2023届新教材高考数学二轮复习解答题练习 解三角形B卷

(2)解三角形

B卷

1.在A4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且竺巴旦至4="£

cosC

(1)求角8的大小；

⑵设。为线段AC上一点，AB=3,8C=2,且满足4)=即，求AO的长.

2.在ZXABC中，a,b,C分别为内角A,B,C所对的边，且满足sinC+√5cosC=2.

(1)求C的大小；

(2)现给出三个条件：①.=√⅛;②8=工；③c=2.试从中选择两个可以确定AABC

4

的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积S.(只写出一种情况即可)

3在①如——SA)=屈,②q=单吧£+.,③CSinB=这三个条件中任选一

SinCb2VtanBJ16J

个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在A4BC中，内角A,B,C的对边分别为α,b,c,且满足.

⑴求C；

(2)若,C的面积为106,。为AC的中点，求8。的最小值.

4.已知锐角三角形ABC中角A,民C所对的边分别^Ja,h,c,c+a=伙百sinC+cosC).

⑴求B-

(2)若α=2,求C的取值范围.

5.在①ʌ/ɔasinC=cos(--A),②梃CCoSA=αcosB+bcosA,③b2+c2=a'+Qbc这三个条件中

4

任选一个补充在下面的问题中,并解答.

问题:在VABC中,内角A,5,C所对的边分别为α,o,c.已知人=3,VABC的面积为3,.

求a的值.

6.VABC的内角A8,C的对边分别为a,b,c,已知A是锐角,6CoSA+心妨A=c.

(1)求C的大小；

⑵若B=3延长边AB至点使得CD=G,且VACD的面积为空,求比＞的长度.

34

7.已知VABC的内角ARC的对边分别为〃,女c,5(α+c)sin3=12csinA.

(1)若α=c,求SinA的值.

(2)从下面两个条件中任选一个作为已知条件,判断满足条件的三角形是否存在.若存在，

求出α的值;若不存在,请说明理由.

@B--:②sinA+sinC=-sinB.

22

8.在VABC中,内角A3,C的对边分别为α,"c,它(“+6)2=("+o)4+3(/一⑹二

(1)求角C的大小.

(2)若c=2,求当VABC的周长取得最大值时VABC的面积.

9.在锐角AABC中，已知CSinC-αsinA=62sin(A+弓卜inC-sinB,其中α,b,C分别是

4RC的内角A,B,C的对边.

(1)求角A的大小；

⑵试比较%与α+Gc的大小.

10.已知AABC的内角A,B,C的对应边分别为α,b,c,向量

m=(2SinX,百),〃=12cosfx—ɪL—1I,函数/(x)="?•",/(A)=百.

⑴求角A；

(2)⅛a1=bc,b+c=∙JlO,求AABC的面积.

答案以及解析

L答案：(I)B=-.

3

(2)AD=-.

4

αcosC+CCOSA_cosB及正弦定理得SinACOSC+sinCcoSA_cosB

解析：（1）由

2a-ccosC2sinΛ-sinCcosC

所以cosB_sin(A+C)_sinB

cosC2sinA-sinC2sinΛ-sinC

J9fsinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,

所以2sinAcosB=Sin(JB÷Q=sinA,

因为AW(O,兀)，所以SinAHO,cosB=L

2

因为8e(0,π),所以B=巴.

3

（2）由（1）知ZAB。=1,在aABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2A3∙BCCOSC=32+22-2X3X2X'=7,得AC=布,

32

AC2+AB--BC1(√7)2+32-222√7

则COSA=

2AC-AB2×y∕l×37

AB

在AWB中，AD=BD,过。作DELAB于点E,则cos4=丝=N-=J-=Rɪ,

ADAD2AD7

解得3平.

2.答案：⑴

（2）见解析

解析：(1)依题意得SinC+bCOSC=2~UinC+史COSe=2sin[c+二)=2,即

22I3J

Sin[C+]]=1.

ππ4兀

0<C<π,Λ-<C+-<-,

333

（2）方案一：选条件①和③,

由余弦定理储+Z√_2"CoSC=C2,有3b2+b2-2√3⅛2.-=4,

2

则。=2,a=2√3,

所以S=LbSinC=Jχ2Gx2χL6

222

方案二：选条件②和③，

由正弦定理工=上，得b=c∙包咳=2√L

sinCsinBsinC

A+B+C=Ti,

,∙S「、.,、D∙「√6+√2

..sinAλ=Sin(8+C)=sin3dcosrC+cosJDsinC=-----------,

4

.∙.S-IbcsinA=L2Λ∕2×2×#+"=Λ∕3+1.

