北师大版九年级数学上册单元测试卷附答案全册

《第1章特殊平行四边形》

一'选择题

1.下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB4,CD,AD=BCB.ZA=ZC,ZB=ZDC.AB/7CD,AD〃BCD.AB=CD,AD=BC

2.下列说法中，错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

G.菱形的对角线互相垂直

D.对角线互相垂直的四边形是菱形

3.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在X、1的位置,若NEFB=65°,

则NAED'等于（）

A.50oB.55oC.60oD.65°

4.如图，口ABCD中，EF过对角线的交点0,AB=4,AD=3,OF=I.3,则四边形BCEF的

A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6

5.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，NBAD=60°,则花坛对角线AC的

A.6«米B.6米C.3米D.3米

6.已知一矩形的两边长分别为IoCm和15cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,

这两部分的长为（）

A.6Cm和9cmB.5Cm和10cmC.4Cm和11cmD.7Cm和8cm

7.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是

C.AB=BCD.AC=BD

8.如图，D是4ABC内一点，BD±CD,AD=6,BD=4,CD=3,ExF、G、H分别是AB、AC、

CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）

A

A.7B.9C.10D.11

9.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB'LDz,

边B，Cz与DC交于点0,则四边开?AB'OD的周长是（）

10.如图，正方形ABCD的面积为4,4ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在

对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2B.3C.2√3D.√3

二'填空题

11.（5分）已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是c1√.

12.(5分)如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点。且AC=8,如果NAOD=60°,那

么AD=.

13.(5分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,H为AD边中点，菱形

ABCD的周长为28,则OH的长等于.

14.(5分)如图，正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形，再以

对角线AE为边作第三个正方形AEGH1如此下去，第n个正方形的边长为_.

三、解答题(15题12分，16题12分，17题16分)

15.如图，已知平行四边形ABCD,DE是NADC的角平分线，交BC于点E.

(1)求证：CD=CE;

(2)若BE=CE,NB=80°,求NDAE的度数.

16.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC

于点E.

(1)求证：ZXDCE丝ZXBFE；

(2)若CD=2,NADB=30°,求BE的长.

17.已知，如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分NDBC交DC于点E,

延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.

(1)求证：Z∖BCE也Z∖DCF;

(2)求CF的长；

(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为X轴，AB为y轴建立直角坐标系,

问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在,

直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由.

图1

《第1章特殊平行四边形》

参考答案与试题解析

一、选择题

1.下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB/7CD,AD=BCB.ZA=ZC,NB=NDC.AB/7CD,AD/7BCD.AB=CD,AD=BC

【考点】平行四边形的判定.

【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可.

【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形∙∙∙.c能

判断，

平行四边形判定定理1,两组对角分别相等的四边形是平行四边形；,B能判断；

平行四边形判定定理2,两组对边分别相等的四边形是平行四边形；.∙∙D能判定；

平行四边形判定定理3,对角线互相平分的四边形是平行四边形；

平行四边形判定定理4,一组对边平行相等的四边形是平行四边形；

故选A.

【点评】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个

判断方法.

2.下列说法中，错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.菱形的对角线互相垂直

D.对角线互相垂直的四边形是菱形

【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质.

【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案.

【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线

互相垂直的四边形也可能是梯形，

故选：D.

【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题.平行四边

形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③

平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分.菱形的特性是：四

边相等，对角线互相垂直平分.

3.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在X、5的位置,若NEFB=65°,

A.50°B.55°C.60°D.65°

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【专题】数形结合.

【分析】首先根据AD〃BC,求出NFED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知NFED=NFED，,最后求

得NAED7的大小.

【解答】解：∙.∙AD√BC,

ΛZEFB=∠FED=65o,

由折叠的性质知，ZFED=ZFEDZ=65°,

NAED'=180o-2NFED=50°.

故NAED'等于50°.

故选：A.

【点评】本题考查了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求

解.

4.如图，DABCD中，EF过对角线的交点0,AB=4,AD=3,OF=I.3,则四边形BCEF的

周长为（）

A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6

【考点】平行四边形的性质.

【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知EF把平行四边形分成两个相等的部分，

先求平行四边形的周长，再求EF的长，即可求出四边形BCEF的周长.

【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF=OE=I.3,

∙.FABCD的周长=（4+3）×2=14

，四边形BCEF的周长ABCD的周长+2.6=9.6.

