)x+/(1),

."(x)=2e'-f(0),

：.f(0)=2-/(0),/(0)=1,

.,.β,x)=2eκ-χ+f(1),

：.f(X)=2e"-l>一1.

Y点P是曲线上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为α,

/.tana>-1.

Vα∈[0,π),

_0,当U修兀)

.a∈

9.计算Jh/1—x2dx=.

口末4

解析,.>=Λ∕1-X2,ΛΛ2+J2=1,y20.

・,Jh小与dx的几何意义为圆x2+y2=l在第一象限内的面积.

∙,∙JA√l-ɪ2clv=4∙

10.(2022・四川天府名校联考)若曲线段)=xcosX在X=兀处的切线与直线Or—〉+1=0平行,

则实数〃=.

答案T

解析因为J(X)=XCOSX,

所以/(x)=cos%—xsinx,

ff(π)=cosπ-π∙sinπ=-1,

因为函数在X=兀处的切线与直线。无一y+l=0平行，所以(π)=-1.

11.已知函数TU)=+e"cosx,若/(O)=-I,则a=.

答案2

解析f,(x)=~~~⅛-+evcos%—evsinx

J(0r-1)

~a,r.

=7-----7T7÷ecrosχ-esin%,

(aχ-1)

：.f(0)=-α+l=-l,贝∣J0=2.

12.已知函数√(x)=x3-or2+(节+l)(q£R),若曲线y=√(x)存在两条垂直于y轴的切线，则

a的取值范围为.

答案(一8,-1)U(3,+∞)

解析因为段)=%3—加+仅+1)α∈R),

2

所以/'(x)=3x2-2ax+,α+l,因为曲线y=∕U)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于X的方程/(κ)=3/—2〃+各+1=0有两个不等的实根，

则J=4a2-12(ja+1^>0,即02-2α-3>0,

解得a>3或α<-1,

所以〃的取值范围是(-8,-1)U(3,+∞).

13.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区

间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若yu)在伍，b］

上满足以下条件：①在［α,切上图象连续，②在3,与内导数存在，则在3,份内至少存在一

点c,使得人力-Aa)=/'(c)3-")(f(X)为y(x)的导函数).则函数AX)=XeLl在［0,1］上这样的

C点的个数为()

A.ɪB.2C.3D.4

答案A

解析函数

则∕'(x)=(x+l)e*r,

由题意可知，存在点CG［O』］,

体公〃(ʌΛD-Λθ),

使付/(C)-J_o-1,

即(l+c)eL∣=l,

所以e’r=壬，cɛ［0,l］,作出函数y=e，r和y=卡的图象，如图所示，

由图象可知，函数y=e<-∣和y=出的图象只有一个交点，

所以e，r=*pc∈［0,l］只有一个解，即函数yU)=xevr在［0,1］上C点的个数为1.

14.(2021・新高考全国I)若过点①，与可以作曲线y=e*的两条切线，则()

A.eh<aB.ea<b

C.0<a<ehD.O<h<ea

答案D

,x

解析方法一设切点(X0,泗)，3o>O，则切线方程为y-b=e°(x-a)9由

［yo-b=e^(xo-a),

<得e/(l—沏+〃)=依则由题意知关于沏的方程e"(l—w+α)=6有两

Iyo