224

说明：若选条件①和②，由α=®得SinA=GSin8=6X也=四＞1,不成立，这样的

22

三角形不存在.

3.答案：（1）C=；；（2）2√5.

解析：（1）方案一：选条件①.

由3S-ccosA)=可可得b-ccosA=且αsinC,

SinC3

由正弦定理得sin3-sinCcosA=——sinAsinC,

3

因为8=π-(A+C),所以sin8=sin(A+C),

故SinACOSC=-sinAsinC,

3

又SinAW0,

于是Sine=GcosC，即tanC=，

因为C∈(O,τr),所以C=.

方案二：选条件②.

因为鸿

≡f+1，

所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式，得包4

sinB2vcosCsιnB)

HnsinAsinCcosB+cosCsinBsin(C+B)

sinB2cosCsinB2cosCsinB

因为A+5+C=兀,所以3+C=π-A,Sin(B+C)=sinA,

又SinA≠。，

1.JT

所以CoSC=因为C€(o,兀)，所以C=1.

方案三：选条件③.

在ZVRC中，由正弦定理得ASinC=CSin3,

又CSin3=hcos(c-.),所以∕?SinC=Z?COS(C-胃，

所以SinC=CoS(C-Ej=等CoSC+gsinC,

所以SinC=GCOSC,BPtanC=√3,

又C∈(0,兀)，所以C=1.

⑵由题意知SAABC=g历sinC=；就考=10百，得，出=40.

由余弦定理得BD2=a1+-——abcosC=a2+-———ab≥2a---ab=-ab=20,

442222

当且仅当"=gb且瑟=40,即α=2石，6=4行时取等号，所以8。的最小值为2石.

4答案:(1)-

3

⑵(1,4)

解析：(1)由c+4=⅛(∖∕3sinC+cosC)及正弦定理得sinC÷sinA=>∕3sinBsinC+sinBcosC,

所以SinC=∖∕3sinBsinC+sinBcosC-sin(B+C)=ʌ/ɜsinBsinC-cosBsinC,

易知SinCWO,

所以6sinB-CoSB=l,sin^θ-ɪ^=g,

因为0<3<四,所以3—所以B=四.

2663

(2)由正弦定理得，二=，，

sinAsinC

2sinC_2sin(A+B)_sinA÷ʌ/ɜcosA>∕3cosA√3

所以C==1+

sinAsinAsinAsinAtanA

0<A苫，

因为是锐角三角形,所以解得2E<AS∙

π62

0<C=--A<，

32

因为y=tanx在仁,鼻上单调递增,所以tanA>日.

从而0<<3,所以lvcv4,

tanA

即C的取值范围是(1,4).

5.答案：V5

解析：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式及三角恒等变换.

若选①：

由y∣2asinC=eos(ɪ-A)及正弦定理,得V2sinAsinC=-^-sinC(sinA+cosA).因为C∈(0,兀),所

以SinCH0,

所以SinA=cosA.又A∈(0,π),所以A='.

4

由SVAZiC=g儿SinA=3,且人=3,得c=2√∑.

由余弦定理得/=h2+c2-2⅛ccosA,⅛?Wa=yf5.

若选②：

由&cosA=αcos3+ACoSA及正弦定理,得

∖∣2sinCcosA=SinAcosB+sinBCOSA=sin(A÷B)=sinC.

5

因为C£(O,π),所以SinCHO,所以COSA=——.

2

因为A∈(0,π),所以A=2.

4

由SVABC=CSinA=3,且b=3,得c=2Λ∕2.

由余弦定理得/=加+c?-2⅛ccosA,解得α=6.

若选③：

因为〃+c2=a2+y∕2bc,

所以匕2+—=y∣2bc.

由余弦定理得c°d*14

因为A∈(O,π),所以A=3.

4

由SVABC=g8csinA=3,一目.人=3,得c=2>∣2.

由余弦定理得储=〃2+cι一2》CCoSA,解得α=6.

6答案：⑴巴

2

(2)1

解析：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.