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题.平行四边形基本性质：

①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分.平行四边形是中

心对称图形.

5.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，NBAD=60°,则花坛对角线AC的

长等于（）

A.6J5米B.6米C.米D.3米

【考点】菱形的性质.

【专题】应用题.

【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据N

BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA

的长，即可确定出AC的长.

【解答】解：四边形ABCD为菱形，

ΛAC±BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），

∙.∙ZBAD=60o,

.∙∙ΔABD为等边三角形，

.∙.BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），

在RtZXAOB中，根据勾股定理得：OA=J62二7=3F（米），

则AC=20A=6√^米，

故选A.

【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握

菱形的性质是解本题的关键.

6.已知一矩形的两边长分别为IoCm和15cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分，

这两部分的长为（）

A.6Cm和9CmB.5Cm和10CmC.4cm和11cmD.7Cm和8cm

【考点】矩形的性质.

【分析】根据已知条件以及矩形性质证aABE为等腰三角形得到AB=AE,注意“长和宽

分别为15Cm和10cm"说明有2种情况，需要分类讨论.

【解答】解：如图，.「矩形ABCD中，BE是角平分线.

.∙.ZABE=ZEBC.

∙.∙AD√BC.

.∙.ZAEB=ZEBC.

.∙.NAEB=NABE

.∙.AB=AE.

当AB=I5cm时：则AE=I5cm,不满足题意.

当AB=IoCm时：AE=10cm,则DE=5cm.

故选B.

【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质.注意出现角平分线，出现

平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同.

7.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是

()

'D

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

【考点】矩形的判定.

【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加

AC=BD1可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形.

【解答】解：可添加AC=BD,

四边形ABCD的对角线互相平分，

•••四边形ABCD是平行四边形，

VAC=BD,根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，

.∙.四边形ABCD是矩形，

故选：D.

【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形.

8.如图，D是4ABC内一点，BD±CD,AD=6,BD=4,CD=3,E4F、G、H分别是AB、AC、

CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）

A.7B.9C.10D.11

【考点】三角形中位线定理；勾股定理.

【专题】计算题.

【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG=∕∙BC=EF,

EH=FG=∙∣∙AD,求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长.

【解答】ft?：∙.∙BD±DC,BD=4,CD=3,由勾股定理得：BC=而在不=5,

,.'ExF、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,

.∙.HG=⅛C=EF,EH=FG=LD,

22

VAD=6,

.∙.EF=HG=2.5,EH=GF=3,

四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2X(2.5+3)=11.

故选D.

【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根

据三角形的中位线定理求出EF、HGxEH、FG的长是解此题的关键.

9.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB'C'W,

边B，Cz与DC交于点0,则四边形AB'OD的周长是()

【考点】旋转的性质.

【专题】压轴题.

【分析】当AB绕点A逆时针旋转45度后，刚回落在正方形对角线AC上，可求三角形

与边长的差B，0,再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B，0,0D,从而可求

四边形AB'OD的周长.

【解答】解：连接B，C1

旋转角NBAB'=450,∠BAC=45°,

∙∙∙B,在对角线AC上，

'.-AB=AB7=1,用勾股定理得AC=√1,

∙∙BC=√2-1,

在等腰RtZ∖0B'C中，OB'=B,C=√2-1,

在直角三角形OB'C中，由勾股定理得OC=F(√2-1)=2-√2,

.,.0D=1-0C=√2-1

，四边形AB'OD的周长是：2AD+0B,+0D=2+√2-1+√2-1=2√2∙

故选A.

【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法.连接B，C

构造等腰Rt40B'C是解题的关键.

10.如图，正方形ABCD的面积为4,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在

对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A,___________=D

A.2B.3C.2√3D.√3

【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】由于点B与D关于AC对称,所以连接BE,与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE

最小，而BE是等边AABE的边，BE=AB,由正方形ABCD的面积为4,可求出AB的长，

从而得出结果.

【解答】解：连接BD,与AC交于点F.

：点B与D关于AC对称，

PD=PB,

.∙.PD+PE=PB+PE=BE最小.

：正方形ABCD的面积为4,

.,.AB=2.

又∙∙∙4ABE是等边三角形，

.∙.BE=AB=2.

所求最小值为2.

故选：A.

【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题.

