重庆陈家中学高二数学理上学期期末试卷含解析

重庆陈家中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=(

)A．1 B．﹣1 C．2 D．参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）an．2.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入万8.38.69.911.112.1支出万5.97.8818.498

根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（

）A.12.68万元 B.13.88万元 C.12.78万元 D.14.28万元参考答案：A【分析】由已知求得，，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可．【详解】，．又，∴．∴．取，得万元，故选A．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．3.若，化简的结果是

A．

B．

C．

D．

参考答案：

C4.已知全集U=R，集合A={x|x2＞4}，则?UA=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．[﹣4，4]参考答案：B【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义，求出A在U中的补集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2＞4}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），所以?UA=[﹣2，2]．故选：B5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．【解答】解：P（A）==，P（AB）==．由条件概率公式得P（B|A）==．故选：B．6.我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a>b>0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（）

A．60°

B．75°

C．90°

D．120°参考答案：C7.若，则的值为（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C8.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为（）A． B． C． D．或参考答案：C【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：∵在△ABC中，a2=b2+bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，则A=，故选：C．9.棱长都是1的三棱锥的表面积为()

A.B.C.D.参考答案：A10.化简得（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二次方程x2-ax+b=0的两根为sinq,cosq，那么动点(a,b)的轨迹方程是____参考答案：略12.若直线l：与圆O：交于P、Q两点，且，则PQ长为

，k= ．参考答案：

，

13.在等差数列{an}中，，，则公差d=__________．参考答案：2【分析】利用等差数列的性质可得，从而．【详解】因为，故，所以，填．【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.14.不等式的解集为

.

参考答案：略15.在下列命题中（1）命题“不等式没有实数解”；（2）命题“－1是偶数或奇数”；（3）命题“属于集合，也属于集合”；（4）命题“”

其中，真命题为_____________.参考答案：（1）（2）

解析：（1）此命题为“非”的形式，其中：“不等式有实数解”，因为是该不等式的一个解，所以是真命题，即非是假命题，所以是真命题.（2）此命题是“或”的形式，其中：“－1是偶数”，：“－1是奇数”，因为为假命题，为真命题，所以或是真命题，故是真命题.（3）此命题是“且”的形式，其中：“属于集合”，：“属于集合”，因为为假命题，为真命题，所以且是假命题，故是假命题.（4）此命题是“非”的形式，其中：“”，因为为真命题，所以“非”为假命题，故是假命题.

16.若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为，则四面体的体积V=________．参考答案：．试题分析：由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为底，其内切圆半径为高的三个小三角形的面积之和，从而可得公式，由类比思想得，四面体的体积亦可拆分成由四个面为底，其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体积之和，从而可得计算公式．考点：1．合情推理；2．简单组合体的体积（多面体内切球）．【方法点晴】此题主要考查合情推理在立体几何中的运用方面的内容，属于中低档题，根据题目前半段的“分割法”求三角形面积的推理模式，即以三角形的三条边为底、其内切圆半径为高分割成三个三角形面积之和，类似地将四面体以四个面为底面、其内切球半径为高分割成四个三棱锥（四面体）体积之和，从而问题可得解决．17.设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为___________.参考答案：(x+3)2+(y-4)2=4(除去两点()和())略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD．（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；（2）设，，，求异面直线PD与AB所成角的余弦值．参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）由底面为菱形，得，又由平面，得，利用线面垂直的判定定理，得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证得结论；（2）由，则异面直线与所成角的余弦值，即为直线与所成角的余弦值，即求，再中，由余弦定理，即可求解．【详解】（1）由题意，四棱锥中，底面为菱形，所以，因为平面，面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）因为底面为菱形，所以，则异面直线与所成角的余弦值，即为直线与所成角的余弦值，即求，由平面，面ABCD，所以，在直角中，，，则，由底面为菱形，，所以，因为平面ABCD，面，所以，所以在直角中，，在中，由余弦定理得，即异面直线与所成角的余弦值为．【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及异面直线的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）． （Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程； （Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值． 参考答案：【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线C2的参数方程为普通方程； （Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可得到最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0， 可化为直角坐标方程x2+y2﹣2x+4y+4=0， 即圆（x﹣1）2+（y+2）2=1； 曲线C2的参数方程为（t为参数）， 可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0． （Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小． 则由点到直线的距离公式可得d==4， 则切线长为=． 故这条切线长的最小值为． 【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题． 20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长等于长轴长的一半，椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为2﹣，直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AOB的面积为1，求直线l的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知，解得a，b即可．（Ⅱ）将直线l：y=x+m与椭圆C的方程x2+4y2﹣4=0联立可得：5x2+8mx+4m2﹣4=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的方程的方程为：．（Ⅱ）将线l：y=x+m与椭圆C的方程x2+4y2﹣4=0联立可得：5x2+8mx+4m2﹣4=0，由△=64m2﹣4×5×（4m2﹣4）＞0，?m2＜5；x1+x2=﹣，x1x2=．|AB|==，原点O到直线l：y=x+m的距离d=，△AOB的面积为s=×d×|AB|==1；化简得4m4﹣20m2+25=0，m2=，m=±，直线l的方程为：y=x±21.已知直线l1：x+my+6=0．l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求实数m的值使得：（1）l1，l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1∥l2．参考答案：【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）利用两条直线相交时，由方程组得到的一次方程有唯一解，一次项的系数不等于0．（2）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出m的值．（3）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m的值．【解答】解：（1）当l1和l2相交时，1×3﹣（m﹣2）m≠0，由1×3﹣（m﹣2）m=0，m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1，或m=3，∴当m≠﹣1且m≠3时，l1和l2相交．（2）l1⊥l2时，1×（m﹣2）+m×3=0，m=，∴当m=时，l1⊥l2．（3）∵m=0时，l1不平行l2，l1∥l2?，解得m=﹣1．22.已知函数，.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有2个不同的零点，求实数a的取值范围.参考答案：（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）【分析】（1）分两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）可知且，后者可得实数取值范围为，再根据，结合零点存在定理可知当时函数确有两个不同的零点.【详解】（1）解：因为，①当时，总有，所以在上单调递减.②当时，令，解得.故时，，所以在上