(1)由OCoSA+々sinA=C及正弦定理可得

sinBcosA+sinAsinA=si∏C=sin(A+8)=sinAcosB+sinBcosA,

2

:.sinΛ=sinACoS8QA是锐角，「.sinAwO,贝IJSinA=CoSJδ=sin(3一B),.∙.A+3C=3.

222

(2)设Br>=∕%3C=",则由(1)可矢口AC=6n,AB=2n.

由NABC=I可知,NCBD=T.

又AD=2n+m,

S=-AC-AD-SmA=-,

vλarcno24

，〃(2〃+m)=3.①

在VBCl)中,由余弦定理可得〃+/+/77/7=3.(2)

由①②解得m=∏=l,/.BD=1.

7.答案：(呜

(2)不存在

解析：(1)方法一：因为5(α+c)sin5=12τsinA,

所以结合正弦定理,得5(α+cM=12∏c.

又因为α=c,所以IOab=I2rzc,即5b=6c.

由余弦定理,得cosA=f二。

又OVAVTr,所以SinA=>∕l-cos2A=[

方法二：因为α=c,

所以5∙2c∙sinB=12c,sinA,A=C,

所以1Osin3=12SinA,所以5sinB=6sinA,

所以5sin(τr-24)=6sinA,所以5sin2A=6sinA,

所以1OsinAcosA=6sinA.

3

因为SinAWO,所以cosA=-.

又OVAVπ,所以SinA=JI-COS?A='.

⑵选条件①.

不存在满足条件的三角形.理由如下：

因为5(a+c)sinB=12csinA,

所以结合正弦定理,得5(sinA+sinC)SinB=12sinAsinC.

若3=工,则sin5=1,且SinC=COSA,

2

12

所以sinA+cosA=《sinAcosA,

所以sinA+cosA=∙∣sin2A.

将上式两边平方,得1+sin2A=—sin22A.

25

整理,得(9Sin2A+5)(4sin2A-5)=0.

因为0<sin2A<l,

所以9sin2A+5>0,且4sin2Λ-5<0,

故不存在满足条件的三角形.

选条件②.

不存在满足条件的三角形.理由如下：

因为SinA+sinC='sin3,

2

所以结合正弦定理,得α+c=3A.

2

由正弦定理,得5(α+c)b=l为c.

3,

联立得方程组"+c=5''所以殳=上

5(〃÷c)h=12ac,“，ʒ

由余弦定理,得cosB="j'=m+c)2-24i

32252

(b)-2ac-bb-2acς,2<°

-2------------------=4------------=生一1=级§-1=0,

2ac2acSac85

故8=工,且SinB=L

2

所以SinA+sinC=sinA+cosA=—.

2

而SinA+cosA=QSin（A+二）≤∖∣2,不符合题意,

4

故不存在满足条件的三角形.

8.答案：⑴]

⑵G

解析：(1)因为4c'2(α+0)2=3+。)4+3(〃2一。2)~,

所以4C2(a+b)2=(a+⅛)4+3(a-b)2(a+⅛)2,

所以4C2=(〃+6)2+3(Q—A)2,

所以c?="+一而,

所以c°sC=『ab

2ab2

因为OVC<π,所以C」.

3

(2)由正弦定理,得，一=」_,

sinAsinC

rrμ∣csinA2sinA4Λ∕3.A

所以Q=--------=---------=------sinA

7t3

SinCsin

3

同理,匕=生gsin8.

3

所以VABC的周长为

4√3.=2+递(%nA+

^+⅛÷c=2÷—^―(sinA+sinB)=2+A+sin仔-A)

32

-cosA)=2+4(—sinA+ɪeosA)=2+4sin(A+—).

2226

因为0<A<丝所以四<A+2<2,

3666

所以g<sin(A+∙^)≤1,所以4<α+b+cM6.

当VABC的周长取得最大值时,A=8

3

此时VABC为等边三角形，

所以SVAeC=gχ2χ2s呜=技

9答案:(I)A=-.

6

(2)a+∖∕3c>2b.

解析：(1)由CSinC-QSinA=〃2sin^A+^sinC-sinB

得CSinC-αsinA=GASinASinC÷⅛cosAsinC-⅛sinB,

由正弦定理及余弦定理得√¾csinA+/?CCoSA=/+C2一/=2⅛ccosA,

所以GSinA=cosA,

又A∈(θ,]),所以COSAHO,tanA=弓,

所以A=二.

6

(2)由(1)知A=3B+C=2,

66

因为AABC为锐角三角形，所以工<3<二.