二'填空题

11.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是3Cm②.

【考点】菱形的性质.

【分析】由知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,根据菱形的面积等于对角线乘积

的一半，即可求得答案.

【解答】解：.•・菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,

r.它的面积是：ɪ×2×3=3(cm2).

故答案为：3.

【点评】此题考查了菱形的性质.注意菱形的面积等于对角线乘积的一半.

12.如图，在矩开2ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8,如果NAoD=60°,那么AD=4.

【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OD=IAC,然后判断出AAOD是等边

三角形，根据等边三角形的三边都相等解答即可.

【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD=VAC=∙∣X8=4,

∙.,ZA0D=60o,

.".ΔAOD是等边三角形，

/.AD=OAM.

故答案为：4.

【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，

比较简单，熟记性质是解题的关键.

13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点，菱形ABCD的

周长为28,则OH的长等于3.5.

【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理.

【分析】由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出NAoD=90°,然后根

据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.

【解答】解：四边形ABCD是菱形,

.,.AB=BC=CD=DA,AC±BD,

.∙.∠A0D=90o,

∙.'AB+BC+CD+DA=28,

.∙.AD=7,

IH为AD边中点,

.∙.0H=LD=3.5；

2

故答案为：3.5.

【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质

是解决问题的关键.

14.如图，正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE

为边作第三个正方形AEGH,如此下去，第n个正方形的边长为（、石）"T.

GE

【考点】正方形的性质.

【专题】压轴题；规律型.

【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问

题.

【解答】解：四边形ABCD为正方形，

.∙.AB=BC=1,NB=90°,

.∙.AC2=12+12,AC=√2;

同理可求：AE=(血)2,HE=(M)3∙∙∙,

••・第n个正方形的边长a1(√2)π^1.

故答案为(丑)n^1.

【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有

关定理并能灵活运用.

三、解答题(15题12分，16题12分，17题16分)

15.(2010•株洲)如图，已知平行四边形ABCD,DE是NADC的角平分线，交BC于点E.

(1)求证：CD=CE;

(2)若BE=CE,ZB=80o,求NDAE的度数.

【考点】平行四边形的性质.

【专题】计算题；证明题.

【分析】(1)根据DE是NADC的角平分线得到N1=N2,再根据平行四边形的性质得

到N1=N3,所以N2=N3,根据等角对等边即可得证；

(2)先根据BE=CE结合CD=CE得到AABE是等腰三角形，求出NBAE的度数，再根据平

行四边形邻角互补得到NBAD=Io0。，所以NDAE可求.

【解答】(1)证明：如图，在平行四边形ABCD中，

VAD/7BC

N1=N3

又∙∙∙N1=N2,

N2=N3,

.,.CD=CE;

(2)解：四边形ABCD是平行四边形，

/.AB=CD,AD/7BC,

又∙.,CD=CE,BE=CE1

.∙.AB=BE1

.,.ZBAE=ZBEA.

∙.∙ZB=80o,

.,.∠BAE=50o,

.,.ZDAE=180o-50o-80o=50o.

【点评】（1）由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性

质求解；

（2）根据"BE=CE”得出AB=BE是解决问题的关键.

16.（2015•乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F

点处，DF交BC于点E.

（1）求证：ZkDCE丝ZkBFE;

（2）若CD=2,NADB=30°,求BE的长.

【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质.

【分析】（1）由AD〃BC,知NADB=NDBC,根据折叠的性质NADB=NBDF,所以NDBC=

ZBDF,得BE=DE,即可用AAS证4DCE0ABFE;

（2）在RtZ∖BCD中，CD=2,NADB=NDBC=30°,知BC=2«,在RtZ∖BCD中，CD=2,N

EDC=30o,知CE=2^,所以BE=BC-EC=-^旦.

33

【解答】解：（1）∙∙∙AD"BC,

ZADB=ZDBC,

根据折叠的性质NADB=NBDF,NF=NA=NC=90°,

NDBC=NBDF,

.,.BE=DE,

在ADCE和ABFE中，

'NBEF=NDEC

-ZF=ZC,

BE=DE

.,.ΔDCE^ΔBFE;

(2)在RtΔBCD中，

VCD=2,ZADB=ZDBC=30o,

.".BC=2Λ∕3,

在RtZ∖ECD中，

∙.∙CD=2,NEDC=30°,

.∙.DE=2EC,

(2EC)2-EC2=CD2,

.∙.CE=-^fi,

3_

.,.BE=BC-EC=-^β-.

【点评】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性

质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键.

17.(2016春•历下区期末)已知，如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，

BE平分NDBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.

(1)求证：Z∖BCE丝ZXDCF；

(2)求CF的长；

(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为X轴，AB为y轴建立直角坐标系,

问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在,

直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由.

【考点】四边形综合题.

【分析】(1)利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得4BCE04DCF;

(2)通过4DBGg4FBG的对应边相等知BD=BF=血；然后由CF=BF-BC=即可求得；

(3)分三种情况分别讨论即可求得.

【解答】(1)证明：如图1,

在ABCE和4DCF中，

'BC=DC

-NBCE=NDCF=90°,

,CE=CF

.,.ΔBCE^ΔDCF(SAS)；

(2)证明:如图1,

「BE平分NDBC,OD是正方形ABCD的对角线，

ZEBC=-i-ZDBC=22.5°,

2

由(1)知Z∖BCE9zXDCF,

.∙.∠EBC=∠FDC=22.5o(全等三角形的对应角相等)；

.∙∙ZBGD=90o(三角形内角和定理)，

.∙.ZBGF=90a；

在ADBG和aFBG中，

'NDBG=NFBG

.BG=BG,

NBGD=NBGF

Λ∆DBG^ΔFBG(ASA),

.'.BD=BF,DG=FG(全等三角形的对应边相等)，

"∙'BD=VAB2+AD2=V2,

∙∙∙BF=√2,

.,.CF=BF-BC=√2^1;

(3)解：如图2,∙.∙CF=√^-1,BH=CF

∙∙∙BH=√2-1,

①当BH=BP时,K∣JBP=√2-1,

∙.∙ZPBC=45o,

设P（x,×）,

∙∙∙2x2=（√2-1）\

解得X=I-返或-1+返，

22__

.∙.p（1-返，I-返）或（-1+返，-1+返）；

2222

②当BH=HP时，则HP=PB=√2-1,

∙.∙ZABD=45o,

.∙∙ΔPBH是等腰直角三角形，

•'-P（&-1,√2-1）；

③当PH=PB时，ZABD=45°,

.∙∙ΔPBH是等腰直角三角形，

∙∙∙p（√∑21,√∑ιl）,

22

综上，在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所

有符合条件的P点坐标为（I-掾，1-李）、（-1+乎，-1+乎）、＜√2-1.√2

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等

腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键.

《第1章特殊的平行四边形》

一、选择题（请把答案填写到下面指定位置，每小题3分，共36分）

1.矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）

A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,若BD、AC的和为18cm,

CD：DA=2：3,4AOB的周长为13cm,那么BC的长是（）

D

A.6cmB.9cmC.3cmD.12cm

3.在Rt4ABC中，NACB=90°,NA=30°,AC=√3cm,则AB边上的中线长为（）

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.-ʃɜCm

4.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EFLEC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则

AE的长是（）

A.3B.4C.5D.7

5.下列说法正确的是（）

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

6.已知：如图，在矩形ABCD中，BC=2,AE±BD,垂足为E,NBAE=30°,那么aECD

A.2√3B.√3C.立D.返

23

7.用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方

形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形.则一定可以拼成的图形是（）

A.①④⑤B.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤

8.如图为菱形ABCD与AABE的重叠情形，其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,

则DE的长度为何？（）

A

9.如图，在矩形ABCD中，AB=IO,BC=5,点E、F分别在AB、CD±,将矩形ABCD沿

EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A∣、Dl处，则阴影部分图形的周长为

（）

A.15B.20C.25D.30

l

10.如图，矩形ABCD的长为a,宽为b,如果S〔=S2=4（S3+Sq），KJS4=（）

3391

A--abθ∙-abθ∙-z^abɔ-Kab

8432

11.给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是

菱形；

③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍.其中

真命题的是（）

A.③B.①②C.②③D.③④

12.如图，正方形ABCD中，AB=3,点E在边CD上，且CD=3DE.将AADE沿AE对折至

ΔAFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论：

①点G是BC的中点；②FG=FC；③NGAE=45°.

其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题:

13.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对

称图形的是—.

14.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,试添加一个条件:

使得平行四边形ABCD为菱形.

15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,点E、F分别是AO、AD的中点,

若AB=6cm,BC=8cm,则aAEF的周长=cm.

16.如图在菱形ABCD中，NB=NEAF=60°,ZBAE=20o,贝∣]NCEF的大小为

三、解答题：（共52分）

17.如图，BD是aABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,

连接ED,DG.请判断四边形EBGD的形状，并说明理由.

18.如图，已知菱形ABCD,AB=AC1E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF.

(1)证明：四边形AECF是矩形；

(2)若AB=8,求菱形的面积.

19.已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分NBCD,CF平分

ZGCD,EF〃BC交CD于点0.

(1)求证：OE=OFi

(2)若点0为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形.

20.点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC±,已知AMCN的周长等于正方形ABCD周

长的一半，求NMAN的度数.

21.如图，四边形ABCD为平行四边形，NBAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延

长线于点E.

(1)求证：BE=CD5

(2)连接BF,若BFLAE,NBEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.

D

22.已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、

CM的中点.

(1)求证：BM=CM;

(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

(3)当AD：AB=_时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明).

23.如图，把AEFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,

已知EP=FP=6,EF=6√3.NBAD=60°,且AB>6«.

(1)求NEPF的大小；

(2)若AP=8,求AE+AF的值.

EB

《第1章特殊的平行四边形》

参考答案与试题解析

一、选择题（请把答案填写到下面指定位置，每小题3分，共36分）

1.矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）

A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

【考点】矩形的性质；菱形的性质；正方形的性质.

【分析】矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是

矩形，菱形，正方形都具有的性质.

【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分.故选C.

【点评】本题主要考查的是对矩形，矩形，菱形，正方形的性质的理解.

2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,若BD、AC的和为18cm,

CD：DA=2:3,ZXAOB的周长为13cm,那么BC的长是（）

BC.

A.6cmB.9cmC.3cmD.12cm

【考点】平行四边形的性质.

【分析】根据平行四边形的性质，先求出AB的长，再根据所给比值，求出AD的长，进

一步求解BC即可.

【解答】解：...平行四边形ABCD

.∙.0A+0B=L（BD+AC）=9Cm

2

又MAOB的周长为13cm,

.'.AB=CD=4cm,

又\CD:DA=2:3,

.,.BC=AD=6cm

故选A.

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题.平行四边形基本性质：

①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的

两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分.

3.在RtaABC中，NACB=90°,∠A=30o,AC=√3cm,则AB边上的中线长为()

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.J§cm

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【分析】设斜边AB=2x,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=x,

再利用勾股定理列式求出X的值，从而得到AB,然后根据直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半解答.

【解答】解：设斜边AB=2x,

∙."ZACB=90o,ZA=30o,

.'.BC-AB=X,

2

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

即(2x)2=(ʧɜ)2+×2,

解得x=1,

.∙.AB=2X1=2cm,

AB边上的中线长=*AB=^X2=1cm.

故选A.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形30。

角所对的直角边等于斜边的一半的性质以及勾股定理，熟记性质并列出方程是解题的关

键.

4.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EFLEC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则

AE的长是()

A.3B.4C.5D.7

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】计算题.

【分析】根据矩形的性质和EFLEC,EF=EC求证aAEF咨ADCE,可得AE=CD,再利用矩

形的周长为16,即可求出AD,然后用AD减DE即可得出答案.

【解答】解：矩形ABCD中，EF±EC,

NDEC+NDCE=90°,∠DEC+ZAEF=90o

.∙.∠AEF=ZDCE,

又∙∙'EF=EC,

.∙.ΔAEF^ΔDCE,

/.AE=CD,

矩形的周长为16,即2CD+2AD=16,

.∙.CD+AD=8,

.∙.AD-2+AD=8,

AD=5,

.,.AE=AD-DE=5-2=3.

故选A

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形性质的理解和掌握，解答

此题的关键是求证AAEF丝ADCE.

5.下列说法正确的是（）

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定.

【分析】分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可.

【解答】解:

对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；

对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；

对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正

确；

对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；

故选D.

【点评】本题主要考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平

行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键.

6.已知：如图,在矩形ABCD中，BC=2,AE±BD,垂足为E,NBAE=30°,那么aECD

的面积是（

A.2√3B∙√3C.返D.返

23

【考点】矩形的性质；含30度角的直角三角形.

【分析】根据已知条件，先求RtZiAED的面积，再证明aECD的面积与它相等.

【解答】解：如图:

过点C作CF,BD于F.

矩形ABCD中,BC=2,AE±BD,

o

ΛZABE=ZCDF=60,AB=CD1AD=BC=2,NAEB=NCFD=90°.

.,.ΔABE^ΔCDF.

.'.AE=CF.

∙,∙SΔAED=7Γ≡D∙A≡,S也二5ED∙CF

,

∙∙SΔAED=SΔCOE'.'AE=1,DE-Λ∕3,

∙∙∙AECD的面积是空.故选C.

【点评】此题考查了学生的识图能力，解题的关键是要注意问题的转化.此题还考查了

直角三角形的性质，直角三角形中，30。角所对的直角边是斜边的一半.

7.用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方

形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形.则一定可以拼成的图形是（）

A.①④⑤B.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤

【考点】图形的剪拼.

【分析】此题需要动手操作或画图，用完全相同的直角三角形一定可以拼成平行四边形、

矩形、等腰三角形.

【解答】解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出平行四边形、

矩形和等腰三角形，共3种图形.

画出图形如下所示：

【点评】本题考查了图形的剪拼，同时考查了学生的动手操作能力和想象观察能力，难

度一般.

8.如图为菱形ABCD与aABE的重叠情形，其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,

则DE的长度为何？（）

【考点】菱形的性质；勾股定理.

【专题】压轴题.

【分析】首先连接AC,设AC交BD于。点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互

相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度.

【解答】解：连接AC,设AC交BD于O点，

：四边形ABCD为菱形，

.∙.AC±BD,且BO=DO=毕=8,

在AAOD中，

ZA0D=90o,

AO=√AD2-OD2=VlT2-82=15>

在AAOE中，

∙.,ZA0E=90o,

OE=VAE2-A02=V252-152=20>

又0D=8,

/.DE=OE-0D=20-8=12.

故选D.

【点评】此题考查了勾股定理与菱形的性质.解题的关键是注意数形结合思想的应用.

9.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5,点E、F分别在AB、CD±,将矩形ABCD沿

EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点片、Dl处，则阴影部分图形的周长为

()

A.15B.20C.25D.30

【考点】翻折变换(折叠问题).

【分析】根据折叠的性质,得AlE=AE,A1D1=AD,D1F=DF,则阴影部分的周长即为矩形的

周长.

【解答】解：根据折叠的性质，得

A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF.

则阴影部分的周长二矩形的周长=2(10+5)=30.

故选：D.

【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等,

从而求得阴影部分的周长.

10.如图，矩形ABCD的长为a,宽为b,如果S1=S2=/（S3+$4贝匹4=（）

3321

A・—abb∙WabC・—abd∙ɪab

【考点】三角形的面积.

【专题】计算题.

【分析】连接DB,由S矩彩AB8=S∣+S2+S3+S4,Sι+S2=yab,利用贝US《ab,同理

EB=^AB,求得S3,然后即可求得S"

【解答】解：S矩形ABCP=SI+S2+S3+S4

(S3+S4)+y(S3+S4)+S3+S4

=2(S3+S4)

=ab

∙,∙S3+S4=yab

∙,∙S1+S2=^^ab

连接DB,如图，贝US2kDCB=⅛ab

.1.CF:BC=S2!sʌŋɑgɔɪ&b：ɪðbɪl：2

∙'∙FB=⅛C

同理，EB=；AB

S3^-EB∙FB=yWBC耳ABqab

1,3

,*S4=9ab-S3=Wab,

r/uO

故选A

【点评】此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，此题关键是连接DB,有一定难度,

属于难题.

11.给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是

菱形；

③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍.其中

真命题的是（）

A.③B.①②C.②③D.③④

【考点】命题与定理.

【分析】分别根据矩形、菱形及正方形的性质进行逐一判断即可.

【解答】解：①错误，例如等腰梯形；

②错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形；

③正确，符合正方形的判定定理；

④正确，符合菱形的性质.

故选D.

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

12.如图，正方形ABCD中，AB=3,点E在边CD上，且CD=3DE.将AADE沿AE对折至

AAFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论：

①点G是BC的中点；②FG=FC；③NGAE=45°.

其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质.

【分析】①如图1,根据正方形边长求DE的长，由折叠得：AD=AF=3,DE≈EF=1,根据

HL证明RtAABG丝RtZkAFG,BG=FG,设BG=X,在直角^EGC中利用勾股定理列方程求出

X的值，比较BG和CG的大小；

②如图2,作辅助线，根据平行线分线段成比例定理列式求FH和GH的长，根据勾股定

理求FC,发现FG/FC；

③如图1,根据正方形的内角为90°,及NDAE=NFAE,∠BAG=∠FAG,得NGAE=45°.

【解答】解：①如图1,四边形ABCD是正方形，

.∙.CD=AB=3,

∙.'CD=3DE,

ΛDE=1,

.∙.CE=2,

由折叠得：DE=EF=1,AD=AF=3,

.,.AB=AF,

∙.∙ZB=ZAFG=90o,AG=AG,

.∙.RtΔABG^RtΔAFG,

.,.BG=FG,

设BG=x,则CG=3-x,FG=x,

由勾股定理得：EG2=CG2+EC2,

(x+1)2=22+(3-x)2,

解得：×≈-∣∙,

∙∙∙BG等

.∙.CG=3--^=-^-,

22

，点G是BC的中点;

所以①正确;

②如图2,过F作FH_LBC于H,

VFH/7DC,

,FHGF=GH

"EC^GE-GC'

.FH_2^-⅜

,.--≡-----3,

2千

69

.∙.FH=-,GH=-

2

由①得FG=BG=W,

ΛFG≠FC,

所以②不正确；

③如图1,VZDAE=ZFAE,NBAG=ZFAG,

・•・NBAG+ZDAE=ZFAG+ZFAE,

:NDAB=90°,

，NEAG=L∕DAB=45°,

2

所以③正确；

故结论正确的是：①③，

故选B

AD

BGHC

图2

AD

BGC

图1

【点评】本题考查了正方形和折叠的性质，明确折叠前后的对应角相等，正方形的四边

相等且四个角都是直角；利用勾股定理列方程求边的长度，恰当地作辅助线，构建平行

线，根据平行线分线段成比例定理列比例式求边长；从而比较边的大小关系.

二'填空题:

13.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对

称图形的是矩形、正方形.

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重

合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图

形进行分析即可.

【解答】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；

平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；

矩形是轴对称图形又是中心对称图形；

正方形是轴对称图形又是中心对称图形；

故答案为：矩形、正方形.

【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.

14.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,试添加一个条件：3Z22_，

【考点】平行四边形的判定；平行四边形的性质.

【专题】开放型.

【分析】根据菱形的定义得出答案即可.

【解答】解：..・邻边相等的平行四边形是菱形，

平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,试添加一个条件：可以为：AD=DC;

故答案为：AD=DC.

【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解

题关键.

15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,点E、F分别是AO、AD的中点，

若AB=6cm,BC=8cm,则Z∖AEF的周长=9cm.

AD

【考点】三角形中位线定理；矩形的性质.

【分析】先求出矩形的对角线AC,根据中位线定理可得出EF,继而可得出4AEF的周

长.

【解答】解：在RtaABC中，ACTAB2+Bc2=1Ocm,

;点E、F分别是AO、AD的中点,

.,.EF是AAOD的中位线，EF=LoD=LBD=LAC=Ccm,AF=上AD=LBC=4cm,AE≈ɪA0=ɪAC≈-

244222242

cm,

.,.ΔAEF的周长=AE+AF+EF=9cm.

故答案为：9.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们

熟练掌握三角形中位线的判定与性质.

16.如图在菱形ABCD中，NB=NEAF=60°,ZBAE=20o,则NCEF的大小为20°

【考点】菱形的性质.

【专题】数形结合.

【分析】首先证明AABE丝4ACF,然后推出AE=AF,证明aAEF是等边三角形，得N

AEF=60°,最后求出NCEF的度数.

【解答】解:连接AC,

在菱形ABCD中，AB=CB,

VZB=60o,

ΛZBAC=60o,ZSABC是等边三角形，

∙.∙ZEAF=60o,

ΛZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即：NBAE=NCAF,

在AABE和AACF中，

'NBAE=NCAF

<AB=AC,

ZB=ZACF

.∙.ΔABE^ΔACF(ASA),

.∙.AE=AF,

又NEA